大学热力学与统计物理答案

第一章热力学的基本规律习题1.1试求理想气体的体胀系数a ,压强系数P和等温压缩系数Kt 0解：由PV =nRT得:、，nRT- n RTV ; P =所以,P1 , ：V 、T(二 V jT1 , FP -P ( FT)p)VV1 nR 1V PRn= 1/T1厂%-VBTPV=- n R0据麦氏关系(2.2.3)式得:S：p。=(毕=k(V)(k(V)0)=S = k(V)dV g(T);由于k(V)0,当V升高时(或Vo-V,VVo),于是k(V)dV 0二T不变时,S随V的升高而升高。2.3解:设一物质的物态方程具有以下形式 P = f (V)T ,试证明其内能与体积无关。P = f(V)T(OU(V，T)T=T (当v - p = Tf(V)-Tf(V) =0 得证。，eVcTS：S习就 2.4 求证：(i) (T)H 0() 二 P二 V证：由式(2.1.2)得：dH =TdSVdP等 H 过程:(TdS)H = -(VdP)H二(|)H=-V0; T0)由基本方程：dU=TdS-PdV =dS = 1dU -pdV .二(三)uJ0.V T习题2.5已知(生)T =0 ,求证(虫)丁二0。 p解：由式(2.2.7)得:FU ；:p；:U 八；p(Rt=T 吟V-p; =(寸T=0 ; T(毕(当T= =华*=。=(三丁 (马丁N 二(V,T) 二(p,T)二(V,T)：p N,:pu、 ()t*0 ; = ()t =00V;:p习题2.6试证明一个均匀物体在准静态等过程中嫡随体积的增减取决于等压下 温度随体积的增减。解：F=U-TS,将自由能F视为P,V的函数；F=F(p,V)dF =dU -TdS-SdT -TdS - pdV -TdS -SdT(p,V)=-SdT(p,V) - pdVfcSy国JS, p)=例S,p)可T,p)_凤丁邛)=订；:V p FV,p ；:T, p ；：V,p ： V,parp)m由关系Cp = T习题2.7试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。(提示:证明 -0)二 p S 二p HT =T(P,S)dT =dp +S三dSS p证：T =T(p, H)dTHdp $ pdHa)dp+、H)三芝dp 1H p |. .p S图+借力借dp 得：联立 (1), 式2H：:p/1唔1二济德1 ”：T p据：dU =TdS - pdV嫡不变时，(dS=0)dU 二一pdVdH =TdS VdpT即/ScT1印/H原题得证。U都只是温度的函数，习题2.8实验发现,一气体的压强p与比容v的乘积及内能 即pv=f(T); U=U(T),试据热力学理论，讨论该气体物态方程可能具有什么形式。 解：pV=CT,其中C是一个常数。; pV = f (T) ; U =U (T)(2.2.7)及 U= U(T)卫=0=TFV t=p1订即：t Tfdf fK 一dT 一丁习题2.9证明：（巴）T =T（ N-2、2 )V , .:T（唯）t=-T（包）p,并由此导出: ?p FT；)pdpT证：据式（225）:Cv:告v”岑v-:Cv=TIscTcV )=T类似可证:真 t=-T；：2V .:T2pCv =cV)vdV ; Cp =C； -T ( (Po根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度 T的函数。习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度 T的函数，与比体积无关。证：范氏气体p -Or v-b = RT v由式(2.2.7)=T 空-p=TIt L%U ) aa UT=u(T，v)=u0f(T)fU. = f (T)；与 v 无关。.订v习题2.11证明理想气体的摩尔自由能可以表为:Cvf =CvdT+u0 T jdT - RlnvTs0=-TdTcvdT u0 -Ts0 -Rlnv解：f =u Ts ； df =du -Tds -sdT ,对于理想气体du =CVdT ,u = u(T)选上图示积分路径,过程I :dQTCydTTu u0 = Cv dT ; s - s0CvdTf1 =u -Ts = CVdT u0 -TCvdTTso过程H:Q -f2 = ：u -Ts= -T = - ：QTu = 0 ,根据热力学第一定律V . dvvVoQ = pdV = RT =RT ln -V0 V=CvdT uo -TdT -Ts0 RTln V0习题2.14 弹簧在恒温下的恢复力 X与其伸长x成正比，即.X= -Ax;今忽略弹簧的热膨胀试证明弹簧的自由能F、嫡S和内能U的表达式分别为;S(T,x) =S(T,0)-x2 dA2 dT1 dA oU(T,x) = U(T.0)+3(A-T 芯)x2解：X = Ax,A = A(T);U =U(T,x)dU*dT + )dx cT !xI ex AdF - -SdT A(T)xdx=：4S;A(T)x =.三 T12F(x,T)=gA(T)x2 +B(T)；T x 21 dA(T) 2 dB(T)x -dTdT由于 F = U -TS,c 12U = F TSAx22=1 A(T) - TAB(T) - TdB-dTX=0时，U=0,即不考虑自身因温度而带来的能量。实际上，B(T) -TdB =0 dTdB或 B(T)-T=U(T,0)即得：U (T,X) -U(T,0)1=3 A(T)-TdArn x2dT12f(x，t) = f(t，0) aAx;S(X,T) =S(T,0)-x2 dA2 dT习题2.15承前1.5和1.8题.试求将理想弹性体等温可逆地由Lo拉长至2Lo时所吸收的热和内能的变化。解：设自由能为W,dW=-SdT+FdlW. L LL0 L2 JI = F = bTA(T,L0)、比Jt显然，当 L=L0 时有：W(L0,T)=bTLA(T,L0)=A(T,L)=W(T,L0)-bT ;S二一融-匕丫凡：L2L0 L 2=W(T, L) =bT兄3L0、+W(T,L0)L 2L2 2L0 3 FW(T,L0) 元 T-2 一 ；T(注意到 Lo = Lo(T)支3L 2bT3。0- I2叮化W(T,Lo)-I；:T；W(T,L0)= FW(T,L)-T一0-S0=, S = b( L02L22Lo5)bTL2L2 ) cTSoSSy 2。”)进而求AU (略)。习题2.16 承2.15题,解：上接ex.2.15,L=2L0 SLL =L0_5_-bTL0 1 -T0 Il 20 J试求弹簧性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。一包：二 一T,S)=，T力L Js - 6(L,S) 一 一 Cl豆TL。2 一ClL -1上T1 L03 T2 PL0习题2.19计算辐射能在等温过程中体积由V1变到V2时所吸收的热量。解：SaT“ ；等t过程:3 习题2.2044Q =T S =-aT4。-Vi)3试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。解:TiT2dU =TdS - pdV(0)1 UTi 线上：T1ds = dU + pdV =dU + dV3VU _ 4 t_ 4一 二aT);由 U = aT V= dU =3aT3VdT +aT4dV ;在等T过程中： dU = aT14dV 结合(0).(1).(2).式得:4 1444 .Q吸I =T1AS= KaTi +-a1 ) dV = aT( AV1 33类似地,Q 吸=丁2-aT2lV2绝热过程:dS = 0 dU=_ pdV = - dV3VdU U 3V*0；=U1V =C (常数)代入 U = uV = aT4V; 二VcV?Vb_ 3T1 (Vc-Vd) d3 =1T1 (Vc -Vd)4.Q放.T2 (Vb -Va ).=1 一丁 = 1 一 -二 1Q吸T1 (Vc -Vd)习题2.21如下图所示，电介质的介电常数&(T)=与温度有关，试求电路为 闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。解：当电路闭合时，电容器电场恒定Ce =丁限 :T当电路断开时，电容器电荷包定八：SCd -T(-)d二 TdU =TdS EdDdF - -SdT EdD(哥t7等D，因而:S fSfS FDcD二 TCe -Cd =T( )e -( )d =T()t( )eT二 T二 D二 TFEFDT(三)D(7T)T_ 2D g)2E3 dT习题2.22已知顺磁物质的磁化强度为:C m=H ,右维持物质温度不变，使磁场由0增至H,求磁化热。 C，一 .、解：m = CH; M =mV.据式(2.7.7)T，Sm! =VN。 I =%1汨41打JhC )：H T2)等T下:V0CHCV J0H 2Q =T S = - HdH = T 0T 2习题2.23已知超导体的磁感应强度B = N0(H +m)=0 ；求证：(i )Cm与m无关,只是T的函数，其中Cm是在磁化强度m保持不变时的热容量；2.L0mCm(五7=1cmdT -亍 +U0；(iii)S=j/T+S。解：超导体B =M0(H +m)=0= H = mS rS ).、(i ) Ch =T (式 2.7.9)0习题2.24实验测得顺磁介质的磁化率,(丁)。如果忽略其体积的变化，试求特性 函数f(m,t),并导出内能和嫡。解： 显然,只与T有关；(T)_ I . m = m(H ,T )=lH ，dU =TdS0HdM; f =U -TS; df =dU -TdS -SdTn df = -SdT +%HdM ; dM =V i! dH + i ； dT 5H 人VcT ；h-=df = S + N0HV d dT + 0HV d dH10H 10t,2,if j=V%?(TH ; = f=V0 ；H +f0(T)=Mm2 + f0(T) 1 . H22f既已知：S = -旦、_a0m2JTjm 2r2TVmdU =TdS + N0HdM ; f =U -TS“02=U = f TS = 0-m22第三章单元系的相变习题3.2试由CvA0及（型）1 0证明Cp A0及（型）s 0。Np 2V证： 由式(2.2.1) =Cp-CvCPT p=T TS p;C年V，策dp =至dVN TtpvdTdp =；dV i vdS:p-dV-V sTSv,tfcSdV十 dT工订Jv至= w+.I 与4 UvJt 0 . IhJvIdS.L Cv0 i至1J旦1 +正数16V TT V 夫生0；因而 Cp A0习题 3.4 求证：(1) I =-空；(2) (- I、万，V,n16%,V1%.幻len%,p证：(1)开系吉布斯自由能dG =-SdT Vdp+：dn , p = p(V,T)=dG = -SdT + V |空 j dV + 空 j dT1 + NdnAcV Jt,Ev一=-SVdT + V 1 ；! TI=*V-S V：:G V T,n；V,n一Tn V.:n.:T VE V,n.:n.TV:S = _ :n T,V .二T V,n第(1)式得证。(2)由式(3.2.6)得：以二 n T72G I =；：2g,Pcpcn JTlkcncp T习题3.7试证明在相变中物质摩尔内能的变化为:&p dTu = L 1 一 I T dp J如果一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相,试将公式化简。解：由式(3.2.7)得：AU =TAS-pAV ；又由式(3.4.6)得:dp _ LdT TVp dT；L =TAS; = &U = L - L 上=L 1T dp p l 切一 v0-W如果P相是气相，相是凝聚相，试证明上式可简化为:dL _-77 cp cpdT证：显然属于一级相变；L= T(S(叽S);其中 S = S(T, p(T),在pT相平衡曲线上dL = S ： S+T ： T-：曲，dT；:T；:p dT其中:又有:但型）（初）/史）.:TJ I小入I打JpI 卬 dTJdpdTCP 二T闻府）-例FS 二若P相是气相，口相是凝聚相； V 爪0;l 7I T )+ TL_-v：0；p由麦氏关系（2.2.4）:上几式联立（并将一级相变的克拉伯珑方程代入）得:dL _ P :工=cp - cpdT p pP相按理想气体处理，pV=RT,= 匹=cpP-CpdT p p习题3.11 根据式（3.4.7）,利用上题的结果及潜热L是温度的函数。但假设温度的变化范围不大，定压热容量可以看作常数，证明蒸汽压方程可以表为:ln p.B .=A ClnT解：蒸汽压方程:1 dp Lp dT - RT 2dp L d TTJ L+ToCR _（L +To 2一dL（L I。）21_CR1nL To1 ToCR L To利用 ex.3.10结果。 dT=-d= T -T0 =；.CpC温度变化的范围不大；设，Cp =Cp - Cp =C(常数)dp LdL =2 = ln p =p CR L ToL+T o=T ;11 T=In p =In TKCRCR T习题3.12蒸汽与液相达到平衡。以 业表在维持两相平衡的条件下，蒸汽体积dT1-RF随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为 。.业=1 v dT T解：由式(3.4.6)克拉珀珑方程。并注意到方程近似为:年 LT TVV一气相摩尔比容。气相作理想气体,pV=RTR 订- RT V TV TLV = TR VRT2VV .FT P1RT2习题3.13 将范氏气体在不同的温度下的等温线的极大点N与极小点J联起来,可以得到一条曲线NCJ,如图3.17所示。试证明这条曲线的方程为:3一pv = a(v - 2b)并说明这条曲线分出来的三条区域IR田的含义。解：范氏气体:TiRT；RT aPk等温线上极值点，=极值点组成的曲线:RT 2a(v -b)2 一 v3；由包v - b二pv3 = a(v -2b)习题3.14 证明半径为r的肥皂泡的内压与外压之差为(略解)：连续应用式(3.6.6)及(3.6.16)。习题3.16证明爱伦费斯公式:cp2 -cp1dp _ otG)a(1)dpdT - k。-k。 dT - Tv(a(2。)证：对二级相变(dS) = 0 ；即 dS(2ldS，)=0 (d V) = 0 ; IP dV(2dVO=0dS2 =洋%+呼小小0 二：(dS);dS 2 -dS1 =:S2FTdT；S2dpFS2 FS1=包dT1治2；S1IL pp ：:p将 Cp =T传S少白!代/寸T人dp = dT*7；S2； S1由式(3.2.6)得:S；：p二2 J =-V ; 结合式(3.7.2) 二Tcp即为:,S 2 FS 1=V &(2)-C )；代入得:dpCp2 -Cp1 pdT - TV ： 2 - ： 1类似地，利用A(dV)=0可证第二式。(略)第四章多元系的复相平衡和化学平衡习题4.1若将U看作独立变数T, V n1,nk的函数，试证明:U 、，FU/c、-:UFU(1) U = ni +V ；(2) 2 =+vi i rniNFniV证：(1)U(T,九V,九n1,九nk) =?U(T,V,n1,nk)(2)根据欧勒定理，、Xiif = f ,可得XiFU :UU =、 ni V i fni VniuiUi:U;:U二一Vi二 ni二 V习题4.2证明MT, p,n1,nk)是n1,nk的零次齐函数,nj,二 nj|=0。证：N(T, p,九n1，加k) = Km邑(T, p, n ,1),化学势是强度量，必有 m=0,习题4.3二元理想溶液具有下列形式的化学势:L = g1(T, p) RTln Xi口2 = g2(T, p) RT ln X2其中gi(T, P)为纯i组元的化学势，Xi是溶液中i组元的摩尔分数。当物质的量分别为ni、n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后(1) 吉布斯函数的变化为AG = RT(n1 ln x1+n21nx2)(2) 体积不变AV =0(3) 嫡变 AS = R(n11n x1 + n21n x2)(4)始变AH=0,因而没有混合热。(5)内能变化如何？解：G = niR 1，n22(1)i=n1gl(T, p) n1 RTln x1 n2g2 (T, p) n2RT1n x2G0 =2 n / 三n1片 叫2 =n1g1(T, p) n2g2(T, p)所以G = G - G0 = n1RT 1n x1n2 RT In x2(2)2.；:(：G) V = ;VJ =0o：p中(3) S = - ； . S = -(G) = -n1R1n x1 -n2Rlnx2 FTFT(4) G = H -TS. H = G T S =n1RT1nx1n2RT1nx2 n1RT1nx1 n2RT1nx2 =0(5) U - - H - p. V =0习题4.4理想溶液中各组元的化学势为：氏=gi(T, P)+RTln xi ;(1)假设溶质是非挥发性的。试证明，当溶液与溶剂蒸发达到平衡时，相平衡条 件为g1 =g1(T,P) RTln-x) 、 、 . . . . .其中g1是蒸汽的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数。(2)求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为任一上：x T1。x将上式积分，得px = p0(1 - x)其中p0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸汽压。该 公式称为拉乌定律。解：(1)设 “1” 为溶剂，gi = =gi(T,P)+RTln(1 x)-g1RT 昼 fp (1 -x) fp tI x x1 = 11(2)由至=v =：:p口 v, = v RL_ i丝)；v蒸汽相摩尔热容(1-X) ：p Tv凝聚相摩尔热容故有 v-v=v,又有 pv =RTi入 =f i：X T(3)积分(2)式得拉乌定律习题4.8绝热容器中有隔板隔开，一边装有 n1 mol的理想气体，温度为T,压强为P1；另一边装有n2mol的理想气体，温度为T,压强为P2。今将隔板抽去，(1)试求气体混合后的压强；(2)如果两种气体是不同的，计算混合后的嫡变；(3)如果两种气体是相同的，计算混合后的嫡变。、pV 二 n1RT; p2V = n?RT解：(1)n n2RTni_n2V1V2RT(2)根据 S = nCV In T 十 nRln V 一 nRln n 十 nS0= n1CV lnTn1Rln(V1V2)一 n1Rlnn1-n1so一n1CVlnT - n1Rln V1n1Rln n1 一n1soS2 = Cv lnT n2Rln(V1 V2) -nzRlnn2 n2S0 -hCv lnT -%RlnV2n2Rlnn2 -eS。=n2RlnV V2V1 V2V1 V2S =n1Rln n2Rln V1V2(3)如果两种气体是相同的，混合后的嫡变S = S2 -S1S1=(n1n2)CV In Tn1RlnV1n2RlnV21nl Rlnn11n2Rln n2(n1n2)S0S2= (n1n2 )CVInT(n1n2)RlnV1V2)-(n1n2)Rln n1n2)(n1n2)S0V1V2V1V2.：S=(n1n2)Rln 12 -n1Rln - -n2Rln 2n1 n2n1n2习题4.9试证明，在NH3分解为N2和H2的反应中13-N2 -H2 -NH3 -O22平衡常量可表为二7 二 P41 一 ；如果反应方程写作N2 3H2 -2NH3 =0平衡常量如何?证：设NH3原来有no mol1分解了 no emol,未分斛(1-i)no mol,生成-nos mol N2 2一 3和now mol H2,共有摩尔数（1+no 2XN21-no ；-2；;(1 OnoxH23- no .2 o(1 - ；)n- f- ；X NH 3 一；(1 ；)no(1；)no平衡常量22 /、K p -(xn2 ) (xh2) (xnh3) p.27；2=2 p41如果反应方程写作N2 3H2 -2NH3 =O设 NH3原来有 2no mol,分解了 2noemol,未分解 2(1-s)nomol,生成 now mol N2和3no mol H2,共有摩尔数 2(1+ no；no ；3no ；Xh2 二2(1；)n02(1OnoXNH32(1 - ；)n。2(1；)n平衡常量132 1 31KP =(Xn2) (Xh2) (Xnh3) P3 324=3 ；(1- ;) p2 .271 p2(1；) 23(1；)3(116(1- ；2)2习题4.1o nov1 mol的气体A1和nov2 mol的气体A2的混合物在温度T和压强p下所占体积为Vo,当发生化学变化，v3A3+v4A 4-v1A 1r 2A 2 = 0 ；并在同样的温度和压强下达到平衡时，其体积为Ve。试证明反应度为Ve -Vo 12z =V 03 4 - - 1 - - 2证：未发生化学变化时，有pV0 =(nov +n0V2)RT(4.10.1)当发生化学变化时，原来有 nov1 mol的气体A1,反应了 nov1 emol,未反应 (1- ) nov1 mol, nov2 mol 的气体 A2,反应了 nov2 mol,未反应(1-) nov2 mol,生 成 nov3 mol A3 和 snov4 mol A4,有pVe =(1 - ；) n。1 (1- ；)n。2no、3 ；no4RT(4.1o.2)由式(4.1o.1)比式(4.1o.2)可得（4.10.3）Ve _ （1 - ；） no, 1（1- ；）n0, 2Ar 3；no、4Vonor no.解(4.10.3)式得.= Vo3 -4 -、1 一、2习题4.11 根据第三定律证明，在T-0时。表面张力系数与温度无关。即d。s 0 0dT证：表面膜系统，F=SdT+仃dA= 庄=S正=仃4A.沾T1t1i ；而实际上仃与a无关，即 Ja0）,故对邛积分可得:2m2 二 mS,m = d ；h22二S2二S P2D1，d ； = -2- PdP = -2 hh2 2m(s=L2)习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为w = cp。试求在体积 V内，在君到w+da的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。解：dn = V3dpxdpydpz = V3- p2sin6dpd6d h y h由于 cp只与p有关，与0、4无关，于是2V 2.4二 V 24二V；2DC。1PsinW二不皿而以上已经代入了2于是,_4 二V ；D(0-T(hc)习题6.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N和N.粒子间的相互作用很 弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：al =Me4之和a/=?-口鼻。其中再和 软是两种粒子的能级，叫和叼 是能级简并度。证： 粒子A能级，粒子数分布:ai简并度粒子B能级，粒子数分布： ai简并度/由二. ,2 二、2 ,222、一()(nx +ny +nz), nx, ny ,nz=O, 1, 2,2 in- in 11 in J 2即使C最大，Q1(inQ1 ),Q2(inQ2 )达到最大。= ai = e-1ai =%e*(注：必 与跖在此情况下独立)讨论，若将一系作为子系统，意味总能守恒，于是参照教材玻尔兹曼分布证 明=in ai 、a - 二 、ai in j 一 二：c a 一 二 i、 ii同一久，原题得证。这也是满足热平衡的要求。第七章玻耳兹曼统计习题7.12Ps 二2m2U3V,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。证：P7ai 翁 7 aTV !1/ 2 二 、 2 /222 、()(nx ny nz )2m L根据公式P =-Z ai且证明，对于非相对论粒子: i N-9-： L (2 工；)2222=- i ai 五 茄T (nx ny nz)其中u；33(对同一 i, nx2 +nynz2)2U3V习题7.2试根据公式P = - ie ai ；:Vai二；iai 一 V2(nny2),1-2,22赤(2二 ) (nxnyn1 (2二一)2(nx2 - ny22mL2)V”)225nz )-3-3V3V 3证明，对于极端相对论粒子:,ny,nz=0, 1, 2,cp = c2(nx2 +ny2+心2)12, n，1 U . 有p= ，上述结论对玻耳兹3分布、玻色分布和费米分布都成立。3V证：对极端相对论粒子类似得P = - ai ；i V二 cp 二2二 222 12c - (nx nynz )P 二二 i_11ai ； (2二),n；)2V 3.V-Zi2 _413Vai iV3V 3()=-3习题7.3当选择不同的能量零点时，粒子第i个能级的能量可以取为 鸟或铲i,以 表示二者之差f3。试证明相应的配分函数存在以下关系Zj = e.1 ,并讨论由配分函数乙和Z*1求得的热力学函数有何差别。证：配分函数乙= Me及乙一二、-e,J =、-e二二e一；Z以内能U为例，对Zi：-U = -N7-lnZi对 Zi*:U * u -N，lnZ*i u -N-ln e 乙)=N ： U习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，嫡函数可以表示为S - -Nk，Psln Psss Qis式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，PS =e =e , Z 对粒子的所有量NZ1s子态求和。证法一：出现某状态匕几率为Ps设Si,S2,&状态对应的能级 尽； 设&+1 ,Sk+2,Sw状态对应的能级 电；类似；则出现某微观状态的几率可作如下计算：根据玻尔兹曼统计T - sPS=；显然NP代表粒子处于某量子态S下的几率，NPS=eW隹。于是工e代表处于S状态下的粒子数。例如，对于与，能级ZK e。一限个粒子在 知 5 )上的K个微观状态的概率为：fSk 生、P(SAPs(粒子数)=Ps&吗“5k efV ：类似写出：P(S”)=Ps飞1J等等于是N个粒子出现某一微观状态的概率。Sp -Ji. I p s = PSS =Syk e&-降iSPsIk e-盘-降产 )1一微观状态数1 =-,(基于等概率原理)S = klnS = kln1S SW口、. eC,PS飞壬k邛 j=k b (e-SJn PS* +Z (e思Xn PS”+.| S1SK 1将 NPs=e*与带入=S = -kNZ PslnPs；s习题7.5固体含有A、B两种原子。试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起 的混合嫡为S = k InN!Nx n(i -x)!=N/&ln x+(1x) ln(1x)其中N是总原子数，x是AN!原子的百分比，(1-x )是