不等式恒成立存在性问题的解题方法

不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质 对于一次函数有：例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用变换主元的方法，将m看作主变元，即将原不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即所以x的范围是。2、利用一元二次函数判别式 对于一元二次函数有：1.解集为空集；2.解集为空集（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3已知不等式在时恒成立，求的取值范围。 解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例4已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故即的取值范围为。注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。4、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例5对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。练习：1已知，若恒成立，求a的取值范围. 对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 (1)当| x | 2，上式恒成立，求实数m的取值范围 ；(2)当| m | 2，上式恒成立，求实数x的取值范围 . 。若不等式ax2-2x+20 对x(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。二、存在性问题存在 xD,使得函数f(x)af(x)maxa 存在 xD,使得函数f(x)af(x)mina例6：已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在x-1,2使得f(x)0,试求实数a的取值范围。解：法一：f(1)=10，所以对aR,均存在x-1,2使得f(x)0.法二：原题同解于：当x-1,2时，f(x)max,即： f(-1)0或f(2)0 代入可得:1+2a0或a0得a-0.5或aa, xD有解（解集非空） f(x)maxa不等式f(x)a, xD解集为空集 f(x)mina 方程f(x)=a, xD有解（解集非空） af(x)| xD即的值域。例7：方程x2-x+a在区间（，）内有解，则实数a的取值范围是 。 解：原题同解于：ax2-x+，x（，）的值域。a（x）2 +af(1)，f(3)）即a，）练习：1。解集不空, 则a的取值范围是 . 2.不等式 解集为空集, 则a的取值范围是 .