向量的概念及运算知识点与例题讲解

向量的概念及运算知识点与例题讲解【基础知识回顾】1 .向量的概念 向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：TT - 一-*TAB几何表示法AB , a ;坐标表示法a =xi yj=（x, y）。向量的大小即向量的模（长度），记作| AB |即向量的大小，记作丨a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量-_M长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a = 0| a 1= 0。由于0的方向!是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有非零向量这个条件。（注意与0的区别） 单位向量模为1个单位长度的向量，向量 a0为单位向量二| a0 | = 1。 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量， 称为平行向量，记作a / b。由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量 中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a二b。大小相等，方向相同（xi, yj =（X2, y2）=Xi = X2yi “22. 向量的运算（i）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB =a,BC =b，贝U a+b = AB BC = AC。规定:（1）0 a 二a 0 二a ；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角 线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示 这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BCPQ QAR，但这时必须“首尾相连”。(2) 向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作一a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a )=(-a)+a =0 ；(iii)若a、b是互为相反向量，则 a=-b,b = -a,a + b= 0。 向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a -b二a (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)。(3) 实数与向量的积 实数入与向量a的积是一个向量，记作 入a，它的长度与方向规定如下：(I)a = a ；(n)当0时，入a的方向与a的方向相同；当.c 0时，入a的方向与a的方向相反；当，=0时，a = 0, 方向是任意的。 数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线二 有且只有一个实数，使得b = .a。4. 平面向量的基本定理如果q ,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1, 2使:a - e - 2e2其中不共线的向量 e ,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5. 平面向量的坐标表示4 4(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j作为基底一一_4444一由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。2)平面向量的坐标运算：若 ar*,% ,b hX2,y2，则 a-b 二花-乂2,%-丫2 ； 若 A, B X2, y2，则 AB 二 X2 -xy2 - y1 ； 若 a=(x,y)，贝V a=( x, y)；彳1呻呻右 a=Xi,yi ,b hX2,y2 ，贝V a/b：= x2 x?% =0。【思考提示】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理 向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一 新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3） 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况;（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系 【课前小测】1设平面向量 a = 3,5 ,b = -2,1，则 a -2b =（）A . (7,3 ) B. ( T,3) C. 10 D . -102已知向量a =X,1 , b h4,x且a/b则；的值为()A. 0B. 23已知点A ( 1, 0)、C. 4 或4D. 2 或24T 呻B (1, 3),向量a=(2k1,2 )，若AB丄a,则实数k的值为(A. 2 B. 1C. 1 D. 24已知向量a=I3,4，向量a与b方向相反，且 a, b -1，则实数二5.已知直角梯形 上&工的顶点坐标分别为2.：；,则实数的值是.【典例解析】 题型1平面向量的概念例1. （ 1 ）给出下列命题：II4* j 若 |a|=|b|,则 a = b ；T T 若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB二DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若 a=b, b = c，贝U a = c；III a = b的充要条件是|a|=| b|且a/b ； 若a/b , b/c，贝U aC ；其中正确的序号是 。F-FFT- 9-（2）设a0为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，贝U a=|a| a。； （2）若a与a 0平行，则a=|a| a。；（3）若a与a平行且| a |=1,则a = a0。上述命题中，假命题个数是（）解析：（1 不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同;正确； A DC , |AB|=|DC| 且 AB/DC ,又A, B, C, D是不共线的四点,四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形,则,Ab/Dc 且| AB|=|DC|,T T因此，AB = DC。II 正确； a=b, a, b的长度相等且方向相同；j 4 j -I又b = c , b , c的长度相等且方向相同， a, c的长度相等且方向相同，故a=c。IIIIII4 i44444 不正确；当a/b且方向相反时，即使|a |=|b |,也不能得到a = b，故|a|=|b 且 a/b不是a=b的充要条 件，而是必要不充分条件；II 不正确；考虑b =0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良 好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a与| a |ao模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与ao平行，则a与ao方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 a =- | a |ao，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向 量、同向向量等概念。题型2:平面向量的运算法则例2如图所示，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错误的是（C ）A. AB =DC B. AD AB =AC C. AB - AD = BD D. AD CB =0变式1如图所示，D是厶ABC的边AB上的中点，则向量等于（A） 1 B. - BC BAC. BCBAD22 1 A. - BC BA 21 BC BA22下列各命题中，真命题的个数为（D ）若 |a|=|b|,则 a=b 或 a=-b；若AB =DC，贝U A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点; 若 a=b,b=c，贝U a=c; 若 a/ b,b / c,则 a/ c.A.4B.3C.2D.13在四边形ABCD中，AB=a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b，其中a, b不共线，则四边形 ABCD为(A)A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形 4在 ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且 GB=2GE，设AB =a，AC =b，试用a、 b 表示 AD , AG ，5设P是厶ABC所在平面内的一点，BC，BA=2BP，贝U ( B)A. PA PB =0 B. PC PA =0C. PB PC =0D. PA PB PC =06已知向量 a=(1,J3) , b=(2,0)，则|a+b|=【答案】2 【解析】由b =(-1, J3),.F_32.。已知平面向量 a=(x,1) , b=( x,x2),则向量a + b ()A平行于X轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析( 0, 1 x2，由x2=0及向量的性质可知,C正确.题型3：平面向量的坐标及运算例 5.已知 ABC 中，A(2, 1), B(3,2) , C( 3,1),BC 边上的高为 AD，求 AD。解析：设D(x,y)，则 AD =(x _2, y + 1), BD = (x_3,y _2 ),記=(_b, -3 )/ AD _BC,BDZx-y。得 3(x3)+6(y 2)=0 所以 AD = -1,2。例6已知点A(4,0),B(44),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB ( O为坐标原点)交 解析：设 P(x, y)，则 OP 二(x, y), AP = (x 一4, y)因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线 OB上。 ,T T T ITT即得 OP/OB, AP/AC，由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC = ( 一2,6), OB = (4, 4)。6(x _4) +2y =0得方程组4x_4y =0，解之得X 一 3。ly =3故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3)。题型4:平面向量的性质例7平面内给定三个向量a h3,2 ,b - -1,2 ,Ch4,1，回答下列问题:(1)(2)求满足a =mb nc的实数m,n ；若a kc / 2b -a，求实数k；(3)若 d 满足(d c )/ (a +b )，且 d cc = v5，求 d。解析:(1 )由题意得(3,2 )=m(1,2)+ n(4,1)，所以丿，得5m9。8 n =9(2)=3 4k,2 k ,2b - a 二-5,2 ,2 3 4k 1-5 2 k =0,. k = -16 ；13(3) d -c x -4,y -1 ,a b = 2,4由题意得4(x-4 )-2(y-1 )= 0 曰 ,2*2 ，得*Jx _4 f +(y _1 f =5r_x = 3 或 y = t例 &已知 a =(1,0), b =(2,1).(1) 求 | a 3b | ；(2) 当k为何实数时，k a - b与a 3b平行，平行时它们是同向还是反向?解析：(1)因为 a =(1,0),b =(2,1).所以 a 3b 二(7,3)P的坐标。则 |a 3建| 72 358(2) k a - b =(k -2,-1), a 3b =(7,3)_ 一 _ 一i因为k a - b与a 3b平行，所以3(k - 2) 7 = 0即得k二3_-7此时 k a -b =(k -2, -1) = (,-1), a 3b =(7,3)，贝U a 3b =-3(ka -b)，即此时向量 a 3b 与3ka -b方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5:共线向量定理及平面向量基本定理那么A. k =1且c与d同向C. k = -1且c与d同向答案 D解析本题主要考查向量的共线(平行)例 9. (2009北京卷文)已知向量 a =(1,0),b =(0,1), c =ka b(k R),d=a-b，如果 c/d()B. k = 1且c与d反向D. k = -1且c与d反向、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查 ah1,0 , bh0,1，若 k=1，贝U c=a bh1,1 , d=ab=1,_1 ,显然，a与b不平行，排除A、B.若 k = -1，则 c=-ab二 -1,1 , d=-a b二- -1,1 ,即c/d且c与d反向，排除C,故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示； 运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。题型6:平面向量综合问题例10. (2009上海卷文)已知 ABC的角A、B、C所对的边分别是 a、b、c,设向量m = (a,b),Tn =(si n B,si nA), p=(b-2,a-2).(1) 若mn,求证： ABC为等腰三角形；TH(2) 若m丄p，边长c = 2，角C = ，求 ABC的面积.3uv v证明：(1) Qm n,. a si nA=bs in B,ab即ab ，其中r是三角形ABC外接圆半径，a=b= ABC为等腰三角形2R2Ruv v解(2)由题意可知 m p = 0,即a(b -2) b(a -2) = 0a b =ab由余弦定理可知，4 二 a2 b2 -ab = (a b)2 -3ab即(ab)2 _3ab 一4 =0定共线的三点是ab = 4(舍去 ab = -1)1S abs inC =21 / .4 sin233【随堂巩固】1 （2009湖南卷）对于非0向量时a,b, a/b ”的正确是()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2 （ 05年山东卷）已知向量 S，且EA.A、 B、 D B. A、 B、C. B、C、D D. A、C、D且PG则匚z3（ 04年浙江卷文）已知向量4 （ 05年广东卷）已知向量因 ，因，且因，则丨氏I【课后巩固】M1M2的比为1: 1,贝U m）C三点共线，则口1.已知点M（ 6，2）和M2（ 0，8） 直线y=mx 7与线段M1M2的交点M分有向线段 的值为（）A 日B日C 凶D . 42. （ 06年全国卷n文）已知向量 卜（4, 2）,向量 帀（且3）,且沖届则齐（A、9 B、6 C、5 D、33. （ 05年全国卷川）已知向量因，因，因，且A、B、因，则因4. （ 08年江苏卷） 面的夹角为冋5. （2009湖南卷文）（每小题满分12分）4已知向量 a = （sin r,cos v -2sin 力,b=（1,2）.* +（i）若 a / /b，求 tan 的值；（n） 若 |；|品,0 : :,求 / 的值。答案：【课前小测】1.A 2.D 3.B 4.-1/5 5.-1 或 1【随堂巩固】1 A 2. A 3. A 4. 4【课后巩固】議sn冷茹汀-D 2= B 3=L 一 aTb 一再sin a+(cosa2sin e) H5-吕左 12sin 2a 十 4sinoH5.-2sin 20十 2(1 cos 2d) 4sSin2a+cos2d H- I : n 厶 2 叫淞 sin(20 +IT I .XOAdAn 2e+ A 4 2 4 4 4tm H 51X 7二 吕勞 2a + H -M20+H -4 4 4 4因兵a Ma H2 4