数的单调性(第一课时)

函数的单调性第一课时学习目标1了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法2能用文字语言和数学符号正确表达增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这些定义的本质特点学习障碍1由于对单调性定义的理解不透,误认为它是一个整体性质,实质上是区间内的性质2利用定义论证单调性时,推理过程不严密不规范3函数单调性的应用意识不强学习策略学习导引1预习课本第P5859页2本课时重点是单调性的概念,难点是判断函数的单调性3对于函数的单调性,要求会用作差商法证明一些简单函数的单调性给出函数解析式时,会确定函数在其定义域内的单调区间会利用单调性作图知识拓宽应用函数的单调性可以求解不等式,求函数的最值等障碍分析1若函数fx在区间D1、D2上分别为增函数,fx一定是D1D2上的增函数吗？单调性是与区间紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性若fx在区间D1、D2上分别为增函数,但fx不一定在区间D1D2上是增函数例如y在,0上是增函数,在0,上也是增函数,但在,00,上不是增函数,f1f1便是一例2函数的单调性定义中的x1,x2能否用特殊值来代替？ 单调性是函数在某一区间上的整体性质,因此,定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊值替代3函数的单调性可解决什么样的问题？已知函数在某区间内的单调性,可以比较两个函数值的大小,也可用来求函数在某区间内的值域或最大小值,这时常结合函数的图象,运用数形结合的思想方法例1判断函数fxx在区间0,上的单调性,并求出函数的值域解：任取x1,x20,且x1x2,fx1fx2x1x20x1x2,x1x20,x1x20且当1x1x2时,x1x210,当0x1x21时x1x21,x1x210当x1,x21,时,fx1fx20,即fx1fx2函数yx在区间0,1上是减函数,在区间1,上是增函数易知yxx0时恒有y0且当x1时,ymin2从而值域为2,点评：函数yxa0是一类经常用到的函数,当a0时,它有两个减区间,0,0,同时有两个增区间,例2判断下列函数的单调性1fxx23x2；2fx3|x|解：1fxx2fxx2的图象是开口向下的抛物线,对称轴为xfx在,上是增函数,在,上是减函数2fx由fx的图象可知,fx在,0上是减函数,在0,上是增函数思维拓展例3判定并证明下列函数在指定区间内的单调性1yx31xR2yaxa1,x0,1解法一：在,上任取x1、x2,使x1x2,则fx1fx2x131x231x23x13x2x1x22x1x2x12x1x2,x2x10若x1x20,则x22x1x2x120,若x1x20,由x1x2,则x12x220也有x22x1x2x120若x1x20,x22x1x2x12x1x22x1x20对于任意的x1x2都有x22x1x2x120fx1fx2x2x1x22x1x2x120即fx1fx2yfxx31在R上是减函数 解法二：在,上任取x1、x2,使x1x2则fx1fx2x23x13x2x1x22x1x2x12x2x1x22x12x1x2,x2x10,且x1,x2不同时为零,x22与x12不同时为零,即x22x120fx1fx20,即fx1fx2yfxx31在R上是减函数2解：任取x1,x20,且x1x2,fx1fx2ax1ax2ax1x2ax1x2x1x2ax1,x20,且x1x1x2从而1,又a1,a0fx1fx2x1x2a0即fx1fx2yfxaxa1,在区间0,上是单调减函数点评：证明函数单调性的一般步骤为：取点作差变形定号探究学习已知函数fx在,上是减函数,且满足fxyfxfy,f2,试求不等式fxf3x21的解集参考答案：解：函数fx在,上是减函数且满足fxyfxfyf2f11f11f1f1由fxf3x21得fx3x21而f1f2f3fx3x21f3,x3x213解得x或x1故所求不等式的解为x|x或x1同步达纲练习一、选择题1在区间,0上为增函数的是Ayx12By1x2CyDy2若函数fxx22a1x2在区间,4上是减函数,那么实数a的取值范围是Aa3Ba3Ca3Da53函数y的单调递增区间是A,2 B5,2 C2, D2,14已知函数yfx定义在2,1上,且有f1f0,则下列判断正确的是Afx必为2,1上的单调增函数Bfx不是2,1上的单调增函数Cfx必为2,1上的单调减函数Dfx不是2,1上的单调减函数二、填空题5已知fx在定义域内是减函数,且fx0在其定义域内,yafx的单调性为_函数y的单调性为_函数6函数y的减区间为_7已知,a是函数fxx1的反函数的一个单调递减区间,则实数a的取值范围是_三、解答题8函数fx当x0时有意义,且满足f21,fxyfxfy,fx在0,上是增函数1求证：f102求f43如果fxfx32,求x的取值范围9已知函数fx在区间,上是增函数,a和b为实数1求证：命题如果ab0,那么fafbfafb成立2判断1的逆命题是否成立,并说明为什么参考答案同步达纲练习一、1D 提示：yx12在,0上是先增后减的函数,y1x2,y在,0上为减函数,故选D2C 提示：由4得a33B 提示：由54xx20得5x1且54xx2在5,2上是增函数,故y的单调递增区间为5,24B 提示：根据增函数的定义知选B二、5增减提示：由定义知yafx为增函数y为减函数6,1与1,提示：作出y的图象知减区间为,1与1,7a0 提示：由反函数图象可得a0三、81由fxyfxfy,令x2,y1,得f2f2f1,f102令xy2,f4f2f223fxfx3fxx3,且f42,fxfx32f4可化为fxx3f4依题有解得3x491ab0,则ab或bafx在,上是增函数,fafb,fbfa,fafbfafb2逆命题为若fafbfafb,则ab0反证法：假设ab0,则ab或ba,依题有fafb,fbfa,fafbfafb,与已知矛盾,假设不成立,ab06 / 6