球体的表面积与体积学习教案

会计学1球体球体(qit)的表面积与体积的表面积与体积第一页，共36页。 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓所谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”。这样重复下去。这样重复下去，就达到了，就达到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”。这是世界。这是世界(shji)上最早的上最早的“极限极限”思想。思想。第1页/共36页第二页，共36页。球面球面(qimin)(qimin)：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球球( (即球体即球体(qit):(qit):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。它包括球面和球面所包围它包括球面和球面所包围(bowi)(bowi)的空间。的空间。半径是半径是R R的球的体积：的球的体积：推导方法推导方法：334RV 分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和复习回顾复习回顾第2页/共36页第三页，共36页。球心球心球的半径球的半径球的直径球的直径第3页/共36页第四页，共36页。v点集角度点集角度(jiod)球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。球面球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面。球体与球面的区别？球体与球面的区别？在在空间内空间内到一个定点的距离为定长的点的集合到一个定点的距离为定长的点的集合第4页/共36页第五页，共36页。0半圆以它的直径为旋转半圆以它的直径为旋转(xunzhun)轴旋转轴旋转(xunzhun)所成的曲面。所成的曲面。球体与球面球体与球面(qimin)的区别的区别？球面球面(qimin)概概念：念：球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。0ACD球心球心半半径径直径直径第5页/共36页第六页，共36页。半圆以它的直径半圆以它的直径(zhjng)为旋转轴旋转所成为旋转轴旋转所成的曲面（旋转体角度）的曲面（旋转体角度）球面球面(qimin)概概念：念：在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合(jh)（点集的角度）（点集的角度）第6页/共36页第七页，共36页。球的截面(jimin)的形状圆面圆面第7页/共36页第八页，共36页。球面球面(qimin)被经过球心的平面截得的圆被经过球心的平面截得的圆叫做大圆叫做大圆不过不过(bgu)球心的截面截得的圆叫做球的球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆第8页/共36页第九页，共36页。球的体积球的体积(tj)公式的推导公式的推导球的体积公式球的体积公式(gngsh)及应用及应用球的表面积公式球的表面积公式(gngsh)及及应用应用球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导l教学重点l教学难点化化为为准准确确和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割重点难点重点难点第9页/共36页第十页，共36页。球面被经过球心球面被经过球心(qixn)的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做大圆做大圆不过球心不过球心(qixn)的截面截得的圆叫做球的截面截得的圆叫做球的小圆的小圆第10页/共36页第十一页，共36页。R.34,32:33RVRV 从而从而猜测猜测半球半球? 半球半球V331RV 圆锥圆锥333RV 圆柱圆柱高等于底面半径高等于底面半径(bnjng)的旋转体体积对比的旋转体体积对比球的体积球的体积(tj)第11页/共36页第十二页，共36页。 学习球的知识要注意和圆的有关指示学习球的知识要注意和圆的有关指示(zhsh)结合起来结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法球的体积球的体积(tj) 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等第12页/共36页第十三页，共36页。当所分份数不断当所分份数不断(bdun)(bdun)增加时，精确程度就越来增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式法法导导出出球球的的体体积积公公式式下下面面我我们们就就运运用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n n部分，再求出每一部分的近似体积部分，再求出每一部分的近似体积(tj)(tj)，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积(tj)(tj)，最后考虑，最后考虑n n变为无穷大的情形，由半球的近似体积变为无穷大的情形，由半球的近似体积(tj)(tj)推出准确体积推出准确体积(tj)(tj)球的体积球的体积(tj)分割分割求近似和求近似和化为准确和化为准确和第13页/共36页第十四页，共36页。,21RRr ,)(222nRRr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示表示(biosh)(biosh)球球的体积的体积. .,)2(223nRRr AOB2C2球的体积球的体积(tj)AO第14页/共36页第十五页，共36页。OR)1( inR半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球 的 体 积球 的 体 积(tj)第15页/共36页第十六页，共36页。nininRnRrVii,2, 1,)1(1232 niinRRri,2, 1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6) 12() 1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的体积球的体积(tj)第16页/共36页第十七页，共36页。6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn时时当当.343233RVRV 从而从而半球半球334RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是球的体积球的体积(tj)第17页/共36页第十八页，共36页。2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为顶点便得到球心作为顶点便得到(d do)n(d do)n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, ,越接近于球越接近于球的体积的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面(qmin),(qmin),不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个个小块小块, ,每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似看小块平面面积之和可近似看作球的表面积作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n小块平面面积之和接近于甚至等小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积于球的表面积. . 球面球面(qimin)(qimin)不能展开成平面图形，所以求球的表面积不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公回忆球的体积公式的推导方法式的推导方法, ,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式球的表面积球的表面积第18页/共36页第十九页，共36页。oiS o球的表面积球的表面积第19页/共36页第二十页，共36页。第第一一步步：分分割割(f(fnngg) )球面被分割成球面被分割成n n个网格个网格(wn )(wn )，表面积分别，表面积分别为：为：nSSSS ,321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS 321则球的体积则球的体积(tj)(tj)为：为：iV 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面积球的表面积第20页/共36页第二十一页，共36页。第第二二步步：求求近近似似(j(jn n ss) )和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面积球的表面积第21页/共36页第二十二页，共36页。第第三三步步：化化为为准准确确(z(zhhnqnquu) )和和RSVii31 如果网格如果网格(wn )(wn )分的越细分的越细, ,则则: “: “小锥体小锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的体积为：又球的体积为：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 从而从而球的表面积球的表面积Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 第22页/共36页第二十三页，共36页。例例1.1.钢球直径钢球直径(zhjng)(zhjng)是是5cm,5cm,求求它的体积它的体积. .3336125)25(3434cmRV (变式变式1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,外径是外径是5cm,求它的求它的内径内径(ni jn).(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm2)例题例题(lt)讲解讲解第23页/共36页第二十四页，共36页。(变式变式1)一种空心钢球的质量一种空心钢球的质量(zhling)是是142g,外径是外径是5cm,求求它的内径它的内径.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm2)解解:设空心设空心(kng xn)钢球的内径为钢球的内径为2xcm,则钢球的质量则钢球的质量是是答答:空心空心(kng xn)钢球的内径钢球的内径约为约为4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由计算器算得由计算器算得:24. 2 x5 . 42 x例题讲解例题讲解第24页/共36页第二十五页，共36页。( (变式变式2) 2)把钢球放入一个把钢球放入一个(y )(y )正方体的有盖纸正方体的有盖纸盒中盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么球与正方体有什么(shn me)(shn me)位置关系位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体2215056cmS 侧侧侧棱长为侧棱长为5cm例题例题(lt)讲解讲解第25页/共36页第二十六页，共36页。例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个(gg)(gg)顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合合(chngh)(chngh)，则正方体对角线与球的直，则正方体对角线与球的直径相等。径相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例题例题(lt)讲解讲解第26页/共36页第二十七页，共36页。理论理论(lln)迁迁移移 例例3 3 如图，圆柱的底面直径与高都如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：等于球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23第27页/共36页第二十八页，共36页。.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例例4.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离等于的距离等于(dngy)球半径的一半，且球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积，表面积，表面积例题例题(lt)讲解讲解第28页/共36页第二十九页，共36页。OABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心(qixn)O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表，求球的体积，表面积面积解：如图，设球解：如图，设球O半径半径(bnjng)为为R，截面截面 O的半径的半径(bnjng)为为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例题例题(lt)讲解讲解第29页/共36页第三十页，共36页。2.一个正方体的顶点一个正方体的顶点(dngdin)都在球面上都在球面上,它的它的棱长是棱长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3323.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方一球切于正方体的各侧棱体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点(dngdin),求这求这三个球的体积之比三个球的体积之比_.1.球的直径伸长为原来球的直径伸长为原来(yunli)的的2倍倍,体积变为原来体积变为原来(yunli)的倍的倍.练习一练习一课堂练习课堂练习33:22:1第30页/共36页第三十一页，共36页。正方体的内切球直径正方体的内切球直径(zhjng)正方体的外接球直径正方体的外接球直径(zhjng)与正方体所有与正方体所有(suyu)棱相切的球直棱相切的球直径径探究探究 若正方体的棱长为若正方体的棱长为a，则，则aa3a2第31页/共36页第三十二页，共36页。4.4.若两球体积若两球体积(tj)(tj)之比是之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_._.练习练习(linx(linx) )二二2422:134:11.若球的表面积变为原来若球的表面积变为原来(yunli)的的2倍倍,则半径变为原来则半径变为原来(yunli)的的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.课堂练习课堂练习第32页/共36页第三十三页，共36页。7.7.将半径将半径(bnjng)(bnjng)为为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_._.5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. .15,5,36.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为48 ,48 ,它们它们(t men)(t men)大圆周长之大圆周长之和为和为12 ,12 , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_._.练习练习(linx(linx)二二课堂练习课堂练习 94 3312第33页/共36页第三十四页，共36页。l了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是一化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法种重要的数学思想方法极限思想，它是今极限思想，它是今后要学习后要学习(xux)(xux)的微积分部分的微积分部分“定积分定积分”内容的一个应用；内容的一个应用；l熟练掌握球的体积熟练掌握球的体积(tj)(tj)、表面积、表面积公式：公式：23434RSRV 课堂课堂(ktng)小小结结第34页/共36页第三十五页，共36页。课堂作业课堂作业习题习题(xt)9.11 P.74 5、6 、7、8预习小结与复习预习小结与复习P.75P.77第35页/共36页第三十六页，共36页。