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专题14 反比例函数单元总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 反比例函数的基础反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，ko）的函数称为反比例函数。表现形式：y=kx还可以写成y=kx-1 和 xy= k 的形式【注意】反比例函数y=kx的自变量x0，故函数图象与x轴、y轴无交点。1（2018湖北襄阳七中初三月考）下列函数中，是反比例函数的是()AykxB3x2y0Cxy20Dy2x+1【详解】解：A、k0时，y=kx是反比例函数，故此选项错误；B、3x+2y=0，可变形为y=-32x，是正比例函数，不是反比例函数，故此选项错误；C、xy-2=0可变形为y=2x是反比例函数，故此选项正确；D、y=2x-1分母是x-1，不是反比例函数，故此选项错误故选：C2（2019深圳市福田区外国语学校初三期中）下列函数是反比例函数的是（ ）Ay=kxBCy=2x-1Dy=-x+5【详解】A选项中，当k=0时不是反比例函数，故该选项错误.B选项中，是正比例函数，故该选项错误.C选项中，y=2x-1是反比例函数，故该选项正确.D选项中，y=-x+5是一次函数，故该选项错误.故选C反比例函数解析式的特征:1.等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.2.比例系数k03.自变量x的取值为一切非零实数。4.函数y的取值是一切非零实数。考查题型一 根据反比例函数概念求参数值的方法1（2019黑龙江八五八农场学校初二期末）函数的图象y=(m+1)xm2-2是双曲线，则m的值是（ ）A1B0C1D2【详解】解：函数y=(m+1)xm2-2的图象是双曲线，&m+10&m2-2-1，解得m=1故选：C2（2019莱芜市寨里镇寨里中学初三期中）若函数𝑦（m+1）x|m|2是反比例函数，则𝑚（）A1B3C1D1【详解】函数𝑦=（m+1）x|m|2是反比例函数，|m|2=1，解得：m=1m+10，m1，m=1故选D待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：1） 设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k0）2） 把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程。3） 解方程求出k值4） 将k值代入所设解析式中。考查题型二 待定系数法求反比例函数解析式1（2019明光市鲁山中学初三月考）函数y=kx的图象经过点2,3，那么k等于（ ）A6B16C23D32【详解】函数y=kx的图象经过点(2,3)，点(2,3)满足y=kx，3=k2，解得，k=6.故选A.2（2019芜湖市期中）下列各点中，在函数y=-6x图象上的是（）AB2,3C-1,6D-12,3【详解】A.(2)(4)86，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B2366，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C(1)66，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D-123326，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误故选C.3（2019江苏初三月考）反比例函数ykx图象经过A（1，2），B（n，2）两点，则n（）A1B3C1D3【详解】解：反比例函数ykx 图象经过A（1，2），B（n，2）两点，k122n解得n1故选：C4（2019黑龙江中考模拟）若反比例函数y=k+3x的图像经过点3,-2，则k的值为（ ）A-9B3C-6D9【详解】把点3,-2代入y=k+3x，可得-2=k+33，解得：k=-9.故选：A知识点二 反比例函数的图像和性质（基础）图像的画法：描点法1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2.描点（由小到大的顺序）3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征：1.函数的图像是双曲线2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直|k|越小，图象的弯曲度越大反比例函数的性质：k的取值图像所在象限函数的增减性k0一、三象限在每个象限内，y值随x的增大而减小k0二、四象限在每个象限内，y值随x的增大而增大【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论考查题型三 反比例函数图形特征与性质1（2018安岳县期中）反比例函数y=-k2x（k为常数，k0）的图象位于（ ）A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限【解析】k0，k20，k20，反比例函数y=-k2x（k为常数，k0）的图象位于第二、四象限故选C2（2018深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（ ）Ay值随着x值的增大而减小B图象是双曲线，是中心对称图形C当 x1时，0 y1D图象可能与坐标轴相交【详解】A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误；B、反比例函数的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确；C、当 x1时，y 0时反比例函数的图象在第一、三象限，当k0时反比例函数的图象在第二、四象限，因为-20，D正确故选D4（2019秀屿区期末）当k0，x0时，反比例函数y=kx的图象在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【详解】根据反比例函数的性质，k0时，图象在第一三象限，又因为x0，所以图象在第三象限故选：C5（2019太原市期末）已知反比例函数y=-8x,下列结论中不正确的是（ ）A其图像分别位于第二、四象限B其图像关于原点对称C其图像经过点(2，-4)D若点都在图像上，且,则y1y2【详解】A.反比例函数y=-8x中，k=-80，此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意； B.反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意；C.2(-4)=-8，图象必经过点(2，-4)，故本选项说法正确，不合题意； D.反比例函数y=-8x中，k=-80，此函数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，当,在同一象限时则y1y2，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意.故选：D6（2019南宁市期中）若反比例函数y=k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则（ ）Ak-1Ck1【详解】函数y=k+1x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，k+10解得：k0上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2的值为（）A3B4C5D6【详解】解：A、B是曲线y=3x上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，S矩形ACOD=S矩形BEOF=3，又S阴影=1，S1=S2=3-1=2，S1+S2=4故选：B2（2018南京市期中）在反比例函数y=4x的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）ABCD【详解】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2（12|k|）=4故选B3)直线y=k1x与双曲线的关系：当k1k20时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称考察题型五 一次函数与反比例函数综合1（2018射阳县期末）关于x的函数ykxk和ykx (k0)在同一坐标系中的图象大致是 ()ABCD【详解】当k0时，函数y=kx+k的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=kx的图象在第一、三象限，故选项A错误，选项D正确，当k0时，函数y=kx+k的图象在第二、三、四象限，反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，故选项B错误，选项C错误，故选D2（2018自贡市期中）反比例函数y=kx和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是( )ABCD【详解】（1）当k0时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限如图所示：故选C3（2018邵阳市中考模拟）在同一直角坐标系中，函数y=kx(k0)与y=kx+k(k0)的图象大致是（ ）ABCD【详解】A、由反比例函数的图像可知k0，这时一次函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故不正确；B、由反比例函数的图像可知k0，这时一次函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故不正确；C、由反比例函数的图像可知k0，这时一次函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故正确；D、由反比例函数的图像可知k0，这时一次函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故不正确.故选：C.4（2018湖北中考模拟）如图，已知A（4，n），B（2，4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx 的图象的两个交点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；（3）求方程kx+b-mx0的解集（请直接写出答案）【详解】（1）B（2，4）在y=mx上，m=8反比例函数的解析式为y=8x点A（4，n）在y=8x上，n=2A（4，2）y=kx+b经过A（4，2），B（2，4），-4k+b=22k+b=-4，解之得k=-1b=-2一次函数的解析式为y=x2（2）C是直线AB与x轴的交点，当y=0时，x=2点C（2，0）OC=2SAOB=SACO+SBCO=1222+1224=6（3）不等式kx+b-mx0的解集为：4x0或x2知识点四 用反比例函数解决实际问题解题步骤：1.根据题意找等量关系。2.列出方程，并注明自变量的取值范围。3.解方程4.写方程考察题型六 数形结合1（2019南昌市期中）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（）的反比例函数，其图象如图所示（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R=10时，求电流I（A）【详解】解：（1）由电流I（A）是电阻R（）的反比例函数，设（k0），把（4，9）代入得：k=49=36，I=36R（2） 当R=10时，I=3610=3.6A考察题型七 建模思想1.（2016广东中考真题）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）Av=320tBv=320tCv=20tDv=20t【详解】由题意vt=804，则v=320t故选B2.（2019 宝安区中考模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（ ）Ay10xBy5xCy20xDyx20【详解】等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，12xy=10， y与x的函数关系式为：y=20x 故选C3.（2019连云港市期中）强哥驾驶小汽车（出租）匀速地从如皋火车站送客到南京绿口机场，全程为280km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过120km/h（1）求v关于t的函数解析式；（2）强哥上午8点驾驶小汽车从如皋火车站出发乘客需在当天10点48分至11点30分（含10点48分和11点30分）间到达南京绿口机场，求小汽车行驶速度v的范围；强哥能否在当天10点前到达绿口机场？说明理由【详解】解：（1）vt280，且全程速度限定为不超过120千米/小时，v关于t的函数表达式为：v280t，（t73）（2）8点至10点48分时间长为145小时，8点至11点30分时间长为3.5小时将t3.5代入v280t得v80；将t145代入v280t得v100，小汽车行驶速度v的范围为：80v100；强哥不能在当天10点前到达绿口机场理由如下：8点至10点前时间长为2小时，将t2代入v280t得v140120千米/小时，超速了故强哥不能在当天10点前到达绿口机场考察题型八 反比例函数与其他函数相结合解决实际问题1.（2019文登区期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y (万元)与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）A4月份的利润为50万元B污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D9月份该厂利润达到200万元【详解】设反比例函数解析式为y=kxx0根据题意，图像过点（1,200），则可得出y=200xx0当x=4时，y=50，即4月份的利润为50万元，A选项正确；设一次函数解析式为根据题意，图像过点（4,50）和（6,110）则有4k+b=506k+b=110解得k=30b=-70一次函数解析式为y=30x-70，其斜率为30，即污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，B选项正确；治污改造完成前后，1-6月份的利润分别为200万元、100万元、2003万元、50万元、110万元，共有3个月的利润低于100万元，C选项错误；9月份的利润为309-70=200万元，D选项正确；故答案为C.2.（2015河北中考模拟）已知反比例函数y=kx的图象如图，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为（ ）ABCD【详解】函数y=的图象经过二、四象限，k0，由图知当x=1时，y=k1，k1，抛物线y=2kx24x+k2开口向下，对称为x=，10，对称轴在1与0之间，故选：D3.（2018安丘市期末）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）已知药物点燃后4分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为8毫克（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？【详解】（1）药物燃烧时，设y=kx，将（4，8）代入，得：8=4k，解得k=2，则y=2x；（2）药物燃尽后，设y=mx，将（4，8）代入，得：8=m4，解得：m=32，则y=32x；（3）在y=2x中，当y=2时，2x=2，解得x=1；在y=32x中，当y=2时，32x=2，解得x=16；则此次消毒有效时间为161=15分钟考察题型九 反比例函数与几何知识相结合解决问题1（2019贵州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数y=kx（x0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为25，则k的值为（）A2B3C4D6【详解】过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，A，B两点在反比例函数y=kx（x0）的图象，且纵坐标分别为4，2，A（k4，4），B（k2，2），AE2，BE=12k-14k=14k，菱形ABCD的面积为25，BCAE25，即BC=5，ABBC=5，在RtAEB中，BE=AB2-AE2=114k1，k4故选：C2.（2018江苏中考模拟）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y=kx（k0）的图象经过点B，则k的值为（）A12B32C32D36【详解】解：O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4），顶点C在x轴的正半轴上，OA=5，ABOC，点B的坐标为（8，4），函数y=kx（k0）的图象经过点B，4=k8，得k=32.故选B.3（2017德州市期末）如图，已知双曲线y=kx(k0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（-6，4），则AOC的面积为A12B9C6D4【解析】点A(-6,4)，D是OA中点D点坐标(-3,2)D(-3,2)在双曲线y=kx(k0)上，代入可得2=k-3k=-6点C在直角边AB上，而直线边AB与x轴垂直点C的横坐标为-6又点C在双曲线y=-6x点C坐标为(-6,1)AC=(-6+6)2+(1-4)2=3从而SAOC=12ACOB=1236=9，故选B18
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