行置换算子集杨盘T的所有的行置换算子组成的集合实用教案

会计学1行置换算子集杨盘行置换算子集杨盘T的所有的所有(suyu)的行置的行置换算子组成的集合换算子组成的集合第一页，共63页。引理引理1: 设设T和和T是两个杨盘是两个杨盘, 由置换由置换(zhhun)r相联系相联系, 即即T=rT. 置换置换(zhhun)s作用于杨盘作用于杨盘T上将上将T中任一位置中任一位置(i,j)处的数字变处的数字变 到到sT中的中的(k,l)处处, 则则s=rsr1作用在作用在T上将上将T中位于中位于(i,j) 处的数字变到处的数字变到sT中的中的(k,l)位置位置.推论推论: 设设T和和T是由置换是由置换r相联系的两个相联系的两个(lin )杨盘杨盘, 即即T=rT, 则有下列关系成立则有下列关系成立11111( )( ),( )( )( )( ),( )( )( )( )R TrR T rC TrC T rP TrP T rQ TrQ T rE TrE T r第1页/共63页第二页，共63页。引理引理2: 设设T是杨盘是杨盘, p和和q分别是分别是T的任意行置换和列的任意行置换和列 置换置换, T 与与 T 通过置换通过置换 pq 相联系相联系, 即即T=pqT. 则则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在在 T 的同一列的同一列. 设两个杨盘由置换设两个杨盘由置换 r 相联系相联系,即即T=rT. 如果如果(rgu) T 中中 任意两个位于同一行的数字不出现在即任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同的同 一列一列, 则置换则置换 r 必可表示为必可表示为 r = pq.引理引理3: 设设 T 和和 T 是属于不同杨图是属于不同杨图 和和 的的两两 个杨盘个杨盘, , 则总能找到两个数字则总能找到两个数字(shz)同时同时出现在出现在 T 的同一行和的同一行和 T 的同一列的同一列. 第2页/共63页第三页，共63页。引理引理4: 如果存在如果存在(cnzi)两个数字同时位于杨盘两个数字同时位于杨盘T的同一行的同一行 和杨盘和杨盘 T 的同一列的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足则这两个杨盘的杨算子满足推论推论: 属于属于(shy)不同杨图的两个杨盘不同杨图的两个杨盘 T 和和 T , 必有必有( ) ( )0E T E T ( ) ( )0E T E T 引理引理5: 设( )ns Sxx s s是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数(chngsh)因子, 即 qpxqx( )xE T第3页/共63页第四页，共63页。引理引理6: 对应于杨盘对应于杨盘 T 的杨算子的杨算子 E(T) 是一个本质的本原幂等是一个本质的本原幂等元元. 相应相应(xingyng)的不变子空间的不变子空间 RG 是对称群是对称群 Sn 的一个的一个不可约表示空间不可约表示空间, 其维数是其维数是 n! 的因子的因子. 引理引理7: 同一杨图的不同杨盘对应同一杨图的不同杨盘对应(duyng)的表示是的表示是等价的等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的. 第4页/共63页第五页，共63页。5.2 对称对称(duchn)群的不可约表示群的不可约表示定理定理: 杨算子杨算子(sun z)E(T)是本质幂等元是本质幂等元, 相应的不变子空相应的不变子空间间 RG E(T) 是对称群是对称群Sn 的一个不可约表示空间的一个不可约表示空间, 给给 出出Sn 的一个不可约表示的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的表示是不等价的.标准杨盘标准杨盘: 在杨图上在杨图上, 每一行数字每一行数字(shz)按从左按从左向右增大向右增大, 每一列数字每一列数字(shz)按从上到下增大的按从上到下增大的顺序来填充顺序来填充, 得到的杨盘称为标准杨盘得到的杨盘称为标准杨盘. 记作记作定理定理: 杨图对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数 f . 2 ()!fn rT第5页/共63页第六页，共63页。杨图杨图的标准的标准(biozhn)盘个数的盘个数的计算公式计算公式:gij为杨图上位置为杨图上位置(i,j)处的钩长处的钩长.半正则半正则(zhn z)表示表示:标准盘系列(xli): 从 Sn 的一个标准杨盘Tr出发, 作标准盘系列(xli): ( , )!iji jnfg1231 1,.,nrrrrrTTTTTT相应杨算子为1231 1,.,nrrrrrEEEEEE相应本原幂等元为112211 /,/,/,.,/nnrrrrEEEE5431321第6页/共63页第七页，共63页。半正规单位半正规单位(dnwi)(半正则母单位半正则母单位(dnwi): 定义定义算子算子121212323231212111 10 11.11nnnnnnnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrrrreeseeEeeeEeeeEeeeEe !/nf为本原(bnyun)幂等元, 且满足 re1111121121121121122 222 1111nnnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrreeeEeeEeeEeEeEeeEeEeEe 0 rsrsrrreeees第7页/共63页第八页，共63页。半正规单位半正规单位(半正则母单位半正则母单位)定义定义: 设属于同一杨图的设属于同一杨图的标准盘标准盘 和和 由置换由置换(zhhun) 相联系相联系, 即即 定义算子定义算子 . 为杨算子为杨算子.11 1rsrrsseeEe rT sTrsnS srsrTT rsrrssEPQ rrrrrEPQE构造(guzo) Sn 群代数 RG 的一组基其中(qzhng) ,1,1,2,2,2,1,1,.,1 nnnnn ,1,2,.,r sf上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位, 满足 rstustrueee1) 半正规单位共有n!个, 在群代数空间是完备的. 2) 每一个杨图对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示.3) Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵. 4) 在半正规基矢下, 表示约化为5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积. ( )V sfV第8页/共63页第九页，共63页。求表示(biosh)矩阵元V(s)的规则, 其中s=(k 1,k) : ( )1rrVs1) 当数字(shz)k 1和k在Tr的同一行时,对角元2) 当数字k 1和k在Tr的同一(tngy)列时,对角元 ( )1rrVs 3)当数字k 1和k不在Tr的同一行和同一列时, 设 Tu = s Tr, 则 2 ( ),( )1,( )1,( ),rrruuruuVsVsVsVs 其中为Tr中数字k 1到k 的轴距离的倒数.4) 其它情况矩阵元为零.第9页/共63页第十页，共63页。酉表示酉表示(biosh):定义(dngy)对称群代数 RG 的新基矢 /rsrsrsOe其中(qzhng) r是由杨图和r决定的数, 称为盘函数.如果盘函数取为 1 ( )(1)(1)( )(1)nrrrrrnnncC是标准盘Tr中数字n与第行最后一个数字的轴距离的倒数, n是数字n所在行数. 上述基矢给出对称群的酉表示.第10页/共63页第十一页，共63页。李代数李代数(dish): 设设g是数域是数域K上的线性空间上的线性空间, 对于任意对于任意X,Yg, 定义李积定义李积X,Yg, 如果李积满足下述条件如果李积满足下述条件: 1) 双线性双线性. 即对任意即对任意a,bK, X,Y,Zg, 有有 2) 反对(fndu)称. 即对任意X,Yg,有3) 雅可比关系(gun x), , ,aXbY Za X Zb Y ZX aYbZa X Yb X Z, ,X YY X , , , , 0X YZY ZXZ XY则称代数g为李代数.以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g=X=aiXi|aiR中,若定义李积为对易关系X,Y=XY-YX, 则构成一个李代数.第11页/共63页第十二页，共63页。6.1 基本概念基本概念 子代数子代数: : 设设g1g1是李代数是李代数g g的一个子集的一个子集, , 如果对任意如果对任意X,Yg1, X,Yg1, 李积运算李积运算(yn sun)(yn sun)都满足都满足1,X Yg则g1称为李代数(dish)g的一个子代数(dish). 群的乘法群的乘法: 两个两个(lin )置换的乘积置换的乘积rs为先进行为先进行s置换置换,再进行再进行r置换置换. 理想子代数理想子代数: 设g1是李代数g的一个子集, 如果对任意Xg1, Yg, 都有1,X Yg则g1在李积运算下是不变的, 称为李代数g的一个理想子代数, 或简称理想. 第12页/共63页第十三页，共63页。 中心中心: : 李代数李代数(dish)g(dish)g中所有与李代数中所有与李代数(dish)(dish)对易的对易的元素组成的集合元素组成的集合, , 称为李代数称为李代数(dish)g(dish)g的极大可交换理的极大可交换理想想, , 或简称为李代数或简称为李代数(dish)g(dish)g的中心的中心, , 即即,0,CXg X YYg 1212,0ggggg 直和直和: : 李代数李代数(dish)g(dish)g的两个理想的两个理想g1g1和和g2g2如果满足条如果满足条件件则称李代数(dish)g是理想g1和g2的直和. 记为g=g1g2.第13页/共63页第十四页，共63页。1212121,0,gggggg gg 半直和半直和: : 李代数李代数(dish)g(dish)g的两个子代数的两个子代数(dish)g1(dish)g1和和g2g2如果满足如果满足则称李代数(dish)g是g1和g2的半直和. 记为g=g1Sg2.第14页/共63页第十五页，共63页。 1()()( ),(), ( )P aXbYaP XbP YX YZgP ZP XP Y 同构同构: : 设设g1g1和和g2g2是两个李代数是两个李代数, , 如果存在一个从如果存在一个从g1g1到到g2g2的一一对应的满映射的一一对应的满映射P, P, 且对任意且对任意(rny)a,bK(rny)a,bK和和X,Yg X,Yg 满足满足则称李代数(dish)g1和g2同态. 同态同态: : 设设g1g1和和g2g2是两个是两个(lin )(lin )李代数李代数, , 如果存在一个如果存在一个从从g1g1到到g2g2的满映射的满映射P, P, 且对任意且对任意a,bKa,bK和和X,Yg X,Yg 满足满足 1()()( ),(), ( )P aXbYaP XbP YX YZgP ZP XP Y则称李代数g1和g2同构. 第15页/共63页第十六页，共63页。 单纯李代数单纯李代数: : 如果李代数如果李代数g g不具有非平庸不具有非平庸(pngyng)(pngyng)理理想想, , 则称则称g g为单纯李代数为单纯李代数, , 或单李代数或单李代数. . 半单李代数半单李代数: : 如果如果(rgu)(rgu)李代数李代数g g不具有非平庸可交换不具有非平庸可交换理想理想, , 则称则称g g为半单李代数为半单李代数. .iigg 半单李代数半单李代数(dish)(dish)的判据的判据: : 判据判据1 1 李代数g是半单李代数的充要条件为: g可以写作其理想的直和, 即且gi均为单李代数.第16页/共63页第十七页，共63页。李代数(dish)的内导子: 李代数(dish)g上的内导子是李代数(dish)g上的线性变换, 设Xg, 则内导子ad(X)定义为半单李代数(dish)的嘉当判据: 李代数(dish)g为半单李代数(dish)的充要条件是:(),ad X ZX ZZg 李代数(dish)的基林型(基林度规张量): 定义为下述对称张量ggC C其中C是李代数g关于基矢 X1, X2, , Xn 的结构常数, 即,XXCXdet()0g即基林度规张量不退化, 存在逆张量gg第17页/共63页第十八页，共63页。李代数(dish)的卡塞米尔算子: 12设,是 半单 李代 数的 一 组基矢,定 义称 为 的 卡塞米 尔算子 .nXXXgCgX XCg半单李代数(dish)g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易. 推广(tugung)的卡塞米尔算子: 3211 12212iiiiICCCX XX 第18页/共63页第十九页，共63页。李代数(dish)的内导子与基林度规张量的关系:李代数(dish)的导出代数(dish)-子代数(dish)链:12设,.,为 李代 数的 一 组基矢,内 导 子()在这组基矢下表示 为(),则nXXXgad Xad XXXXCX()()ggC Ctr ad Xad X(0)(1)(2)ggg1. a)李代数(dish)g的导出链(0)(1)(0)(0)(2)(1)(1)( )(1)(1)其 中,kkkggggggggggg b)可解李代数: 如果存在一个正整数 k , 使得( )(1)(1),0kkkggg则g称为可解李代数.第19页/共63页第二十页，共63页。012gggc) 可解李代数(dish)的每一个子代数(dish)都是可解李代数(dish).d) 可解李代数(dish)不含任何单纯李代数(dish).01021 1其 中,kkgggg ggg ggg g b)幂零李代数(dish): 如果存在一个正整数 k , 使得 1,0kkgg g则g称为(chn wi)幂零李代数.2. a)李代数g的降中心链c) 幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.d)幂零李代数不含任何单纯李代数.e)幂零李代数必为可解李代数定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.第20页/共63页第二十一页，共63页。例: so(3)李代数(dish) b)卡塞米尔算子(sun z)22212311()22ijijijijCg X XX XXXX a) 基林度规张量, ,1,2,3kijijkkijijkXXC Xi j kC 212mlijjiiljmilmjmlilmjlmijijijggC Cg 第21页/共63页第二十二页，共63页。6.2 复半单李代数复半单李代数(dish)的正则形式的正则形式 李代数李代数(dish)(dish)基底基底 ( (线性变换线性变换)- )- 另一组基底另一组基底1. 李代数(dish)上的本征值问题李代数 g 是 r 维复李代数, X 是 g 的一组基底, 满足( ),ad A XA XX, 对任意,考 虑的 本 征 值 问题,即XXCXAa XA 其 中,为 本 征 值 .本 征 方程 可写为Xx Xga x CXx X因 X 是李代数 g 的一组基底, 是 g 上一组线性无关的向量()0a Cx是关于 x 的本征方程, 有非平凡解条件为det()0a C在复数域上有 r 个非平凡解, 每个解称为李代数的一个根.第22页/共63页第二十三页，共63页。2. 李代数(dish)的嘉当子代数(dish)如果 (1) 选择 A , 使 A 的不同根的数目最大; (2) 李代数 g 是半单李代数. 则 (a) 只有 =0 的根是简并的, 而其余的非零根都是单的; (b) 半单李代数的秩 : 零根 =0 的简并度 l 称为(chn wi) g 的秩; (c) 嘉当子代数: 对零根 =0 , 有 l 个线性无关的本征向量与之对应, 记为 Hi (其中 i = 1,2, l ), 则 ,0,0,iijiiH HA HAH l 向量 Hi 张开(zhn ki) r 维李代数 g 的一个 l 维子代数, 称为嘉当子代数iiiHC(d) 其余的 ( r l ) 个非零根对应的本征向量 E 满足 A, E = E, 张开 一个(r l ) 维子空间, 称为嘉当子代数的补空间.第23页/共63页第二十四页，共63页。3. 李代数(dish)的根的性质 (1) 设 Hi 是半单李代数 g 的嘉当子代数的基, 满足(mnz) Hi , Hj =0; E 是 A = i Hi 的非零本征值 ( g的 非零根对应的本征矢, 满足(mnz) A, E = E, 则,是 属于 本 征 值的的 本 征 向量 .iiiiiiCH EEA i 可看作 l 向量空间中向量 的协变分量. 根 则表示(biosh) l 向量空间中分量为i 的向量, 称为根向量. ,iiiiiiiiiiA H EA H EA E HHA EA HEEA HA EHHA EA EHH E 对李代数的根进行分类证明: Hi , E 是A的属于同一本征值的本征向量, 是非简并的,iiiiiiiiiiH EECA EH EEE 第24页/共63页第二十五页，共63页。 (2) 如果(rgu) E 和 E是g的两个非零根, 则,(),AEEA E EA E EA EEEA EEA EA EEE EE EE EE EEE证明(zhngmng): ,0不是 根0是 根iiCHEENE 是的 本 征 值 为的 本 征 向量EEA,00不是 根0是 根iCEEC ECN 半单李代数(dish)非零根是单根第25页/共63页第二十六页，共63页。, , .标 记 嘉 当 子 代数基矢,., .标 记 非零本 征 值 对应 的 本 征 向量(嘉 当 子 代数补空 间 基矢),., , , ,.可取 , , .和 , .000不是 根0是 根ijkijiiii j kH HHEEEi j kCCaCCN 第26页/共63页第二十七页，共63页。 (3) 根的对称性质 定理: 对于(duy)半单李代数的每一个非零根 , 必有一个根 存在. ,iiiiiiiiigC CC CCCC CC CCCCC 证明(zhngmng): 考虑基林度规张量根据(gnj)根的性质(1)和(2), 有0,如果g 所以, 如果 不是根, 则基林度规张量的本征值 对应的行中所有元素为零, 故 det ( g ) = 0 . 与半单李代数前提相矛盾. 0,0 ()iiggggif 第27页/共63页第二十八页，共63页。01100110ikgg(1)规定(gudng) E的归一化因子, 使(2) gik 看作(kn zu)向量 张开的 l 维空间的度规张量, 且有1g (3) 全反对称张量4. 嘉当-韦尔基则基林度规张量为0,0 ()iiggggif ,det()0det()0ikikikikijikgggC CC C Cg CCCCCgC 第28页/共63页第二十九页，共63页。i 为 的逆变(n bin)分量. (4) 半单李代数 g 的嘉当-韦尔基底(正则(zhn z)形式)iikikikikkkkkikikikikkkCg Cg Cg Cg gCg gg gg ,iiiiEECHH 12,lH HH EEE正则形式下对易关系(gun x)(结构常数),0,0ijiiiiH HH EEEEHEENE 卡塞米尔算子:ikikikikCgX Xg H HgE Eg H HE E根 向量内 积 :( ,)ii 第29页/共63页第三十页，共63页。(1) 如果(rgu) 和 是半单李代数的非零根, 则(2) 如果 是半单李代数(dish)的根, 则 的整数倍m 中,只有 , 0 , 才是根. 5. 关于根的几个(j )定理2( ,)2( ,)是 一个 整 数, 且也 是 一个 根.( , )( , ) 且存在一个 的根链 ,g 其 中是 根, 而不是 根;是 根,而(1) 不是 根.gg,(1) ,g 或第30页/共63页第三十一页，共63页。(3) 如果(rgu) 和 是半单李代数的非零根, 则的根链最多只含有 4个 根, 因 此2( ,)0, 1, 2, 3( , ) 6. N 的确定(qudng),(1) ,g 设半单李代数(dish)的根链为则,(1)( , )2NN 第31页/共63页第三十二页，共63页。7. 根向量(xingling)的图形表示(1) 半单李代数根向量(xingling)的性质12根 向量 :(,)l a)如果(rgu) 是根向量, 则 也是根向量;b)如果(rgu) 和 是根向量(非零根), 则2( ,)是 一个 整 数;( , ) 2( ,)也 是 一个 根向量.( , ) c) 如果 和 是根向量(非零根), 则第32页/共63页第三十三页，共63页。d) 定义(dngy)两个根向量 和 之间的夹角和长度比分别为2( ,)( ,)cos,( , )( , )( ,)1 1cos0,14 2 取 为长度(chngd)较长根向量; 考虑到 和 均为根向量, 只需取锐角. 可得下述几种情况030456090( ,)13/211/20( , )( ,)11/21/21/20( ,)( ,)1321不定( , ) 第33页/共63页第三十四页，共63页。(3)秩 l 2的单李代数: 典型李代数的根系(4) l 维根空间(kngjin)中, 引进 l 个相互正交的单位向量2.李代 数2 个 根 向量 :和(1,2, )给出李代 数的 所有 非零根liijlaBleeeijlB12(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)leee2.李代 数2 个 根 向量 :2 和(1,2, )给出李代 数的 所有 非零根liijlbCleeeijlC.李代 数2 ( 1)个 向量 :(1,2, )给出李代 数的 所有 非零根lijlcDleeijlD第34页/共63页第三十五页，共63页。根向量的图形(txng)表示(1)1秩单李代数(dish): 李代数(dish) A1 , l =1. cos0,有 两 个 非零根和,根 向量图 为0(2) 2秩半单李代数(dish):2.30 ,李代 数aG22.45 ,李代 数和bBC2.60 ,李代 数cA2.90 ,李代 数dD第35页/共63页第三十六页，共63页。.李代 数考 虑 (1)为 空 间 中 的(1)个 向量 :(1,2, ,1)到 适 当 的维子 空 间 的 投 影 给出李代 数的 所有 非零根lijldAll leeijl llB441244.例 外 李代 数1在的 36个 增 加 16个 向量 :()2给出李代 数的 所有 52个 根jeFBeeeeF(4) 例外李代数(dish)及其根系,四 个 根 系分别对应 与典型李代 数(1),(21),(2 ),(2 )llllA B C Dsu lsolspl sol第36页/共63页第三十七页，共63页。657712456.例 外 李代 数在的 根 系中 增 加 向量 :2,1()22jfEAeeeeeeee771245678.例 外 李代 数在的 根 中 增 加 向量 :1()2jgEAeeeeeeee881245678.例 外 李代 数在的 根 中 增 加 向量 :1()2jhEDeeeeeeee2.例 外 李代 数iG第37页/共63页第三十八页，共63页。8. 素根和邓金图(jn t)对于给定的半单李代数, 有关其根向量的信息, 可以从所有(suyu)根向量集合的一个子集合得到. (1)正根: 在某个任意(rny)选定的基底下, 如果根 + 的第一个(2) 不为零的坐标是正的, 则称+ 为正根. 通常, 组成根图(3) 的一半非零根是正根. 所有正根和的一半记为素根的概念12(2)素根(单纯根): 如果一个正根不能分解为另外两个正根 之和, 则称这个正根是素根. 上述B2 的4个正根中, 只有(0,1)和(1,1)是素根. 例: 李代数B2 的8个非零根:(1,0),(1,1),(0,1),( 1,1),( 1,0),( 1, 1),(0, 1 ),(1, 1) 中, (1,0), (1,1), (0,1), (1,1) 是正根.第38页/共63页第三十九页，共63页。(3)素根系: 所有素根组成的集合, 用 来表示. (4)对于秩为 l 的半单李代数, 共有 l 个素根, 它们是线性无关的, (5) 构成(guchng)根空间一组基, 每一个正根都表示为,其 中为非负整 数kk关于(guny)素根的定理 (1) 如果 和 是半单李代数(dish)的两个素根, 则.不是 根2( ,).为非负 整 数( , )ab (2) 如果 和 是半单李代数的两个素根, 则这两个素根的夹角只能取 90 , 120 , 135 和 150 , 设 是长根, 则,1当1202当135( ,)3当150( , )不定当90 第39页/共63页第四十页，共63页。11,(1) 李代 数B : , 1,2,1 (,)素 根与间 夹 角 : cos2(,)(,) ijliiillijijijiijjeeileijl 11,1, 120(,) cos(,)(,)2 135iiilllililiilljl 111,(2) 李代 数C : , 1,2,1 2素 根与间 夹 角 : 1 120 135iillliiillijeeileil 典型(dinxng)李代数的素根系: 素根与基底选取有关第40页/共63页第四十一页，共63页。111,(3) 李代 数D : , 1,2,1 素 根与间 夹 角 : 120(,) cos(,)(,iiilliiilllijiliileeileeijlijl 22,2) 120llill 11,(4) 李代 数A : , 1,2,素 根与间 夹 角 : 120iiliiiijeeilij 第41页/共63页第四十二页，共63页。邓金图(jn t): 用图形表示半单李代数的素根系: 一个小圆圈代表一个素根; 夹角为120, 135, 150的两个(lin )素根分别用单线、双线和三线连结; 正交的两个(lin )素根不连; 连线箭头由长根指向短根.典型李代数(dish)的邓金图:(a) 李代数Bl2B123B231lB2l11l2l第42页/共63页第四十三页，共63页。(b) 李代数(dish)Cl2l11l2l(c) 李代数(dish)Dl2l11l2l第43页/共63页第四十四页，共63页。嘉当矩阵(j zhn): 设=1 , 2 , , l 是半单李代数(dish)的素根系, 则称2(,)(,)ijijiiA 为元素构成的矩阵为嘉当矩阵.嘉当矩阵对角(du jio)元恒为2, 非对角(du jio)元只能取0, 1, 2, 3例:11,1,1,1,1(1) 李代 数B : , 1,2,1 :(,), = : (,), =, 2liiillijijijijilililillil ieeileijlAijlAA 第44页/共63页第四十五页，共63页。9. 典型李代数(dish)的根系单李代数根向量的完全集由其素根系(gnx)和嘉当矩阵确定.(1)如果(rgu) 是正根, 则, 其 中为 素 根,为非负 整 数 .iiiiikk(2)如果已知m级正根和所有m级以下正根, 则m+1级正根都具有设, 则称 为级 正 根iimkm的 形式 ,其 中为素 根.jj(3)问题: 对于已知的m级正根, 确定出素根j , 使得 是根. 考 虑的根链,(1), ,jjjj 根据假设(1), 是已知的. 且12( ,)(,)ljijiijjk A 第45页/共63页第四十六页，共63页。10. 舍瓦累基底(j d)设g是秩为 l 的单李代数(dish), (m) 是其第 m 个素根, 定义下列 3l 个元素()()()()()()()()()()()()()()22(,),(,)(,)其 中1,2, .(,),(,)mmmmmmmmiimmimmmm ihHeEmlHH满足(mnz)下述对易关系: 3l 个元素并不一定生成整个李代数g, 舍瓦累基底中的其它元素由下式得到()( )()( )( )()( )(),0,mjmjjmjmmjmjhhheA eeeh ()( )( )()( )( )()( )( )()( )( ),mjkmjkmjkmjkeeeeeeee第46页/共63页第四十七页，共63页。11. N 的确定(qudng),(1),(1),(1),(1)由 雅 可比 关系,有,0,()nnnininnnniinnnnnnEEEEEEEEEEHENEENEnENNENN 11则 ( ,)(1) 2( ,)()( , )2nnnEnFFnn ,EENE (1) 考虑(kol) 的根链,(1) ,是 根 ; (1) 不是 根 .是 根 ; (1) 不是 根 . ,(1) ,设,则 0 当或(1).nnnnFNNFnn 第47页/共63页第四十八页，共63页。0,2( ,)当时 ,( , )1当0时 ,得 到(1)( , )2nnFNNNN 得到,(2)设,为 非零根 , 则 (),()()()()(),()()()()()()()()()()ad Ead ENad ENad Etr ad Ead Ead ENtr ad Ead ENgtr ad Ead Ead Ead Ead E ad Etrad E ,()()()()考 虑的 规范 化1,得 到同理,规定 相 因 子 ,使,则ad Ead ENtr ad Ead ENgEggNNNNNNNN , (), ()(1)( , )2NNNN 第48页/共63页第四十九页，共63页。12. 例: 李代数(dish)A2邓金图(jn t):(1) 嘉当矩阵(j zhn):由邓金图知, 李代数A2 有两个素根 和, 长度相等, 夹角为 120, 即( ,)1( , )( ,), cos2( , )( ,) 由此得到: 11( ,)( , )( ,)22 嘉当矩阵: 2112A第49页/共63页第五十页，共63页。(2) 根系(gnx):a.考虑(kol) 的根链,(1) , 由于和均为素根, 故不是(b shi)根, 得到=0. 1002, 1101 是 根 , ( , )2( , )2( ,)( , )iiiA k 考虑 的根链, 同理可得 + 是根.b. 考虑 + 的根链(),()(1) ,(),()由于是根, 不是根, 得到=1. 1112, 101 2 不是 根iiiA k 第50页/共63页第五十一页，共63页。c. 考虑(kol) + 的根链(),()(1) ,(),()由于(yuy)是根, 不是根, 得到=1. 2111,201 2不是 根iiiA k d. 所以(suy), 李代数A2 共有3个正根: , , =+ 6个非零根: , , , , , 2个零根.(3) 根图第51页/共63页第五十二页，共63页。(4) 嘉当-韦尔基底(j d)12(),H HEEEEEE 取基底(j d)的规范化, 使得:ikikikikgC C故可得, ,31( , )( ,)( ,)( , )22ikiiikikiigg 1131131,1,02222333再由 的根链, 知, (), ()(1)1( , )26NNNN 第52页/共63页第五十三页，共63页。(5) 嘉当-韦尔基的对易关系(gun x)1212121()()2()1212()111,0,22 311,22 31,0,31111,222 32 31,31,6H HH EEHEEH EEHEEH EEHEEEHHEEHHEEHEEEEE ()()1,61,6EEEE 第53页/共63页第五十四页，共63页。(6) 舍瓦累基()()()()()(),0,2,2,hHh eeh eehEeheeh eheeeeeeeeeeheeheehh 1212()()()33,33,6,6,6,6hHHhHHeEeEeeeEeeeE 对易关系(gun x)第54页/共63页第五十五页，共63页。定义定义: 设设g是李代数是李代数, V是复数域是复数域C上的线性空间上的线性空间(kngjin), gl(n,C)是是V上的上的 一般线性李代数一般线性李代数. 如果存在一个从如果存在一个从g到到gl(n,C)的同态线性映的同态线性映 射射A, 对于任意对于任意X,Yg, 使得使得 A: XA(X)gl(n,C), 且映射且映射A保持保持g的运算规律不变的运算规律不变, 即即则称映射(yngsh)A是李代数g的一个表示, V称为这一表示的表示空间.()()( ), (), ( )A aXbYaA XbA YA X YA XA Y关于李群表示(biosh)的几个定理:1. 可解李群的每一个有限维不可约表示都是一维的. 2. 连通单纯紧致李群的不可约酉表示都是有限维的.3. 连通单纯非紧致李群的不可约酉表示, 除恒等表示外, 都 是无限维的.第55页/共63页第五十六页，共63页。设g是半单李代数(dish), g的嘉当-韦尔基底为李代数g的表示(biosh)A可用基底的表示(biosh)得到, 即7.1 半单李代数(dish)的表示,iH E则李代数g可表示为|,iiigb Hb Eb bC( )()()|,iiiA gb A Hb A Eb bC的表示矩阵保持g的李积运算规律不变, 即,iH E(), ()0(), ()()(), ()()(), ()(),0ijiiiiA HA HA HA EA EA EA EA HA EA ENA E 第56页/共63页第五十七页，共63页。权 : 权的概念(ginin):12设 |是 表示 空 间 中 的 共 同本 征 向量,即 | ( 1,2, )则个本 征 值的 集 合,构成一个 空 间中 矢量的 协变分量 .将 矢量称 为本 征 矢|的 权矢量,简 称 权.liiiiuuHHuuilllu 维空 间称 为权空 间 .l 关于(guny)权的一些性质和定理:1. 如果 |是 表示 空 间中 一个 权为 的 向量, 则| 是 中 权为 + 的 一个 向量. () 或 ()iiiiiuVEuVH EuE H uEuEuHEuE H uEuEu 2. 定理: 半单李代数的任意表示空间V至少(zhsho)有一个权. 第57页/共63页第五十八页，共63页。( )( )( )( )3. 定 理: 设 是 一个 权为 的 向量, 是 权为 的 矢 量, 如果 可以 表示 为 的 线性 组合 , 并 且 其 中 的都 与不同, 则 必 为 零向量.kkkkuuuuu推论: 具有不同(b tn)的权的本征向量相互之间线性无关. 在 n 维表示空间中, 最多有 n 个权. 5. 定理: 半单李代数的一个不可约表示空间(kngjin)VA可以分解为AAVV 其中(qzhng)VA 是由权为的本征向量所张开的VA的子空间.4.对于表示空间VA 中一个权, 如果有m个线性独立的本征向量 与之对应, 则该权在表示A中出现m次, 称该权是m重权. 如果对应于一个权的本征向量只有一个, 则称该权为单权. 在权空间选定一组基底后, 如果一个权的第一个非零分量是 正的, 则称该权为正. 如果两个权的差为正, 则称第一个权比第二个权高. 如果一个权比其它的权都高, 则称这个权为最高权.第58页/共63页第五十九页，共63页。2( , )2( , ). 是 一个 整 数, 且是 一个 权; ( , )( , )2( , )b. 和 具 有 相 同的 重 数;( , ). 如果 为 单权, 则 存在 一个 的 权链 ,(1) , 而(1) 和 (1) 不 是 权. acrrqrq 且2( , ) = ( , )rq 7.正则基: 在表示(biosh)空间中选取权为i 的本征向量 | i 为基底, 8. 如果权i 按下列次序排列, 12N 其中N 为表示的维数, 则上述(shngsh)基底称为一组正则基底.6.设 是半单李代数(dish) g 的表示 A 的任意一个权, 是 g 的任意7. 一个根, 则第59页/共63页第六十页，共63页。1. 如果半单李代数(dish)的表示A是不可约的, 则它的最高权是单的. 关于表示(biosh)的几个基本定理:半单李代数(dish)的最高权与不等价不可约表示一一对应.2. 如果半单李代数的两个不可约表示等价, 则它们的最高权相等.3. 是半单李代数g的不可约表示A的最高权的充要条件为所 有由下式定义的数都为非负整数.( )( )( )( )( )( )( )( )2( ,) (为 g的 任意素 根 )(,)设是 表示 空 间中 对应 于 最高 权 的 本 征 向量,0 () 则 0 ()对舍瓦累 基,有 iiiiiiiiiAkVkEk ( ) iih 第60页/共63页第六十一页，共63页。半单李代数半单李代数(dish)的不可约表示的标记的不可约表示的标记:在邓金图上, 将上述 l 个非负整数标在 l 个相应(xingyng)的单纯根的小圆圈上. 李代数(dish) A2(1)(2)12设最高权为1(1)2(2)xx (1)1121212(1)(1)(2)2121212(2)(2)1212122( ,)22(,)2( ,)22(,)22得 到33xx Axxx Axxx 半单李代数的不可约表示的维数公式半单李代数的不可约表示的维数公式:(), )1, 其 中=( , )2d 利用嘉当矩阵, 可得李代数 A2上述表示的维数12121(1)(1)(2)2d第61页/共63页第六十二页，共63页。第62页/共63页第六十三页，共63页。