北师大版九年级上册 第一章《特殊平行四边形》 讲义（无答案）

第一讲：特殊的平行四边形一、知识概要【菱形】 1.菱形的定义： 的平行四边形叫菱形 2.性质:（1）菱形的四条边_，对边_. （2）菱形的相邻的角_，对角_. （3）菱形的对角线_，并且每一条对角线_. （4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。 3.判定:（1）定义：_的平行四边形是菱形 （2）定理1：_的四边形是菱形 （3）定理2：对角线_的平行四边形是菱形 4、菱形的面积 S菱形=底边长高=两条对角线乘积的一半【矩形】1. 矩形的定义：_.2.性质:（1）矩形的对边_. （2）矩形的四个角都是_. （3）矩形的对角线_. （4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。3. 判定:（1）定义：_的平行四边形是矩形 （2）定理1：_的四边形是矩形 （3）定理2：对角线_的平行四边形是矩形 4. 矩形的面积 S矩形 =长宽=ab5. 直角三角形斜边上的中线 6. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是 【正方形】 1.正方形的定义：_的平行四边形叫做正方形.2. 性质：（1）正方形四条边_，对边_. （2）正方形的四个角_. （3）正方形的两条对角线_，每一条对角线_. （4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。3.判定:判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它是菱形。先证它是菱形，再证它是矩形。判定定理1：有 的平行四边形叫做正方形； 推论1：有 的矩形叫做正方形； 推论2：有 的菱形叫做正方形判定定理2：对角线 的四边形是正方形判定定理3：对角线 的平行四边形是正方形 推论1：对角线 的矩形是正方形； 推论2：对角线 的菱形是正方形4.正方形的面积设正方形边长为a，对角线长为b S正方形=二、典型例题 例1： 如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证：四边形DEBF是菱形如图，在ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD求证：四边形ABEF是菱形。 例2：已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16，BD=12，（1）求菱形ABCD的边长；（2）求菱形ABCD的高DH如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，菱形ABCD的周长是20，BD=6（1）求AC的长（2）求菱形ABCD的高DE的长例3：如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F（1）求证：AB=CF；（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 已知：在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE ，求：EAC的度数。例4：如图，点是正方形内一点，是等边三角形，连接、，延长交边于点. （1）求证:；（2）求的度数. 在正方形ABCD中，CEDF（1）如图1，证明：BE=CF（2）如图2，设正方形对角线交点为O，连接EO，FO，猜想：OE与OF之间的关系并说明理由（3）在（2）中，若OE=5，FC=1，求正方形的边长 例5：若分别以三角形ABC的边AB、AC为边，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求证：BG=EC，BGEC。 1. 如图，正方形ABCD中，EAF=45，求证：BE+DF=EF。 2. 在正方形ABCD的CD边上取一点G，在CG上向原正方形外作正方形GCEF，求证：DEBG，DE=BG。 10 / 10