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上海市普陀区2013届高三上学期高考一模考试数学试题Word版含答案2012学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷 2013.1 考生注意: 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码; 2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟. 一、填空题:(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 不等式的解为 . |2,x|,1T,2. 函数的最小正周期 . y,sin2x，cos2x6123. 若集合，集合,，则 . B,13A,x|,1AB,0x，5ABCD,ABCDBDBCCB4.【理科】如图，正方体中，直线与平面所成的角的大小为 (结1111111果用反三角函数值表示). ABCD,ABCDBCCD【文科】正方体中，异面直线与所成的角的大小为 . 111111AD11 B C11AD CB (第4题图) (第4题图) ,1f(,8),fxalogx(),.【理科】若函数的图像经过点，则 . 5(1,1)3,1f(,8),fxlogx()1,【文科】若函数，则 . 3- 1 - aSa6. 若等差数列的前项和为，则数列的通项公式为 . a，a,14S,70nnnn2477. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号 的和是奇数的概率为 (结果用最简分数表示). 1210(2)x，8. 在的二项展开式中，常数项等于 . x,9. 若函数(,)的部分图像如右图，则 . f(x),Asin(2x，,)f(0),A,0,22y 2,xO3AB,BC,7ABAC,210. 在中，若,，则 . AB,?ABC(第9题图) 11. 【理科】若函数满足f(x，10),2f(x，9)，且，则f(,10), . fx()f(0),1【文科】若函数满足f(x，10),2f(x，9)，且，则f(10), . fx()f(0),12x112MD(3,0)，,y1，12. 【理科】 若、，是椭圆上的动点，则的最小值 C(,3,0)MCMD4为 . 2x112M，,y1，FF【文科】若、是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的 21MFMF412最小值为 . EFH13. 三棱锥中，、分别为、的中点，则截面将三棱 SABC,GSAACBCSBEFGH- 2 - SE H 锥分成两部分的体积之比为 . SABC,x，1,0,x,1,. 已知函数f(x),，设，若，则的取值范围14f(a),f(b)b,f(a)ab,0,1x2,x,1,2,是 . 二(选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. Ry,y,15.已知函数()，则“”是“函数在上是增函数”的( ) f(x)f(1),f(2)f(x)x,RAB(充分非必要条件; (必要非充分条件; D(充要条件; (非充分非必要条件. C22xy22，,116.【理科】双曲线()的焦点坐标为( ) a,b22,ab,2222AB(; (; (,a，b,0)(,a,b,0)2222D(; (. (,a，b,2,0)(0,a，b)C22xy，,1【文科】双曲线()的焦点坐标为( ) 7,9,9,7,ABD(,2,0)(0,2)(,4,0)(0,4)(; (; (; (. C- 3 - nn，11ab,17.已知,若lim5，则的值不可能是( ) ,a,0b,0a，b(nnn,ab,ABD(; (; (; (. 78C910EPA18.如图,四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的 ABCDCDDE,CDA边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是( ) APABAE,，,(E D CA,2P(满足的点必为的中点. ,，BCP BP(满足的点有且只有一个. ,，,1B A (的最大值为3. ,，C(第18题图) D(的最小值不存在. ,，三、解答题:(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是6，圆柱筒长2. cmcm3(1)这种“浮球”的体积是多少(结果精确到0.1), cm(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少, 2cm 6cm (第19题图) - 4 - 20. (本题满分14分)本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知动点到点和直线的距离相等. A(x,y)F(2,0)x,2y A(1)求动点的轨迹方程; AFK(2)记点，若，求?的面积. K(,2,0)AK,2AFF K x,2 O2 (第20题图) 21.(本题满分14分) 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分. 1，A，Ba,43已知、是中、的对边,，cosA,( acb?ABC，Cb,63(1)求; c,(2)求的值( cos(2B,)4- 5 - 22.(本题满分16分) 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分. AB【理科】在平面直角坐标系中，点满足，且;点满足xOyOA,(0,1)AA,(1,1)nn1nn，12n*，且，其中( BB,OB,(3,0)nN,(3(),0)，11nn3A(1)求的坐标，并证明点在直线上; OAyx,，1n2(ABBAaa(2)记四边形的面积为，求的表达式; nnnn，11nn*PPa,Pa(3)对于(2)中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立,若存在，求 nN,nn的值;若不存在，请说明理由( 【文科】和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成f(x)g(x)xf(g(x),g(f(x)M,MM立，称函数与在上互为“函数”. f(x)g(x)H(1)若函数，f(x)与g(x)互为“函数”.证明:. f(x),ax，bg(x),mx，nf(n),g(b)H2Mf(x),x(2)若集合，函数，判断函数与在上是否互为“ f(x)g(x)M,2,2g(x),cosxH函数”，并说明理由. xf(x),a(3)函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合 aa,0且1)g(x),x，1aHMM. - 6 - 23.(本题满分18分) 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分. 【理科】设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有 f(x)g(x)xM,MM成立，称函数与在上互为“函数”. f(g(x),g(f(x)f(x)g(x)HM(1)函数与在上互为“函数”，求集合; g(x),sinxf(x),2xHMxf(x),a(2)若函数(与在集合上互为“函数”.求证:; aa,0且1)g(x),x，1HMa,1*(3)函数与g(x)在集合且，上互为“函数”，当f(x),x，2M,x|x,1k,NHx,2k,3g(x),log(x，1)时,，且g(x)在(,1,1)上是偶函数.求函数g(x)在集合上的解析式. 0,x,1M2OB,(3,0)AB【文科】在平面直角坐标系中，点满足，且;点满足，xOyAA,(1,1)OA,(0,1)1nnnn，112n*且，其中( BB,(3,(),0)nN,nn，13A(1)求的坐标，并证明点在直线上; OAyx,，1n2(ABBAaa(2)记四边形的面积为，求的表达式; nnnn，11nn*PPa,Pa(3)对于(2)中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立,若存在，求 nN,nn的值;若不存在，请说明理由( - 7 - - 8 - 2012学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 2,9an,32arctan1. 2. 3. 4.【理科】;【文科】 5. 6.,1,0,1,3603n21310*,1() 7. 8.180 9. 10.3 11.【理科】【文科】 2n,N1052312.1 13. 14. ,2)1:14二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 16. 17. 18. B B D C 三(解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 443319.【解】(1)，2分 V,R,27,36,cmd,6cmR,3cm球3332 ，2分 cmV,R,h,，9，2,18,h,2圆柱3V，V 2分 cmV,36,，18,54,169.6球圆柱22(2)2分 S,4,R,4，,，9,36,cm球表2 2分 cmS,2,Rh,2，,，3，2,12,圆柱侧36，1248,2S, 1个“浮球”的表面积 ,m1441010482 2500个“浮球”的表面积的和 S,2500，,12,m2500410所用胶的质量为(克)2分 100，12,1200,3 答:这种浮球的体积约为;供需胶克. cm169.61200,20.【解】 A(1)由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为F(2,0)，准线为 x,2p2y,2px设方程为，其中，即p,42分 ,222Ay,8x所以动点的轨迹方程为2分 AB|AB|,|AF|(2)过作，垂足为,根据抛物线定义，可得2分 AB,ly BA - 9 - K F x ,2O 2 ,AFK 由于，所以是等腰直角三角形 AK,2AF2分 其中2分 |KF|,41所以2分 S,，4，4,8,AFK222221.【解】(1)在中，由余弦定理得，2分 a,b，c,2bccosA?ABC12 2分 48,36，c,2，c，6，(,)32即，解得2分 (c，6)(c,2),0c，4c,12,0c,2221AsinA, (2)由得为钝角，所以2分 cosA,033ab在中， 由正弦定理，得, ?ABCsinsinAB226，b,sinA63sinB,则2分 a3433BcosB,由于为锐角，则2分 3212cos212sin12 B,B,336322sin2B,2sinB,cosB,2, 333221224,2,(cos2B，sin2B),(,，),所以2分cos(2B,) 22336422.【理科】【解】(1)由已知条件得，,所以2分 OAAA,(1,1)AA,OAOA,(1,2)1212221AA,(1,1)OA,OA,(1,1)，则 nn，1n，1nx,x,1y,y,1设OA,(x,y)，则， n，1nn，1nnnnx,0，(n,1),1,n,1y,1，(n,1),1,n所以;2分 nn- 10 - A,(n,1,n)A即满足方程，所以点在直线上. 1分 yx,，1yx,，1nnA在直线上也可以用数学归纳法证明.) (证明yx,，1nA(n,1,n)(2)由(1)得 n2n 1分 BB,OB,OB,(3,(),0)nn，1n，1n3B(u,v) 设，则u,3，v,0 nnn11v,v,0v,0，所以 n，1nn22nn， 逐差累和得， u,u,3,()u,9(1,()，1nnn332n所以2分 B(9(1,(),0)n3设直线与轴的交点，则 yx,，1xP,1,0，nn，1，1212,aSSnn,，,1091109 ，,nPABPAB,nnnn，112323,，2*n,1a，2分 ,5，(n,2)()n,Nn32*n,1a(3)由(2)， ,5，(n,2)()n,Nn3nnn,11，2242n,aann,，,，,5152 2分 ，,nn，1,3333,，a,a,a,a,aa,a,a,？于是， 2分 123455671616p数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，P,5aaa,，56,n452727*a,p存在最小的自然数p,6，对一切都有成立.2分 nN,nf(x)g(x)f(g(x),g(f(x)【文科】22. 【解】(1)证明:函数与互为“函数“,则对于, 恒H,x,R成立.即a(mx，n)，b,m(ax，b)，n在上恒成立2分 R化简得amx，(an，b),amx，(bm，n)2分 所以当时f(g(x),g(f(x)即f(n),g(b)1分 an，b,bm，nf(x)g(x)(2)假设函数与互为“函数”则对于任意的 Hx,M- 11 - 22 恒成立.即对于任意恒成立2分. f(g(x),g(f(x)cosx,cosxx,2,2当时. x,0cos0,cos0,122不妨取则所以2分 x,1cos1,cos1cos1,cos1上函数与不是互为“函数”1分. 所以假设不成立在集合f(x)g(x)HMx，1x(3)由题意得，(且)2分 a,a，1a,0a,1xa(a,1),1 变形得，由于且 a,0a,111xx ，因为，所以，即2分 a,a,0,0a,1a,1a,1M,x|x,log(a,1),a,1x,log(a,1) 此时，集合2分 aa23.【解】(1)由得 f(g(x),g(f(x)2sinx,sin2x化简得，或2分 2sinx(1,cosx),0sinx,0cosx,1解得或，即集合2分 M,x|x,k,x,k,x,2k,k,Zk,Z(若学生写出的答案是集合M,x|x,k,k,Z的非空子集，扣1分，以示区别。) x，1x(2)证明:由题意得，(且)2分 a,a，1a,0a,1xa(a,1),1 变形得，由于且 a,0a,11xa, 2分 a,11x因为，所以，即2分 a,0,0a,1a,1(3)当，则，由于函数g(x)在(,1,1)上是偶函数 ,1,x,00,x,1g(x),g(,x),log(1,x)则 2g(x),log(1，|x|)所以当时， 2分 ,1,x,12MHf(x),x，2g(x)由于与函数在集合上“ 互为函数” f(g(x),g(f(x)所以当，恒成立, x,Mg(x)，2,g(x，2)x,(2n,1,2n，1)对于任意的()恒成立, n,N- 12 - 即2分 g(x，2),g(x),2, 所以gx，2(n,1)，2,gx，2(n,1),2即 g(x，2n),gx，2(n,1),2所以, g(x，2n),g(x)，2n当()时, x,(2n,1,2n，1)x,2n,(,1,1)n,Ng(x,2n),log(1，|x,2n|)2分 2所以当时， x,Mg(x),g(x,2n)，2n,g(x,2n)，2n,log(1，|x,2n|)，2n2分 2【文科】23、【解】(1)由已知条件得，,所以2分 OAAA,(1,1)AA,OAOA,(1,2)1212221，则 AA,(1,1)OA,OA,(1,1)nn，1n，1nx,x,1y,y,1设，则， OA,(x,y)n，1nn，1nnnnx,0，(n,1),1,n,1y,1，(n,1),1,n所以;2分 nn的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）A,(n,1,n)A即满足方程，所以点在直线上. 1分 yx,，1yx,，1nnA(证明在直线上也可以用数学归纳法证明.) yx,，1ntanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。A(n,1,n)(2)由(1)得 n2n 1分 BB,OB,OB,(3,(),0)nn，1n，1n3(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.B(u,v)u,3v,0 设，则， nnn11v,v,0v,0，所以 n，1nn0 抛物线与x轴有2个交点；22nn， 逐差累和得， u,u,3,()u,9(1,()，1nnn332n所以2分 B(9(1,(),0)n3和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.设直线yx,，1与x轴的交点，则 P,1,0，(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.nn，1，1212,aSSnn,，,1091109 ，,nPABPAB,nnnn，112323,，(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)- 13 - (6）三角形的内切圆、内心.2*n,1a，2分 ,5，(n,2)()n,Nn37.三角形的外接圆、三角形的外心。2*n,1a(3)由(2)， ,5，(n,2)()n,Nn33.确定二次函数的表达式：（待定系数法）nnn,11，2242n,aann,，,，,5152 2分 ，,nn，1,3333,，a,a,a,a,aa,a,a,？于是， 2分 123455671616p数列中项的最大值为，则,即最小的正整数的值为，所以，P,5aaa,，56,n452727*a,p存在最小的自然数，对一切都有成立.2分 p,6nN,n- 14 -