导数及其应用A (2)

导数及其应用基本知识1、导数的定义 （1）一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作，即（2）当x变化时，是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数，简称导数，有时也记作，即2、导数的几何定义及物理意义（1）设函数y=f(x)在x0处可导，则表示曲线上相应点M（x0,y0）处的切线的斜率，点M处的切线方程为。（2）设S=S(t)是位移函数，则表示物体在t0时刻的瞬时速度。设v=v(t)是速度函数，则表示物体在t0时刻的加速度。3、几种常见函数的导数（1）c为常数（2）（3）（4）（5），,;（6），;4、求导法则（1） ；（2） ；（3） 5、复合函数的导数设g=f(u),u=g(x)在对应区间可导，则6、函数的单调性（1）在某个区间(a,b)内，如果（），那么函数y=f(x) 在这个区间内单调递增（递减）。（2）如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓”一些。（3）若f(x)在区间(a,b)上单调递增，则有在区间(a,b)上恒成立；若f(x)在区间(a,b)上单调递减，则有在区间(a,b)上恒成立；7、函数的极值（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小；而且在点x=a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数f(x)的极小值。（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数f(x)的极大值点，f(b)叫做函数f(x)的极大值。（3）极小值与极大值统称为极值，极小值点与极大值点统称为极值点。（4）求函数y=f(x) 的极值的方法是：解方程，当时如果在x0附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在x0附近的左侧，右则，那么是极小值。8、函数的最值求函数y=f(x) 在a,b上最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； 导数应用训练（一）1、f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是DA、b2-4ac0 B、b0,c0 C、b=0,c0 D、b2-3ac02、已知f(x)=x3-ax在1，+）上是增函数，则a的最大值是DA、0 B、1 C、2 D、33、f(x)=xe-x的一个单调递增区间是AA、-1，0 B、2，8 C、1，2 D、0，24、函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值是6，则a等于DA、0 B、1 C、5 D、65、函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，则a,b的值为AA、 B、 C、 D、以上都不对6、函数f(x)在区间a,b上最大值是M，最小值是m，若M=m，则 AA、等于0 B、大于0 C、小于0 D、以上都有可能7、函数的定义域为，对任意，则的解集为BA（，1） B（，+） C（，） D（，+）8、在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底为DA、 B、 C、 D、9、函数f(x)=x-2lnx在（0，2上的最小值为_10、已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围为_11、如果连续不断的函数f(x)满足下列条件在（a,b）内可导且其导函数,那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)-f(a)= ()(b-a)成立，我们把这一规律称为f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质，并把其中称为中值（1）若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质，为中值，点A(a,f(a),B(b,f(b)，则直线AB的斜率为()（2）函数在(0,2)内具有“Lg”性质，且=，()= （3）函数f(x)=x3在(-1,2)内具有“Lg”性质，但中值不唯一其中正确的命题是_12、已知，若对，则实数m的取值范围_13、设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR（1）求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当14、水以20米3/分的速度流入一圆锥容器，设容器深30米，上底直径为12米，试求当水深10米时，水面上升的速度。15、函数上的增函数（1）求正实数a的取值范围；（2）若g(x)=x2+2x，在使g(x)M对定义域内任意的x恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫g(x) 的下确界，求出a=1时,f(x)的下确界（3）设，求证ln16、设函数f(x)=+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值（1）若b=-6，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在c使函数f(x)在区间m-2,m+2上单调递增，求实数m的取值范围。（3）若函数f(x)只有一个极值点，且存在t2（t1,t1+1），使，证明g(x)=f(x)- 在(t1,t2)内最多有一个零点。1、D 2、D 3、A 4、D 5、A 6、A 7、B 8、D9、2-ln2 10、a-1或a2 11、 12、13、（1） （2）设由（1）知当即g(x)在R上是增函数所以14、 15、（1）a1 （2）由（1）知a=1时f(x)在1，+）上单增，f(x)的下确界为0（3）取由（1）16、（1）设 故-16c16（2）存在，使在m-2,m+2恒成立即x3-12x-c恒成立x3-12x-16(x-2)2(x+4)0的解集是m-2,m+2的子集 （3） 上是单调减函数. 所以内最多有一个零点 导数应用训练（二）1、曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为A、x+y+2=0 B、x+y-2=0 C、x-y+2=0 D、x-y-2=02、物体作直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔t0,t0+t内的平均速度A、 B、 C、 D、3、函数y=x3-8x的图象上，其切线的斜率在（0，1）的点中，坐标为整数的点的个数是A、3 B、2 C、1 D、04、A、 B、 C、 D、5、设函数f(x)=(1-2x3)10，则=A、0 B、-1 C、-60 D、606、曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则是P点的坐标为A、（1，0）或（-1，-4） B、（0，1） C、（-1，0） D、（1，4）7、设点P是曲线上任意一点；P点处切线倾斜角为，则的取值范围A、 B、 C、 D、8、某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为，则在时刻t=10min的降雨强度为A、 B、 C、 D、9、若曲线在点（）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18，则a=A、64 B、32 C、16 D、810、已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是A、2x-y-1=0 B、x-y-3=0 C、3x-y-2=0 D、2x+y-3=011、曲线在点M（）处的切线的斜率为_12、已知f(x)=x3-3x，过点P（-2，-2）作函数y=f(x)的图象的切线，则切线方程为_13、设函数，集合，若MP，则实数a的取值范围是_14、已知函数的图象为曲线C（1）求过曲线C上任一点的切线的斜率的范围；（2）若在曲线C上存在互相垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围。15、求满足下列条件的函数f(x).（1）f(x)是三次函数，且;（2）是一次函数，。16、已知C1：y=x2+2x与C2：y=-x2+a如果直线l同时是C1和C2的切线，称是C1和C2的公切线，a取何值时，C1与C2有且仅有一条公切线？1、A 2、C 3、D 4、C 5、D 6、A 7、A 8、A 9、A 10、B 11、12、 13、14、（1） （2）由（1） 即15、（1） （2）设 16、C1在的切线方程 C2在的切线方程 由都是l的方程得 由 这时，此时P、Q重合即时，C1和C2有且仅有一条公切线 导数应用训练（三）1.若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于A2 B3 C6 D9 【答案】D2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克【答案】D3.设，则的解集为A. B. C. D.【答案】C4.曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【答案】A5若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ B ）A B C D6已知对R，函数都满足，且当时，则 （ D ）2,4,6ABCD 7已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是 （ D ）A0B CD8如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为则= -2 9. 函数的导数为_；10.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【答案】11.设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求a的取值范围。.解：对求导得 （I）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知12.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。解：(1)，令得当时，在和上递增，在上递减；当时，在和上递减，在上递增(2) 当时，；所以不可能对，都有；当时有（1）知在上的最大值为，所以对，都有即，故对，都有时，的取值范围为。13. 设,讨论函数 的单调性解：函数f(x)的定义域为（0，+）综上所述，f(x)的单调区间如下表：（其中）14.设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；切线的方程：(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；又对任意的，恒成立，特别地，取时，成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：；又所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。 导数应用训练（四）1. 若函数在区间内可导，且则 的值为（ B ）A. B. C. D. 2已知直线是曲线的切线,则直线经过点 （ B ）A B C D3设函数，若对于任意，恒成立，则实数m的取值范围为 （ 3 ）ABCD4已知函数，（xR）上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递增区间为 （ A ）A B C D5对于R上可导的任意函数，若满足，则必有 （ C ）ABCD6已知函数的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是 （ C ）A B C D7曲线在点处的切线的斜率为 8已知函数的导函数为，且，则= -1 9直线是曲线的一条切线，则符合条件的一个实数k值为 1 10.函数f(x)x33x-a有三个不同的零点，则a的取值范围是 (-2,2) 11（本小题满分12分）已知函数是奇函数，是偶函数，设（1）若,令函数,求函数在上的极值；（2）对恒有成立，求实数的取值范围.11【解析】方法一 因为函数是奇函数，是偶函数,故.（1）时，所以递减递增递减由得或（2分）函数在处取得极小值；在处取得极大值（6分）（2）的对称轴为，对恒有，所以函数在上恒为单调递增函数.若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：，所以；（8分）若即时，要使函数在上恒为单调递增函数，则有，解得：；（10分）综上，实数a的取值范围为（12分）方法二 （参数变量分离法最简单）在上恒成立（1）当x=0时，aR,.（2）当x0时，因，（3）当时，而，.综上所述，实数a的取值范围为，2.12已知函数(0,R)（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.x10递减极小值递增【解析】（1）因为，当，令，得，（2分）又的定义域为，随x的变化情况如右表，所以时，的极小值为1.的递增区间为，递减区间为；（4分）（2）因为，且，令，得到，若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.（6分）（1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为，由，得，即.（8分）（2）当，即时，若，则对成立，在区间上单调递减，所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立.（10分）x0递减极小值递增若，即时，则有（右表），所以在区间上的最小值为，由，得，解得，即.（11分）综上，由（1）（2）可知：符合题意.（12分）13已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，其中R（1）求函数的解析式；（2）若点P（a,b）在圆上变化时，函数在区间上极大值值域；（3）求证：对R，使【解析】，时，所以（3分） （2）当时，由，显然，时函数在没有极大值，故.由=0得.又因为P（a,b）在圆上变化，故，所以.当，.故是函数的极大值点，极大值，又因，故.所以，因此函数的极大值的值域为.（9分）（3）证明：，解得,因为，（12分）14设函数定义在上，其图像经过点M（1,0），导函数，（1）如果不等式mg(x)能成立，求实数m的取值范围；（2）如果点是函数图像上一点，证明：当，（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】（1），（为常数），又，所以，即，；，（3分），令，即，解得，当时，；当时，.所以是函数在上的唯一极小值点，从而是最小值点，所以的最小值是“不等式mg（x）能成立”的等价命题是“”，故.（8分）（2）证明：点N是函数图像上一点，.设，则，当时，此时是减函数,故，又时，即，.（3）满足条件的不存在证明如下：假设存在使得对任意有，但对上述的，取时，有，这与左边的不等式矛盾，因此不存在，使对任意成立15.已知函数：R.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：N*【解析】（1）,（1分）当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，不是单调函数.（4分）（2）得，（5分），在区间上总不是单调函数，且（8分）由题意知：对于任意的，恒成立，所以，（10分）（3）令此时，所以，由（1）知在上单调递增，当时，即，对一切成立，（11分），则有，（13分） 导数应用训练（一）1、f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是A、b2-4ac0 B、b0,c0 C、b=0,c0 D、b2-3ac02、已知f(x)=x3-ax在1，+）上是增函数，则a的最大值是A、0 B、1 C、2 D、33、f(x)=xe-x的一个单调递增区间是A、-1，0 B、2，8 C、1，2 D、0，24、函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值是6，则a等于A、0 B、1 C、5 D、65、函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，则a,b的值为A、 B、 C、 D、以上都不对6、函数f(x)在区间a,b上最大值是M，最小值是m，若M=m，则A、等于0 B、大于0 C、小于0 D、以上都有可能7、函数的定义域为，对任意，则的解集为A（，1） B（，+） C（，） D（，+）8、在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，梯形的上底为A、 B、 C、 D、9、函数f(x)=x-2lnx在（0，2上的最小值为_10、已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围为_11、如果连续不断的函数f(x)满足下列条件在（a,b）内可导且其导函数,那么在(a,b)内至少存在一点(ab)，使得f(b)-f(a)= ()(b-a)成立，我们把这一规律称为f(x)在(a,b)内具有“Lg”性质，并把其中称为中值（1）若函数f(x)在(a,b)具有“Lg”性质，为中值，点A(a,f(a),B(b,f(b)，则直线AB的斜率为()（2）函数在(0,2)内具有“Lg”性质，且=，()= （3）函数f(x)=x3在(-1,2)内具有“Lg”性质，但中值不唯一其中正确的命题是_12、已知，若对，则实数m的取值范围_13、设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，xR（1）求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当14、水以20米3/分的速度流入一圆锥容器，设容器深30米，上底直径为12米，试求当水深10米时，水面上升的速度。15、函数上的增函数（1）求正实数a的取值范围；（2）若g(x)=x2+2x，在使g(x)M对定义域内任意的x恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫g(x) 的下确界，求出a=1时,f(x)的下确界（3）设，求证ln16、设函数f(x)=+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值（1）若b=-6，函数f(x)有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在c使函数f(x)在区间m-2,m+2上单调递增，求实数m的取值范围。（3）若函数f(x)只有一个极值点，且存在t2（t1,t1+1），使，证明g(x)=f(x)- 在(t1,t2)内最多有一个零点。 导数应用训练（二）1、曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为A、x+y+2=0 B、x+y-2=0 C、x-y+2=0 D、x-y-2=02、物体作直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s=s(t),则物体在时间间隔t0,t0+t内的平均速度A、 B、 C、 D、3、函数y=x3-8x的图象上，其切线的斜率在（0，1）的点中，坐标为整数的点的个数是A、3 B、2 C、1 D、04、A、 B、 C、 D、5、设函数f(x)=(1-2x3)10，则=A、0 B、-1 C、-60 D、606、曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则是P点的坐标为A、（1，0）或（-1，-4） B、（0，1） C、（-1，0） D、（1，4）7、设点P是曲线上任意一点；P点处切线倾斜角为，则的取值范围A、 B、 C、 D、8、某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为，则在时刻t=10min的降雨强度为A、 B、 C、 D、9、若曲线在点（）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18，则a=A、64 B、32 C、16 D、810、已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是A、2x-y-1=0 B、x-y-3=0 C、3x-y-2=0 D、2x+y-3=011、曲线在点M（）处的切线的斜率为_12、已知f(x)=x3-3x，过点P（-2，-2）作函数y=f(x)的图象的切线，则切线方程为_13、设函数，集合，若MP，则实数a的取值范围是_14、已知函数的图象为曲线C（1）求过曲线C上任一点的切线的斜率的范围；（2）若在曲线C上存在互相垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围。15、求满足下列条件的函数f(x).（1）f(x)是三次函数，且;（2）是一次函数，。16、已知C1：y=x2+2x与C2：y=-x2+a如果直线l同时是C1和C2的切线，称是C1和C2的公切线，a取何值时，C1与C2有且仅有一条公切线？ 导数应用训练（三）1.若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于A2 B3 C6 D9 2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克3.设，则的解集为A. B. C. D.4.曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)15若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围 A B C D6已知对R，函数都满足，且当时，则 2,4,6ABCD 7已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的最小值是 A0B CD8如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为则= 9. 函数的导数为_；10.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_11.设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求a的取值范围。12.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。13. 设,讨论函数 的单调性14.设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。 导数应用训练（四）1. 若函数在区间内可导，且则 的值为A. B. C. D. 2已知直线是曲线的切线,则直线经过点 A B C D3设函数，若对于任意，恒成立，则实数m的取值范围为 ABCD4已知函数，（xR）上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递增区间为A B C D5对于R上可导的任意函数，若满足，则必有 ABCD6已知函数的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是 A B C D7曲线在点处的切线的斜率为 8已知函数的导函数为，且，则= 9直线是曲线的一条切线，则符合条件的一个实数k值为 10.函数f(x)x33x-a有三个不同的零点，则a的取值范围是 11（本小题满分12分）已知函数是奇函数，是偶函数，设（1）若,令函数,求函数在上的极值；（2）对恒有成立，求实数的取值范围.12已知函数(0,R)（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.13已知函数是定义在实数集R上的奇函数，当时，其中R（1）求函数的解析式；（2）若点P（a,b）在圆上变化时，函数在区间上极大值值域；（3）求证：对R，使14设函数定义在上，其图像经过点M（1,0），导函数，（1）如果不等式mg(x)能成立，求实数m的取值范围；（2）如果点是函数图像上一点，证明：当，（3）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由15.已知函数：R.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求m的取值范围；（3）求证：N*