第43讲机械振动简谐运动的基本概念

内容： 14- 1, 14-2（50分钟）（50分钟）2 描述简谐运动的物理量1 .简谐运动要求:1 掌握描述简谐运动的特征量 一一振幅、周期、频率、相位的物理意义, 并能熟练地确定振动系统的特征量，从而建立简谐运动方程；2. 掌握描述简谐运动的旋转矢量方法与图示法的特点，并会应用于简谐运动规律的讨论与分析。重点与难点：1 简谐运动的动力学方程和运动学方程；2 .振幅与初相位的确定；作业:问题习题预习P35: 1, 2,P37: 2, 5, 14-3,7, 8,8, 11 14-4, 14-5第十四章机械振动引言：1什么是振动(Vibration)振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电 磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中。从狭义上说，通常把具有时间周 期性的运动称为振动。如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有 机械振动。广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称 为振动。变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量。 例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。2. 什么是机械振动(Mecha nical Vibrati on)机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动， 如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动。3. 研究机械振动的意义不同类型的振动虽然有本质的区别，但是仅就振动过程而言，振动量 随时间的变化关系，往往遵循相同的数学规律，从而使得不同本质的 振动具有相同的描述方法。振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，研究 机械振动的规律也是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技 术、波动光学的基础。4. 机械振动的特点(1) 有平衡点。(2) 且具有重复性，即具有周期性。5. 机械振动的分类(1) 按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。(2) 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。(3) 按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。(4 )按振动位移分：角振动、线振动。(5)按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振 动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。本早内容有： 14- 1简谐运动 14-2简谐运动的振幅、周期(频率)与相位 14-3旋转矢量 14-4单摆与复摆 14-5简谐运动的能量 14 6简谐运动的合成 14 7阻尼振动、受迫振动、共振14 1简谐运动Simple Harm on ic Vibrati on在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函 数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动 的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念：1 弹簧振子：轻质弹簧（质量不计）一端固定， 另一端系一质量为 m的物体，置于光 滑的水平面上。物体所受的阻力忽略 不计。设在 0点弹簧没有形变，此处 物体所受的合力为零，称 0点为平衡 位置。系统一经触发，就绕平衡位置 作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonic Oscillator）,它是一个理想化的模型。2 弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B tO弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大;O t C:弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零;C tO弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大;O t B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。物体在B、C之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：物体的惯性一一阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力一一驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征：1. 线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴IAWvW的正方向。由胡克定律可知，物体m （可视为质点）在坐标为x （即相对于O点的 位移）的位置时所受弹簧的作用力 为f=-kx式中的比例系数 k为弹簧的劲度 系数（Stiffness）,它反映弹簧的固 有性质，负号表示力的方向与位移 的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位 置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。 2动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为f ka xm m对于给定的弹簧振子， m和k均为正值常量，令2 km则上式可以改写为 ad2xdt2 d 2x .dt22x2x = 0这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征:1简谐振动的表达式（运动学方程） 简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即x Acos（ t ）这就是简谐运动的运动学方程，式中A和$是积分常数。只有正弦函数、余弦函数或说明：1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的,它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。2）考虑三角函数与复数的关系 ei 复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。cos i sin ，贝U x Aei ( t 。用减速 加速 减速 加速t2 简谐振动物体的速度和加速度 将简谐运动的运动学方程分别对 时间求一阶和二阶导数，可得简谐运 动的速度和加速度为a说明：Asi n( t )2A cos( t )dx dt d2x dt2物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质一一采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1 .从受力角度来看动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相 反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2. 从加速度角度来看一一运动学特征加速度a2x与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。3. 从位移角度来看：