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第四章 一次函数与反比例函数第一节 一次函数1. 2016#若一次函数的图像经过第一、二、四象限,则下列不等式中总是成立的是A、 B、 C、 D、难易 较易考点 一次函数,不等式解析 因为一次函数的图像经过第一、二、四象限,所以,所以,A错；,B错；,所以,所以C正确;的大小不能确定参考答案 C2.2016#如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与直线交于点,点的坐标为（1） 求直线的解析式；（2） 直线与轴交于点,若点是直线上一动点不与点重合,当与相似时,求点的坐标难易 中等考点 一次函数 相似解析1首先设出一次函数解析式,将点A,D代入即可求出一次函数解析式;先写出OB,OD,BC的长度,然后分两种情况讨论1：BODBCE;2:BODBEC.参考答案1设直线AD的解析式为y=kx+b将点A代入直线y=kx+b中得：k+b= b=1 解得： k= b=1直经AD的解析式为：（2） 设点E的坐标为m,m+1令得x=-2点B的坐标为-2,0令y=-x+3=0得x=3点C的坐标为3,0OB=2, OD=1, BC=5, BD=1. 当BODBCE时,如图1所示,过点C作CEBC交直线AB于E：CE=m+1=,解得m=3此时E点的坐标为3,2. BODBEC时,如图2所示,过点E作EFBC于F点,则：CE=BE=BE*CE=EF*BCEF=2 解得m=2此时E点的坐标为2,2当BOD与BCE相似时,满足条件的E坐标3,2,2.3.2016#15如图,在平面直角坐标系中,将ABO绕点B顺时针旋转到A1BO1的位置,使点A的对应点A1落在直线y=x上,再将A1BO1绕点A1顺时针旋转到A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线y=x上,依次进行下去,若点A的坐标是0,1,点B的坐标是,1,则点A8的横坐标是6+6考点坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换分析先求出点A2,A4,A6的横坐标,探究规律即可解决问题解答解：由题意点A2的横坐标+1,点A4的横坐标3+1,点A6的横坐标+1,点A8的横坐标6+1故答案为6+6点评本题考查坐标与图形的变换旋转,一次函数图形与几何变换等知识,解题的关键是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型4.2016#由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随时间的增加而减少,已知原有蓄水量y1万m3与干旱持续时间x天的关系如图中线段l1所示,针对这种干旱情况,从第20天开始向水库注水,注水量y2万m3与时间x天的关系如图中线段l2所示不考虑其它因素1求原有蓄水量y1万m3与时间x天的函数关系式,并求当x=20时的水库总蓄水量2求当0x60时,水库的总蓄水量y万m3与时间x天的函数关系式注明x的范围,若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱,直接写出发生严重干旱时x的范围考点一次函数的应用分析1根据两点的坐标求y1万m3与时间x天的函数关系式,并把x=20代入计算；2分两种情况：当0x20时,y=y1,当20x60时,y=y1+y2；并计算分段函数中y900时对应的x的取值解答解：1设y1=kx+b,把0,1200和60,0代入到y1=kx+b得：解得,y1=20x+1200当x=20时,y1=2020+1200=800,2设y2=kx+b,把20,0和60,1000代入到y2=kx+b中得：解得,y2=25x500,当0x20时,y=20x+1200,当20x60时,y=y1+y2=20x+1200+25x500=5x+700,y900,则5x+700900,x40,当y1=900时,900=20x+1200,x=15,发生严重干旱时x的范围为：15x40点评本题考查了一次函数的应用,熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为y=kx+b,将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组,求解；注意分段函数的实际意义,会观察图象5.2016#某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低若该果园每棵果树产果千克,增种果树棵,它们之间的函数关系如图所示1求与之间的函数关系式；2在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？3当增种果树多少棵时,果园的总产量千克最大？最大产量是多少？解：1设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点12,74,28,66,根据题意,得解得,该函数的表达式为2根据题意,得,0.5x+8080+x=6750 解这个方程得,x1=10,x2=70投入成本最低x2=70不满足题意,舍去增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.3根据题意,得w=-0.5x+8080+ x=-0.5 x2+40 x +6400=-0.52 +7200 a=-0.50, 则抛物线开口向下,函数有最大值当x=40时,w最大值为7200千克.当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.6.2016襄阳襄阳市某企业积极响应政府创新发展的号召,研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为30元件,且年销售量y关于售价x的函数解析式为：若企业销售该产品获得自睥利润为W,请直接写出年利润W关于售价的函数解析式；当该产品的售价x为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?若企业销售该产品的年利澜不少于750万元,试确定该产品的售价x的取值范围解：由知,当540x60时,W=-2x-502+800-20,当x=50时.W有最大值800当60x70时,W=-x-552+625.-10,当60x70时,W随x的增大而减小.当x=60时,W有最大值600当该产品的售价定为50元件时,销售该产品的年利润最大,最大利润为800万元当40x60时,令W=750,得-22+800=750,解之,得由函数W=-22+800的性质可知,当45x55时,W750当60x70时,W最大值为600750.所以,要使企业销售该产品的年利润不少于750万元,该产品的销售价x的取值范围为45x55.7.2016#市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升某校计划购进A,B两种树木共棵进行校园绿化升级经市场调查：购买种树木棵,种树木棵,共需元；购买种树木棵,种树木棵,共需元1求种,种树木每棵各多少元？2因布局需要,购买种树木的数量不少于种树木数量的倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下不考虑其它因素,实际付款总金额按市场价九折优惠请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用解：1设A种,B种树木每棵分别为元,元,则,解得答：A种,B种树木每棵分别为元,元 2设购买种树木为棵,则购买种树木为棵,则,设实际付款总金额为元,则,随的增大而增大,时,最小即,元当购买A种树木棵,B种树木棵时,所需费用最少,最少费用为元8.2016#为保障我国海外维和部队官兵的生活,现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资已知该物资在甲仓库存有80吨,乙仓库存有70吨,若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用元/吨如表所示：港口运费元/台甲库乙库A港1420B港1081设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨,求总运费y元与x吨之间的函数关系式,并写出x的取值范围；2求出最低费用,并说明费用最低时的调配方案考点一次函数的应用分析1根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数,再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；2因为所得的函数为一次函数,由增减性可知：y随x增大而减少,则当x=80时,y最小,并求出最小值,写出运输方案解答解1设从甲仓库运x吨往A港口,则从甲仓库运往B港口的有80x吨,从乙仓库运往A港口的有吨,运往B港口的有5080x=x30吨,所以y=14x+20+1080x+8x30=8x+2560,x的取值范围是30x802由1得y=8x+2560y随x增大而减少,所以当x=80时总运费最小,当x=80时,y=880+2560=1920,此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口,再从乙仓库运20吨往A港口,乙仓库的余下的全部运往B港口9.2016#已知一次函数y=2x+41在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象；2求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴交点B的坐标；3在2的条件下,求出AOB的面积；4利用图象直接写出：当y0时,x的取值范围考点一次函数图象与系数的关系；一次函数的图象分析1利用两点法就可以画出函数图象；2利用函数解析式分别代入x=0与y=0的情况就可以求出交点坐标；3通过交点坐标就能求出面积；4观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论解答解：1当x=0时y=4,当y=0时,x=2,则图象如图所示2由上题可知A2,0B0,4,3SAOB=24=4,4x210.2016#甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米甲同学先步行600米,然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自行车速度的,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍甲乙两同学同时从家发去学校,结果甲同学比乙同学早到2分钟1求乙骑自行车的速度；2当甲到达学校时,乙同学离学校还有多远？考点一元一次方程的应用分析1设乙骑自行车的速度为x米/分钟,则甲步行速度是x米/分钟,公交车的速度是2x米/分钟,根据题意列方程即可得到结论；23002=600米即可得到结果解答解：1设乙骑自行车的速度为x米/分钟,则甲步行速度是x米/分钟,公交车的速度是2x米/分钟,根据题意得+=2,解得：x=300米/分钟,经检验x=300是方程的根,答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；23002=600米,答：当甲到达学校时,乙同学离学校还有600米11.2016湘西某商店购进甲乙两种商品,甲的进货单价比乙的进货单价高20元,已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同1求甲、乙每个商品的进货单价；2若甲、乙两种商品共进货100件,要求两种商品的进货总价不高于9000元,同时甲商品按进价提高10%后的价格销售,乙商品按进价提高25%后的价格销售,两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元,问有哪几种进货方案？3在条件2下,并且不再考虑其他因素,若甲乙两种商品全部售完,哪种方案利润最大？最大利润是多少？考点一次函数的应用分析1设甲每个商品的进货单价是x元,每个乙商品的进货单价是y元,根据甲的进货单价比乙的进货单价高20元,已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同即可列方程组求解；2设甲进货x件,乙进货100x件,根据两种商品的进货总价不高于9000元,两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元即可列不等式组求解；3把利润表示出甲进的数量的函数,利用函数的性质即可求解解答解：1设甲每个商品的进货单价是x元,每个乙商品的进货单价是y元根据题意得：,解得：,答：甲商品的单价是每件100元,乙每件80元；2设甲进货x件,乙进货100x件根据题意得：,解得：48x50又x是正整数,则x的正整数值是48或49或50,则有3种进货方案；3销售的利润w=10010%x+80100x25%,即w=200010x,则当x取得最小值48时,w取得最大值,是20001048=1520元此时,乙进的件数是10048=52件答：当甲进48件,乙进52件时,最大的利润是1520元点评本题考查了二元一次方程组的应用以与不等式组、一次函数的性质,正确求得甲进货的数量的范围是关键12.2016永州已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,且函数值y随x的增大而减小,则k所有可能取得的整数值为1考点一次函数图象与系数的关系分析由一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论解答解：由已知得：,解得：k0k为整数,k=1故答案为：113.2016#在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲,乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离ykm与甲车行驶时间th之间的函数关系如图表示,当甲车出发h时,两车相距350km考点一次函数的应用分析根据图象,可得A与C的距离等于B与C的距离,根据行驶路程与时间的关系,可得相应的速度,根据甲、乙的路程,可得方程,根据解方程,可得答案解答解：由题意,得AC=BC=240km,甲的速度2404=60km/h,乙的速度24030=80km/h设甲出发x小时甲乙相距350km,由题意,得60x+80x1+350=2402,解得x=,答：甲车出发h时,两车相距350km,故答案为：点评本题考查了一次函数的应用,利用题意找出等量关系是解题关键14.2016滨州2016滨州星期天,李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶,爸爸8：30骑自行车先走,平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行,公交车平均速度是40km/h爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同,路程均为40km/h设爸爸骑行时间为xh1请分别写出爸爸的骑行路程y1km、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2km与xh之间的函数解析式,并注明自变量的取值范围；2请在同一个平面直角坐标系中画出1中两个函数的图象；3请回答谁先到达老家考点一次函数的应用分析1根据速度乘以时间等于路程,可得函数关系式,2根据描点法,可得函数图象；3根据图象,可得答案解答解；1由题意,得y1=20x 0x2y2=40x11x2；2由题意得；3由图象得到达老家点评本题考查了一次函数图象,利用描点法是画函数图象的关键15.2016#如图,在平面直角坐标系中,函数y=2x和y=x的图象分别为直线l1,l2,过点1,0作x轴的垂线交l2于点A1,过点A1作y轴的垂线交l2于点A2,过点A2作x轴的垂线交l2于点A3,过点A3作y轴的垂线交l2于点A4,依次进行下去,则点A2017的坐标为21008,21009考点一次函数图象上点的坐标特征专题规律型；一次函数与其应用分析写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律A2n+12n,22nn为自然数,依此规律即可得出结论解答解：观察,发现规律：A11,2,A22,2,A32,4,A44,4,A54,8,A2n+12n,22nn为自然数2017=10082+1,A2017的坐标为21008,221008=21008,21009故答案为：21008,21009点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以与规律型中坐标的变化,解题的关键是找出变化规律A2n+12n,22nn为自然数本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键16.2016#某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示： 第1天第2天 第3天 第4天 售价x元/双 150 200 250 300 销售量y双 40 30 24 201观察表中数据,x,y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；2若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为多少元？考点一次函数的应用分析1由表中数据得出xy=6000,即可得出结果；2由题意得出方程,解方程即可,注意检验解答解：1由表中数据得：xy=6000,y=,y是x的反比例函数,故所求函数关系式为y=；2由题意得：x120y=3000,把y=代入得：x120=3000,解得：x=240；经检验,x=240是原方程的根；答：若商场计划每天的销售利润为3000元,则其单价应定为240元点评本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键17.2016#已知点Px0,y0和直线y=kx+b,则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算例如：求点P1,2到直线y=3x+7的距离解：因为直线y=3x+7,其中k=3,b=7所以点P1,2到直线y=3x+7的距离为：d=根据以上材料,解答下列问题：1求点P1,1到直线y=x1的距离；2已知Q的圆心Q坐标为0,5,半径r为2,判断Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；3已知直线y=2x+4与y=2x6平行,求这两条直线之间的距离考点一次函数综合题分析1根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；2先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9,然后根据切线的判定方法可判断Q与直线y=x+9相切；3利用两平行线间的距离定义,在直线y=2x+4上任意取一点,然后计算这个点到直线y=2x6的距离即可解答解：1因为直线y=x1,其中k=1,b=1,所以点P1,1到直线y=x1的距离为：d=；2Q与直线y=x+9的位置关系为相切理由如下：圆心Q0,5到直线y=x+9的距离为：d=2,而O的半径r为2,即d=r,所以Q与直线y=x+9相切；3当x=0时,y=2x+4=4,即点0,4在直线y=2x+4,因为点0,4到直线y=2x6的距离为：d=2,因为直线y=2x+4与y=2x6平行,所以这两条直线之间的距离为218.2016枣庄如图,点 A的坐标为-4,0,直线与坐标轴交于点B,C,连结AC,如果ACD =90,则n的值为.第16题图答案.考点：一次函数的性质.第二节 反比例函数1.2016#如图,A、B 两点在反比例函数=的图像上,C、D 两点在反比例函数的图像上, AC 交 x 轴于点 E,BD 交 x 轴于点 F , AC=2,BD=3,EF= 则 答案：A考点：反比例函数的性质 2.2016#如图,在平面直角坐标系中, OA OB ,AB x 轴于点 C ,点()在反比例函数=的图像上.1求反比例函数的=的表达式；2在 x 轴的负半轴上存在一点 P ,使得,求点 P 的坐标；3若将BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转60得到BDE ,直接写出点 E 的坐标,并判断点E 是否在该反比例函数的图像上,说明理由.像上.3.2016#如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=k为常数,k0的图象交于点A1,4和点Ba,11求反比例函数的表达式和a、b的值；2若A、O两点关于直线l对称,请连接AO,并求出直线l与线段AO的交点坐标考点反比例函数与一次函数的交点问题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式分析1由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出k值,从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可得出结论；2连接AO,设线段AO与直线l相交于点M由A、O两点关于直线l对称,可得出点M为线段AO的中点,再结合点A、O的坐标即可得出结论解答解：1点A1,4在反比例函数y=k为常数,k0的图象上,k=14=4,反比例函数解析式为y=把点A1,4、Ba,1分别代入y=x+b中,得：,解得：2连接AO,设线段AO与直线l相交于点M,如图所示A、O两点关于直线l对称,点M为线段OA的中点,点A1,4、O0,0,点M的坐标为,2直线l与线段AO的交点坐标为,2点评本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以与中点坐标公式,解题的关键是：1由点的坐标利用待定系数法求函数系数；2得出点M为线段AO的中点本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度4.2016#如图,四边形是平行四边形,点C在x轴的负半轴上,将 ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF,AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上.若点D在反比例函数的图像上,则k的值为_.解析：如图,作DM轴由题意BAO=OAF, AO=AF, ABOC所以BAO=AOF=AFO=OAFAOF=60=DOMOD=AD-OA=AB-OA=6-2=4MO=2, MD=Dk=-2=5.2016#9已知Ax1,y1、Bx2,y2、Cx3,y3是反比例函数y=上的三点,若x1x2x3,y2y1y3,则下列关系式不正确的是Ax1x20 Bx1x30 Cx2x30 Dx1+x20考点反比例函数图象上点的坐标特征分析根据反比例函数y=和x1x2x3,y2y1y3,可得点A,B在第三象限,点C在第一象限,得出x1x20x3,再选择即可解答解：反比例函数y=中,20,在每一象限内,y随x的增大而减小,x1x2x3,y2y1y3,点A,B在第三象限,点C在第一象限,x1x20x3,x1x20,故选A点评本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性,本题是逆用,难度有点大6.2016#如图,P1、P2是反比例函数y=k0在第一象限图象上的两点,点A1的坐标为4,0若P1OA1与P2A1A2均为等腰直角三角形,其中点P1、P2为直角顶点1求反比例函数的解析式2求P2的坐标根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时,经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值考点反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形分析1先根据点A1的坐标为4,0,P1OA1为等腰直角三角形,求得P1的坐标,再代入反比例函数求解；2先根据P2A1A2为等腰直角三角形,将P2的坐标设为4+a,a,并代入反比例函数求得a的值,得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标,判断x的取值范围解答解：1过点P1作P1Bx轴,垂足为B点A1的坐标为4,0,P1OA1为等腰直角三角形OB=2,P1B=OA1=2P1的坐标为2,2将P1的坐标代入反比例函数y=k0,得k=22=4反比例函数的解析式为2过点P2作P2Cx轴,垂足为CP2A1A2为等腰直角三角形P2C=A1C设P2C=A1C=a,则P2的坐标为4+a,a将P2的坐标代入反比例函数的解析式为,得a=,解得a1=,a2=舍去P2的坐标为,在第一象限内,当2x2+时,一次函数的函数值大于反比例函数的值点评本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具备等腰三角形和直角三角形的所有性质7.2016#如图,已知在平面直角坐标系中,是坐标原点,点A2,5在反比例函数的图象上一次函数的图象过点A,且与反比例函数图象的另一交点为B1求和的值；2设反比例函数值为,一次函数值为,求时的取值范围解：1把A2,5分别代入和,得,解得,；2由1得,直线AB的解析式为,反比例函数的解析式为由,解得：或则点B的坐标为由图象可知,当时,x的取值范围是或8.2016黄冈如图,已知点A是反比例函数y= -的图像上一点,直线y= -x+与反比例函数y= -的图像在第四象限的交点为B.求直线AB的解析式；动点P在x轴的正半轴上运动,当线段PA与线段PB之差达到最大时,求点P的坐标.第21题考点反比例函数,一次函数,最值问题.分析1因为点A是反比例函数y= -的图像上一点,把A代入y=中, 求出a的值,即得点A的坐标；又因为直线y= -x+与反比例函数y= -的图像在第四象限的交点为B,可求出点B的坐标；设直线AB的解析式为y=kx+b,将A,B的坐标代入即可求出直线AB的解析式； 当两点位于直线的同侧时,直接连接两点并延长与直线相交,则两线段的差的绝对值最大.连接A,B,并延长与x轴交于点P,即当P为直线AB与x轴的交点时,PAPB最大.解答解：1把A代入y=中,得a=3.A. 又B,D是y= x+与y=的两个交点, B. 设直线AB的解析式为y=kx+b, 由A,B,解得 k=1,b=4. 直线AB的解析式为y=x4. 2当P为直线AB与x轴的交点时,PAPB最大 由y=0, 得x=4, P. 9.2016#如图,将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中,C是AB边上的动点不与端点A,B重合,作CDOB于点D,若点C,D都在双曲线y=上k0,x0,则k的值为A25B18C9D9考点反比例函数图象上点的坐标特征；平行线的性质；等边三角形的性质分析过点A作AEOB于点E,根据正三角形的性质以与三角形的边长可找出点A、B、E的坐标,再由CDOB,AEOB可找出CDAE,即得出,令该比例=n,根据比例关系找出点D、C的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组,解方程组即可得出结论解答解：过点A作AEOB于点E,如图所示OAB为边长为10的正三角形,点A的坐标为10,0、点B的坐标为5,5,点E的坐标为,CDOB,AEOB,CDAE,设=n0n1,点D的坐标为,点C的坐标为5+5n,55n点C、D均在反比例函数y=图象上,解得：故选C点评本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以与等边三角形的性质,解题的关键是找出点D、C的坐标本题属于中档题,稍显繁琐,解决该题型题目时,巧妙的借助了比例来表示点的坐标,根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键10.2016随州如图,直线y=x+4与双曲线y=k0相交于A1,a、B两点,在y轴上找一点P,当PA+PB的值最小时,点P的坐标为0,考点反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题分析根据一次函数和反比例函数的解析式求出点A、B的坐标,然后作出点A关于y轴的对称点C,连接BC,与y轴的交点即为点P,然后求出直线BC的解析式,求出点P的坐标解答解：把点A坐标代入y=x+4得,1+4=a,a=3,即A1,3,把点A坐标代入双曲线的解析式：3=k,解得：k=3,联立两函数解析式得：,解得：,即点B坐标为：3,1,作出点A关于y轴的对称点C,连接BC,与y轴的交点即为点P,使得PA+PB的值最小,则点C坐标为：1,3,设直线BC的解析式为：y=ax+b,把B、C的坐标代入得：,解得：,函数解析式为：y=x+,则与y轴的交点为：0,故答案为：0,11.2016#如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点Am,2,将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点P,且POA的面积为2.1求k的值；2求平移后的直线的函数解析式.考点反比例函数与一次函数的综合题,平移.分析1将点A代入y=2x,可求得m的值,得出A点的坐标,再代入反比例函数y=,即可求出k的值；2设平移后的直线与y轴交于点B,连接AB,则SAOB=SPOA=2解答解：点A在直线y=2x上,2=2m,m=1,点A1,2.又点A1,2在反比例函数y=的图像上, k=2. 2设平移后的直线与y轴交于点B,连接AB,则SAOB=SPOA=2 过点A作y轴的垂线AC,垂足为点C,则AC=1.OBAC=2,OB=4. 平移后的直线的解析式为y=2x-4. 点评本题考查了反比例函数与一次函数的综合题,平移. 要注意,在图像上的点的坐标满足这个图像的解析式；问题2中,设平移后的直线与y轴交于点B,得出SAOB=SPOA=2工过点A作y轴的垂线AC是解题的关键.12.2016襄阳如图,直线y=ax+b与反比例函数y=x0的图象交于A,B两点,与x轴,y轴分别交干C,D两点m=,n=；若M,N是反比例函数图象 上两点,且0xlx2,则yl；若线段CD上的点P到x轴,y轴的距离相等求点P的坐标m=4 n=lyly2解：直线y=ax+b经过点A,B,解之,得当x=y时,x=-x+5,解之,得所以,13.2016#如图,直线AB与坐标轴分别交于A2,0,B0,1两点,与反比例函数的图象在第一象限交于点C4,n,求一次函数和反比例函数的解析式考点反比例函数与一次函数的交点问题分析设一次函数的解析式为y=kx+b,把A2,0,B0,1代入得出方程组,解方程组即可；求出点C的坐标,设反比例函数的解析式为y=,把C4,3代入y=求出m即可解答解：设一次函数的解析式为y=kx+b,把A2,0,B0,1代入得：,解得：,一次函数的解析式为y=x+1；设反比例函数的解析式为y=,把C4,n代入得：n=3,C4,3,把C4,3代入y=得：m=34=12,反比例函数的解析式为y=14.2016#如图,已知A,B是反比例函数y=k0,x0图象上的两点,BCx轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿OABC图中所示路线匀速运动,终点为C,过P作PMx轴,垂足为M设三角形OMP的面积为S,P点运动时间为t,则S关于x的函数图象大致为A B C D考点动点问题的函数图象分析结合点P的运动,将点P的运动路线分成OA、AB、BC三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式,通过图形的特点分析出面积变化的趋势,从而得到答案解答解：设AOM=,点P运动的速度为a,当点P从点O运动到点A的过程中,S=a2cossint2,由于与a均为常量,从而可知图象本段应为抛物线,且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时,由反比例函数性质可知OPM的面积为k,保持不变,故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中,OM的长在减少,OPM的高与在B点时相同,故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A15.2016湘西如图,已知反比例函数y=的图象与直线y=x+b都经过点A1,4,且该直线与x轴的交点为B1求反比例函数和直线的解析式；2求AOB的面积考点反比例函数与一次函数的交点问题专题计算题分析1把A点坐标分别代入y=和y=x+b中分别求出k和b即可得到两函数解析式；2利用一次函数解析式求出B点坐标,然后根据三角形面积公式求解解答解：1把A1,4代入y=得k=14=4,所以反比例函数的解析式为y=；把A1,4代入y=x+b得1+b=4,解得b=5,所以直线解析式为y=x+5；2当y=0时,x+5=0,解得x=5,则B5,0,所以AOB的面积=54=10点评本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题1求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点16.2016#如图,一次函数y=kx+bk、b为常数,且k0和反比例函数y=x0的图象交于A、B两点,利用函数图象直接写出不等式kx+b的解集是1x4考点反比例函数与一次函数的交点问题分析先根据图形得出A、B的坐标,根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可解答解：由图象可知：A1,4,B4,1,x0,不等式kx+b的解集为1x4,故答案为：1x417.2016#如图,点Am,4,B4,n在反比例函数y=k0的图象上,经过点A、B的直线与x轴相交于点C,与y轴相交于点D1若m=2,求n的值；2求m+n的值；3连接OA、OB,若tanAOD+tanBOC=1,求直线AB的函数关系式考点反比例函数与一次函数的交点问题分析1先把A点坐标代入y=求出k的值得到反比例函数解析式为y=,然后把B4,n代入y=可求出n的值；2利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k,4n=k,然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；3作AEy轴于E,BFx轴于F,如图,利用正切的定义得到tanAOE=,tanBOF=,则+=1,加上m+n=0,于是可解得m=2,n=2,从而得到A2,4,B4,2,然后利用待定系数法求直线AB的解析式解答解：1当m=2,则A2,4,把A2,4代入y=得k=24=8,所以反比例函数解析式为y=,把B4,n代入y=得4n=8,解得n=2；2因为点Am,4,B4,n在反比例函数y=k0的图象上,所以4m=k,4n=k,所以4m+4n=0,即m+n=0；3作AEy轴于E,BFx轴于F,如图,在RtAOE中,tanAOE=,在RtBOF中,tanBOF=,而tanAOD+tanBOC=1,所以+=1,而m+n=0,解得m=2,n=2,则A2,4,B4,2,设直线AB的解析式为y=px+q,把A2,4,B4,2代入得,解得,所以直线AB的解析式为y=x+218.2016#如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数y=x0图象上的一点,分别过点P作PAx轴于点A,PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3,则k的值为A3 B3 C D考点反比例函数系数k的几何意义分析因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积S是个定值,即S=|k|再由函数图象所在的象限确定k的值即可解答解：点P是反比例函数y=x0图象上的一点,分别过点P作PAx轴于点A,PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3,矩形OAPB的面积S=|k|=3,解得k=3又反比例函数的图象在第一象限,k=3故选A点评本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义18.2016呼和浩特已知反比例函数y=的图象在二四象限,一次函数为y=kx+bb0,直线x=1与x轴交于点B,与直线y=kx+b交于点A,直线x=3与x轴交于点C,与直线y=kx+b交于点D1若点A,D都在第一象限,求证：b3k；2在1的条件下,设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F,当=且OFE的面积等于时,求这个一次函数的解析式,并直接写出不等式kx+b的解集考点反比例函数综合题分析1由反比例函数y=的图象在二四象限,得到k0,于是得到一次函数为y=kx+b随x的增大而减小,根据A,D都在第一象限,得到不等式即可得到结论；2根据题意得到,由三角形的面积公式得到SOEF=b=联立方程组解得k=,b=3,即可得到结论解答解：1证明：反比例函数y=的图象在二四象限,k0,一次函数为y=kx+b随x的增大而减小,A,D都在第一象限,3k+b0,b3k；2由题意知：,E,0,F0,b,SOEF=b=,由联立方程组解得：k=,b=3,这个一次函数的解析式为y=x+3,解=x+3得x1=,x2=,直线y=kx+b与反比例函数y=的交点坐标的横坐标是或,不等式kx+b的解集为x0或x19.2016#正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,其中点B的横坐标为2,当y1y2时,x的取值范围是Ax2或x2 Bx2或0x2C2x0或0x2 D2x0或x2考点反比例函数与一次函数的交点问题分析由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标,即可得出点A的横坐标,再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标,即可得出结论解答解：正比例和反比例均关于原点O对称,且点B的横坐标为2,点A的横坐标为2观察函数图象,发现：当x2或0x2时,一次函数图象在反比例函数图象的下方,当y1y2时,x的取值范围是x2或0x2故选B点评本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以与正比例函数的性质,解题的关键是求出点A的横坐标本题属于基础题,难度不大,根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标,再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集20.2016#如图,RtABO的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,ABO=90,AOB=30,OB=2,反比例函数y=x0的图象经过OA的中点C,交AB于点D1求反比例函数的关系式；2连接CD,求四边形CDBO的面积考点待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义分析1解直角三角形求得AB,作CEOB于E,根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标,然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；2求得D的坐标,进而求得AD的长,得出ACD的面积,然后根据S四边形CDBO=SAOBSACD即可求得解答解：1ABO=90,AOB=30,OB=2,AB=OB=2,作CEOB于E,ABO=90,CEAB,OC=AC,OE=BE=OB=,CE=AB=1,C,1,反比例函数y=x0的图象经过OA的中点C,1=,k=,反比例函数的关系式为y=；2OB=2,D的横坐标为2,代入y=得,y=,D2,BD=,AB=2,AD=,SACD=ADBE=,S四边形CDBO=SAOBSACD=OBAB=22=点评本题考查待定系数法求反比例函数的解析式,解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征21.2016滨州如图,已知点A、C在反比例函数y=的图象上,点B,D在反比例函数y=的图象上,ab0,ABCDx轴,AB,CD在x轴的两侧,AB=,CD=,AB与CD间的距离为6,则ab的值是3考点反比例函数的性质分析设点A、B的纵坐标为y1,点C、D的纵坐标为y2,分别表示出来A、B、C、D四点的坐标,根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离,即可得出y1、y2的值,连接OA、OB,延长AB交y轴于点E,通过计算三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论解答解：设点A、B的纵坐标为y1,点C、D的纵坐标为y2,则点A,y1,点B,y1,点C,y2,点D,y2AB=,CD=,2|=|,|y1|=2|y2|y1|+|y2|=6,y1=4,y2=2连接OA、OB,延长AB交y轴于点E,如图所示SOAB=SOAESOBE=ab=ABOE=4=,ab=2SOAB=3故答案为：3点评本题考查了反比例函数系数k的结合意义以与反比例函数的性质,解题的关键是找出ab=2SOAB本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,利用反比例函数系数k的几何意义结合三角形的面积求出反比例函数系数k是关键22.2016#如图,OAC和BAD都是等腰直角三角形,ACO=ADB=90,反比例函数y=在第一象限的图象经过点B,则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为A36B12C6D3考点反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形分析设OAC和BAD的直角边长分别为a、b,结合等腰直角三角形的性质与图象可得出点B的坐标,根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以与点B的坐标即可得出结论解答解：设OAC和BAD的直角边长分别为a、b,则点B的坐标为a+b,ab点B在反比例函数y=的第一象限图象上,a+bab=a2b2=6SOACSBAD=a2b2=a2b2=6=3故选D点评本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以与面积公式,解题的关键是找出a2b2的值本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,设出等腰直角三角形的直角边,用其表示出反比例函数上点的坐标是关键23.2016#如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=2x+2交于点A1,a1求a,m的值；2求该双曲线与直线y=2x+2另一个交点B的坐标考点反比例函数与一次函数的交点问题分析1将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值,将A1,4坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；2解方程组,即可解答解答解：1点A的坐标是1,a,在直线y=2x+2上,a=21+2=4,点A的坐标是1,4,代入反比例函数y=,m=42解方程组如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=与直线y=2x+2交于点A1,a1求a,m的值；2求该双曲线与直线y=2x+2另一个交点B的
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