线性方程组的求解方法与应用

-民族学院理学院2021届本科毕业论文(设计)线性方程组的求解方法及应用学生： 付世辉 学 号： 021240712 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 先平 辩论时间：2021年5月22日装订时间：2021年5月28日 . z.-A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science, Hubei University for NationalitiesIn Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2021The calculation method and application of the system of linear equationsStudent Name: Fu Shihui Student No.: 021240712 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu *ianping Date of Thesis Defense: 2021.05.22 Date of Bookbinding: 2021.05.28 . z.-摘要线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要容之一. 矩阵及其根本理论是学习线性代数的一种根本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其严密.关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法AbstractLinear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matri* and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matri* is the tool of the solution of the linear equations, the monly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU deposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.Keywords: linear equations, matri*, elementary transformation, Gramer, the LU deposition method. z.-目 录摘要IAbstractII1 绪言11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外概况12 预备知识22.1 线性方程组2 线性方程组的定义22.2 线性方程组有解判别定理22.3 线性方程组解的构造3 齐次线性方程组的性质4 根底解系及其存在性4 2.3.3 一般线性方程组的解的构造.53 线性方程组的求解方法63.1一般消元法63.2 克拉默法则6 克拉默法则求解具备的条件63.2.2 克拉默法则63.3 分解法94 线性方程组的应用134.1 线性方程组在几何学中的应用134.2 线性方程组在高次方程理论中的应用144.3 线性方程组在化学中的应用155 总结与展望.16致17参考文献18. z.-1 绪言本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国外许多著名的数学学家对线性方程组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.1.1 课题背景线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开场了对线性代数的研究. 而方程组理论则是代数学开展的一个重要方向，也是代数学的核心容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进展了研究.对线性方程组的研究，最早记录在公元初九章算术中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方程组是用一些比较根本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文主要运用了一般消元法、克拉默法则、分解法等解法.针对不同的问题，我们解决这些问题所选择的方法也不尽一样，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科学计算中的许多问题，例如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解有关.1.2 课题研究的目的和意义课题研究的意义：(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食安康、经济平衡联系的比较严密，我们可用它解决生活中的一些根本问题.1.3 国外概况对于线性方程组求解方法的研究，国外许多著名的数学学家对此作出了不少的奉献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国外学家的著作.在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决策，这些决策中的关键要素就是我们重点研究的对象.2 预备知识2.1 线性方程组的定义形如 2.1的方程组的叫做线性方程组.其中，代表个未知量，是方程的个数，称为方程组的系数，称为常数项；系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.常记为 .其中，当线性方程组的右端全为零时，该线性方程组就称为齐次线性方程组；当线性方程组的右端不全为零时，该线性方程组就称为非齐次线性方程组.2.2 线性方程组有解判别定理 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与它的增广矩阵有一样的秩.证明：不妨先引入向量 2.2于是定理中的线性方程组就可以写成 2.3 很明显，该线性方程组有解得充要条件是向量可以由向量组线性表出，定理证明过程如下：必要性 假设该线性方程组有解，则就是说向量是向量组的线性组合，从而可以得到与向量组等价，又等价的向量组有一样的秩，故这两个向量组有一样的秩. 并且这两个向量组分别是系数矩阵与增广矩阵的列向量组. 所以，系数矩阵和增广矩阵有一样的秩.充分性 假设系数矩阵与增广矩阵有一样的秩，则它们的列向量组与有一样的秩，不妨让它们的秩都等于.中的极大线性无关组是由个向量组成的，可以假设是它的一个极大线性无关组，故向量可以由线性表出，再加上等个线性无关的向量，可以知道向量可以经线性表出. 所以，该线性方程组有解. 证毕2.3 线性方程组解的构造在上一节，我们解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们这一节还需要探讨一下线性方程组解的构造.2.3.1 齐次线性方程组的性质对于齐次线性方程组 2.4它的解所构成的集合有以下两个重要性质：性质1:两个解的和还是方程组的解.假设与是该线性方程组的两个解. 即将这两个解代入到方程组中，每个方程都变成了恒等式. , , 将这两个解的和代入到该线性方程组中，可以得到. 2.5这就说明了两个解的和还是方程组的解. 证毕性质2：一个解的倍数还是方程组的解.设是该线性方程组的一个解，则有. 2.6将这个解的倍代入到方程组中，就可以得到. 2.7这就说明了一个解的倍数还是方程组的解. 证毕 根底解系及其存在性1如果满足a.方程组的任意一个解可以表示成的线性组合；b.线性无关.则这组解就称为齐次线性方程组的一个根底解系.2在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有根底解系，并且根底解系所含 有的解的个数等于，这里表示的是系数矩阵的秩. 一般线性方程组的解的构造1线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；2线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解；3在方程组有解的情况下，解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解.3 线性方程组的求解方法3.1一般消元法例3.2.1 求消元法求解线性方程组解：下面对这三个方程进展加减运算从而到达消元的目的.第二个方程减去第一个方程的2倍，得,第三个方程减去第一个方程得,将第一个方程、第四个方程、第五个方程综合起来就得到一个新的方程组再分别对这个方程组中的第二个和第三个方程进展加减运算，即第二个方程减去第三个方程的2倍就可以得到可以解出从而原方程组的解为9，-1，-6.一般消元法用来计算一些比较简单的线性方程组，是最简单最直接最有效的方法，它的根本思想就是将方程进展加减和代入运算，要转换成矩阵的行初等变换来求解.3.2 克拉默法则 克拉默法则求解具备的条件 利用克拉默法则求解线性方程组时需要具备两个条件：1线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等；2线性方程组的系数行列式不等于零.3.2.2 克拉默法则设含有n个未知数的线性方程组的系数行列式 3.1则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为 3.2其中是把系数行列式中第列的元素用常数项代替后所得到的阶行列式，即 3.3定理中包含着三个结论：方程组有解；解是唯一的；解由公式(3.2)给出.下面来证明一下克拉默法则：证明：1.该线性方程组简写成. 3.4首先需要证明3.2是3.3的解. 将3.2代入到第i个方程，则左端就为.3.5由于 .故有 = =.这就与第i个方程的右边是一致的，故3.2是该线性方程组的解.2. 假设是该线性方程组的一个解，则就有那个恒等式. 3.6 下面证明，不妨取矩阵中第k列元素的代数余子式，再用他们乘上面这n个恒等式，就可以得到.将它们加起来，就可得. 3.7再来看3.7的左边， =.故有 就可得 即方程组的一个解为，它必为故方程组最多有一组解. 证毕例3.2 用克拉默法则解线性方程组：解：该线性方程组的系数行列式为，从而该线性方程组的唯一解为. 3.8克拉默法则只适用于系数行列式不等于0的线性方程组，则对于系数行列式为0的情况就不能用克拉默法则解题了，克拉默法则主要在于理论上的应用. 如果齐次线性方程组 3.9的系数矩阵的行列式，则它只有零解. 即，如果该齐次线性方程组有非零解，则必然有.下面来证明一下定理3.2.1：证：对该齐次线性方程组应用克拉默法则，因为行列式中有一列全为零，则有 3.10故它的唯一解为.从而定理3.2.1得证. 求在什么条件下，方程组有非零解.解:根据定理3.2.2，假设该齐次线性方程组有非零解，则系数矩阵的行列式故.可以验证当时，该齐次线性方程组确有非零解.克拉默法则在计算一些根本的线性方程组是可行的，但是对于个未知量 个方程的线性方程组就必须得计算个级行列式，相对而言计算量非常大.3.3 分解法分解法，又称三角形分解法，是求解线性方程组的重要方法之一. 当方程组左边的系数矩阵不变，仅仅是方程组右边列向量发生改变，能够很好地求解方程组.设n阶线性方程组为假设可以将方程组左边的系数矩阵分解成两个三角阵的乘积，即可以写成，其中，为主对角线以上的元素均为零并且主对角线元素均为1的下三角矩阵，为主对角线以下的元素均为零的上三角矩阵.故有，令，则有.由，由矩阵的乘法公式：推出这样就可以确定出的第一行元素和的第一列元素. 以此类推，设已经确定了的第行元素和的第列元素，由矩阵乘法：.当时，有，因为.所以,同理可以求出的第列的公式：,所以可以得到如下算法杜利特Doolittle算法：（1） 将矩阵分解为.（2） 解.（3） 解.LU分解法的证明过程如下： 证明: 对，当时上述结论显然成立.假设当上述结论成立，现证明时结论成立.对进展分块得，令，易得其中.对成立,其中为单位下三角矩阵为非奇异上三角矩阵，于是令,，显然易见为单位下三角矩阵，为非奇异上三角矩阵. 求解方程组解：由上面的分解法第一步的公式可得出， 于是可以化为两个方程组，. 利用第二步和第三步的公式可得出该线性方程组的解为.4 线性方程组的应用线性方程组的应用包括理论和实际方面的应用，下面我们来介绍一下它的具体应用. 线性方程组在数学理论的应用还是很广泛的，特别在解析几何、代数上有重要的应用. 我们可以用齐次线性方程组来解决初等数学的一些根本问题，应用起来可以适当防止一些繁琐的过程.4.1 线性方程组在几何学中的应用 任意三点不在同一直线上的不同四点 共圆的充分必要条件是.证明：先证必要性： 我们假设在圆上，则我们就可以将这四个点带入到圆方程中去,就可以得到我们，故此方程组是关于的齐次线性方程组，它必有非零解，从而可以知道它的系数行列式等于零，即.从而必要性得证.再证充分性：如果，则关于的齐次线性方程组就会存在非零解. 我们可以假设是该齐次线性方程组的一组非零解. 又四点中任意三点都不共线，则可以假设，否则的话不同时为零,从而导致三点共线. 即可得出这四个点都在圆上，充分性得证.从而该定理得证.4.2 线性方程组在高次方程理论中的应用假设为互不相等的四个实数，则四个方程没有公共实根.证明：我们可以用反证法进展证明.假设这四个方程有公共实根，则关于的齐次线性方程组就会有一组非零解，即.可以得到，将带入到原方程组中，就可以得到，这与互不相等矛盾，从而可以得出这四个方程没有公共实根.4.3 线性方程组在化学中的应用线性方程组在化学中的应用也比较广泛，特别是配平化学方程式，根据守恒规律，可得出相应的方程，从而求解出方程组的解，就可以配出化学方程组的系数了. 在高温条件下，一氧化碳可以复原四氧化三铁生成单质铁和二氧化碳，请配平该化学方程式解：为了配平该化学方程式，我们不妨假设反响物和生成物的量分别为，根据守恒定律，各原子的数目在发生化学反响前后保持不变，则根据铁原子守恒，有,根据碳原子守恒，有,为了平衡氧原子，有,将这三个式子综合起来并进展移项，就可以得到由于方程的个数少于未知量的个数，我们可以知道该线性方程组必定有非零解，且每一个分量必须为正数解，简化其增广矩阵就有.我们将取作自由未知量，就有特别地，取此时可求出此时化学方程式有以下形式：5 总结与展望本文系统介绍了线性方程组相关的知识，主要有两大模块：求解方法和应用.线性方程组求解比较常见的方法有一般消元法、克拉默法则、分解法等方法，对这三种方法我们分别进展了举例以便于理解，在其应用方面，我们分为了理论应用和实际应用，并进展了举例.关于线性方程组的求解方法，本文只列举了三种，还有其它的一些方法并没有引用进来，有待进一步了解.关于线性方程组的应用，还有其它方面的应用，比方电路问题、营养搭配问题、维他命的配方等等都可以列举相关的例子.致在论文完成之际，我要特别感先平教师给予我无私的指导，然后根据教师的指导进展修改.在论文写作的这段时间里，我碰到了各种各样的障碍，包括论文选题、论文写作等方面，在论文写作这方面我还是显得经历缺乏，有待进一步加强.在这里，我还要感各位教师和同学们给我无私的帮助，正是各位教师和同学们兢兢业业的指导个帮助之下，我才能够顺利完本钱论文.由于本人学识是有限的，加之时间非常仓促，文中不免有错误和待改进之处，真诚欢迎各位师长、同行提出珍贵意见.参考文献1科. 两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法D.大学,2021.2汉垣. 大规模稀疏线性方程组求解的并行GaBP算法研究D.大学,2021.3周挺辉,文恺,严正,徐得超,江涵. 基于图形处理器的电力系统稀疏线性方程组求解方法J. 电力系统自动化,2021 ,v.39;No.55202:74-80.4史文谱,迎曦,褚京莲,郭淑红. 求解线性方程组的一种新方法J. 计算力学学报,2003,06:715-720.5严辉银. 求解二乘二分块实线性方程组的块分裂预处理方法D.大学,2021 .6邬贵明. 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