小学数学总复习专题讲解及训练（八） 教案优质公开课获奖教案教学设计(人教新课标六年级总复习)

小学数学总复习专题讲解及训练（八） 教案优质公开课获奖教案教学设计(人教新课标六年级总复习) 主要内容 正比例和反比例 学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。 考点分析 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：=K（一定）。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：=K（一定）。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。 典型例题 例1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？ 时间/时 123456 路程/千米 120240360480600720 分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 （2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。 （3）路程和时间的比值始终不变，=120，=120，=120这个比值就是火车的行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：=速度（一定）。 具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程和时间成正比例的量。 点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：=K（一定）。 例2、（判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系： =练习本的单价（一定） 所以练习本的数量和总价成正比例。 例3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 时间/分 1234567 路程/千米 7142128354249 （1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。 （2）连接各点，它们在一条直线上吗？ （3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？路程/千米 42 35 28 21 14 7A 0 1234567时间/分 分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。 （1）描点、连线如图。 路程/千米 42 35 28 21 14 7A 0 1234567时间/分 （2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 （3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3分钟。 例4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？ 分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 半径/cm 123456 直径/cm 24681012 周长/cm 6.2812.5618.8425.1231.437.68 面积/cm² 3.1412.5628.2650.2478.5113.04 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例5、（反比例的意义） 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系？ 每小时加工零件的个数/个2030406080 加工的时间/时 128643 分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如2012=240，308=240，406=240而这个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数加工的时间=零件的总个数（一定）。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母和分别表示两种相关联的量，用表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：=K（一定）。 例6、（判断是否成反比例） 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？ 分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量公顷数=总产量（一定） 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例7、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。 例8、（综合题1） （1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？ 分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 （1）因为长方形的长宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。 （2）长方形的周长=（长+宽）2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和宽不成反比例。 例9、（综合题2） 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 （1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数； （2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数； （3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解：在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。 （1）因为每天吃的千克数天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。 （2）因为=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。 （3）因为=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。 小学数学总复习专题讲解及训练（八） 模拟试题 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格1 数量/本 13681020 总价/元 41224324080 表格2 单价/元 1.523456 总价/元 6812162024 表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价/元 1.523456 数量/本 403020151210 2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。 题中（）量一定，关系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。 3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。 题中（）量一定，关系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（）与（）成（）比例； 当高一定时，（）与（）成（）比例； 当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（）一定时，（）与（）成正比例； 当（）一定时，（）与（）成反比例； 6、当abc（a、b、c为三种量，且均不为0）。 ()一定，（）与（）成（）比例； （）一定，（）与（）成（）比例； （）一定，（）与（）成（）比例； 7、判断。 （1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（） （2）、图上距离和实际距离成正比例。（） （3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和Y不成比例。（） （4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（） （5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（） （6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（） （7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。() （8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。() （9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。() （10）正方体的棱长和体积成正比例。() （11）被除数一定，除数和商成反比例。() （12）圆的周长和它的直径成正比例。() 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。 （2）、正方形的边长和周长（）。 （3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（）。 （4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。 （5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（）。 （6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（）。 9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？ 10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？ （1）把下表填写完整。 造纸时间/时 1234 造纸吨数/吨 1.5 （2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0 1234567时间/时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ （4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？ 参考答案： 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格1 数量/本 13681020 总价/元 41224324080 =4，=4，=4 因为=单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。 表格2 单价/元 1.523456 总价/元 6812162024 =4，=4，=4 因为=数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。 表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表： 单价/元 1.523456 数量/本 403020151210 1.540=60，230=60，415=60 因为单价数量=总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。 2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。 题中（纸的总页数）量一定，关系式：（每本页数）（装订本数）（纸的总页数）（一定），（每本页数）和（装订本数）成（反）比例。 3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。 题中（会客室地面面积）量一定，关系式：（每块砖的面积）（砖的块数）（会客室地面面积）（一定），（每块砖的面积）和（砖的块数）成（反）比例。 4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（侧面积）与（高）成（正）比例； 当高一定时，（侧面积）与（底面周长）成（正）比例； 当侧面积一定时，（底面周长）与（高）成（反）比例。 5、在被除数、除数、商这三种量中， 当（除数）一定时，（被除数）与（商）成正比例； 当（被除数）一定时，（除数）与（商）成反比例； 6、当abc（a、b、c为三种量，且均不为0）。 (c)一定，（a）与（b）成（反）比例； （a）一定，（c）与（b）成（正）比例； （b）一定，（c）与（a）成（正）比例； 7、判断。 （1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（） （2）、图上距离和实际距离成正比例。（） （3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X7Y0，X和Y不成比例。（） （4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（） （5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（） （6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（） （7）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。() （8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。() （9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。() （10）正方体的棱长和体积成正比例。() （11）被除数一定，除数和商成反比例。() （12）圆的周长和它的直径成正比例。() 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。 （1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（反比例）。 （2）、正方形的边长和周长（正比例）。 （3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（反比例）。 （4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（反比例）。 （5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（反比例）。 （6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（正比例）。 9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？ 答：小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。 10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时各造纸多少吨？ （1）把下表填写完整。 造纸时间/时 1234 造纸吨数/吨 1.534.56 （2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨 6 5 4 3 2 1 0 1234567时间/时 （3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 因为=每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。 （4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？ 根据图像判断，5小时造纸7.5吨