第27全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案

第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填 空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程.一、（15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们 的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小.设重力加速度 g = 9.80 m/ s2,1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆 （即求 出每个摆的摆长） ，要求满足：（a ）每个摆的摆 长不小于 0 450m ,不大于 1.00m ;（ b ）初始时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo （ xo 0)的粒子作角速度为3、半径为 R 的匀速圆周运动 一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d ( d R ),在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为 d+ R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流i 随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的磁 感应强度表示式中的比例系数k 已知.五、（20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q 和-Q （Q 0），半径分别为 R 和 R/2，小球面与大球面内切于C 点，两球面球心 O 和 0的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点 B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m,带电荷为 q（q0 的质点自 MN 线上离 B 点距离为 R 的 A 点竖直上抛。设静 电力常量为 k，重力加度为 g.1 要使质点从 A 点上抛后能够到达 B 点，所需的最小初动能为多少？2 要使质点从 A 点上抛后能够到达 O 点，在不同条件下所需的最小 初动能各为多少？六、（20 分）由单位长度电阻为 r 的导线组成如图所示的正方形网络系列.n=1 时，正方形网络边长为 L,n= 2 时，小正方形网络的边长为 L/3 ; n=3 时，最小正方形网络的边长为 L/9 .当 n=1 2、3 时，各网络上 A、B 两点间的电阻分别为多少？n-J LIEHrR亍rpren rMNAAH2n=3七、（15 分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终 转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表 面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功 率 J 与表面的热力学温度 T 的四次方成正比，即 J= oT4,其中b是一个常量.已知太阳表面 温度 Ts=5.78X103K ，太阳半径Rs=6.69X105km ,地球到太阳的平均距离d=1.50X108km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为p=0.38 .1 如果地球表面对太阳辐射的平均反射率a=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？2.如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为a1=0.85，其余部分的反射率处a2=0.25 .间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K .八、（20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角0=45.有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为H .试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前2 倍的平行光.可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反 射率为 80 % ，透镜的透射率为 70 %，忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中选用 最少的器件组成采光装置.试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图， 并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件/7/7/77/九、（ 16 分）已知粒子 1 和粒子 2 的静止质量都是 m0，粒子 1 静止，粒子 2 以速度 v0与粒子 1发生弹性碰撞1. 若碰撞是斜碰，考虑相对论效试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是 钝角若不考虑相对论效应结果又如何？2. 若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度 .(I)一.参考解答:I.以厶表示第i个单摆的摆长，由条件(b)可知毎个摆的周期必须是40s的整数分之一.即式以及下面的有关各式都是在采用JS给单位条件下的数值关系)由可得，各单摆的摆长依0.450m 电电流的iE方向与y轴的正向一致，设时刻f长直导线上的电流为刊)，它产生的磁场在粒子所在处磁感应強度大小为d + x方向所在的平而由( (4) )、( (5) )式，可得i(0 = k(d+ftcosox)q评分标准:本题12分.式4分.(4)式2分，(5)式4分，(6)式2分.(4)四.参考解答:如图建立坐标系,则粒子在时刻/的位置云参考解答:图2若（3）式中取等号.則最小初动能应比 式给岀的巾略犬一点.ii 质点在BTO作减速运动（参看图1）.对应条件为此时质点刚好能到达0点的条件为1.质点在XT B应作减速运动（参看图1）.设质点在人戸的最小初动能为&0,刈根据能豈守恒，可得质点刚好能到达B点的条件为(1)由此可得2.质点在BT0的运动有三种可能情况:i.质点在BTO作加速运动（参看图1）,对应条件为此时只耍质点他过B点也必然能到达0点，因此质点能到达0点所需的最小初动能由（2）式给出，即(4)(5)由此可得(6)(7)iii.质点在BTOZ间存在一平衡点D（参看图2）.在BTD质点作减速运动，在DTO质点作加速运动，对应条件为(8)设D到0点的距离为X,则QO1DMOBiidAiio(10)艮据能就寸恒，质点別好能到达D点的条件为型理_+嘲2“)讥+型地R (R/2) )+x“* 2R 5RI1(11)h (10)、(11)两式可得质点能到达D点的最小初动能为E*吉mgR*鶴JjkgmqQ(12)2要质总能过D点也必然能到达0点所以，质点能到达0点的最小初动能也就是(12)式(严格讲应比(12)成给出内略大一点)评分标准：本題20分.第I小阿5分.求得式给5分.第2小何15分.算出第i种情况下的初动能给2分；算出第ii种悄况下的初动能给5分；算出第iii种情 况下的9J动能给8分.其中(10)式占3分.12六、参考解答：时，儿B间等效电路如图1所示.A. B间的电阻/?,=l(2rZ.) = rL错溟！未找到引用源.(1)” 时，A. B间等效电路如图2所示.A. B间的电阻 纭+5比2( (33 J由(IX (2)两式得心必0评分标准：本題20分.(1)式4分，(3)式6分，( (5)式10分333HZZHZZWZJ1-rL I用=3时.A.B间等效电路如图3所示.A.B间的电阴由( (3)、(4)式得IrL 9严冷 59-rL 9rL-rL -R2-rL評亠3 323 A I-rL9(5)-rL图-rL 2 -rL 9=!0.70/,；从透镜 4 透出的光通徽等于进入 a 的光通披对应的光强与透镜的貢径平方成反比，讲入-的光强用山表 示.即I；D：匕丿故有3 旳透过 a 的光强/； =0.70/M,考虑到( (3)式，得 日49谄J2由于进入透镜Li的光强是平面镜M的反财光的光强，反射光是入射光的80%.设射入装置的太阳光光强(1)(4)(5)15代入( (5)式有按題设要求代入 (10)式共2分.方案二：采光装震由平面镜M和两个凸透镜LHL2组成， 透镜纽翌于平而镜M前面，装置中各元件的相对方位及光路图如 图2所示.对透诜的参数要求与方案一相同.(6)(7)(8)(9)Z；o=0.80Z0Bl r但反射镜M的半短轴、半长轴的长度分别为b = D2/ 2 = 5.0cm方案三、采光装置由平面镜M和一个凸透镜L】、一个凹透镜L?组成，透镜组垃于平 而镜M后面（也可在M前面），装習中各元件 的相对方位及光路图如图3所示.有关参数与方聚一相同，但两透镜的距离a如果平面镜放在透镜组之前，平面镜的尺 寸和方案一相同；如果平面镜放在透镜组Z民平面镜的尺寸和方案二相同.评分标准：参照方案一.和评分标准：参照方案一.a = D2/(2sin22.5e) = 13.1cm图317九、参考解冬1.假设碰搦后球1和球2的速度方向之间的夹角为a（见图）,则由能 诙恒和动量守恒可得加0+叫內0 = vVl +叫（呻M J =（mM）1 2+（叫也+2（叫蛰）（叫也）ssa则 二，:,Xi *r=,h=f -Jl-u；/c Jl-v,/c2Jl_u：/dIII （1）、（2）式得in”才+1=#+於 +2（即2 / d ）/i/2COS a111（3）、（4）式得唤丄土2VIW2WJ21a R(ID(12)(13)19第2小问6分.(10X (11)式各1分，(16)式4分.