不等式、推理与证明专题

不等式、推理与证明专题1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 押1 (正0.618 ,称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美22人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是非 1 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且2腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A. 165 cmC. 185 cmB. 175 cmD. 190 cm2 .【2019年高考全国III卷文数】记不等式组 x y 6,表示的平面区域为D.命题2x y 0p: (x, y) D,2x y 9 ;命题 q: (x, y) D,2xy 12 .下面给出了四个命题p q p q这四个命题中，所有真命题的编号是A.C.p qB.D.3.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮、一一 5E1. . 、一一度满足m-m=-lg -,其中星等为 mk的星的凫度为 Ek (k=1, 2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的 2E2星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A 1010.1B. 10.1C. lg10.1D, 10 10.14 .【2019年高考天津卷文数】设变量为A. 2C. 55 .【2019年高考天津卷文数】设 XA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .【2019年高考浙江卷】若实数A 1C. 107 .【2019年高考浙江卷】若 aA 充分不必要条件C 充分必要条件8 .【2018年高考北京卷文数】设集合A.对任意实数 a, (2,1) AC.当且仅当a0时，(2, 1)9 .【2018年高考天津卷文数】设 XA.充分而不必要条件C.充要条件x y 2x y 2x, y满足约束条件x1,y1,B. 3D. 6R ,则 “ 0 x 5 ” 是 “ | x0,0,，则目标函数z 4x y的最大值1| 1” 的x 3y 4x,y满足约束条件3x y 4x y 0B. 1D. 120,b 0,贝厂a b 4” 是B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A (x,y)|x y 1, ax y 4,x ayB.对任意实数a, (2, 1) .3A D.当且仅当a 时，(2,2* y *R ,则 “ x3 8 ” 是 “ |x | 2 ”的B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件0,则z 3x 2 y的最大值是ab 4 ”的2,则A1) A10.【2018年高考天津卷文数】设变量x, y满足约束条件x y 5,2x y 4,则目标函数z 3x 5y的最大值为 x y 1,y 0,A. 6B. 19C. 21D. 4511.【2017年高考天津卷文数】设x R ,则 “ 2 x 0” 是 “ |x 1| 1” 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2017 年高考天津卷文数】已知奇函数f(x)在R上是增函数.13.14.15.A.C.1f (log2-),b5【2017年高考全国A. 0C. 2f (log2 4.1),cf(20.8)，则 a,B. bD. CI卷文数】设x, y满足约束条件【2017年高考浙江卷】A. 0 , 6【2017年高考全国IIA 1516.【2017年高考全国IIC的大小关系为3y 3,y 1,则z=x+y的最大值为 0,y满足约束条件甲、你们四人中有2位优秀，2位良好,y2y0, 0z x 2y的取值范围是. 04x, y满足约束条件42x+3 y2x 3y y 30,0,则z 2x y的最小值是0,乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩17.【2017年高考北京卷文数】若 x, y满足 x3,y 2,则x 2 y的最大值为B.x,D.C. 518.【2017年高考山东卷文数】已知 x, y满足约束条件2y30,则z=x+2y的最大值是B. -1A -3C. 119.【2017年高考山东卷文数】 已知命题p： x R,0 ;命题q：若a2 b2,则abc,则a+bc”是假命题的 一组整数a, b, c的值依次为.34 .【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .该小组人数的最小值为 .44/35 .【2017年高考天津卷文数】若 a,b R , ab 0,则a4b1的最小值为 . ab36 .【2017年高考山东卷文数】若直线3 y 1g 0, b 0）过点（1,2），则2a+b的最小值为 . a b37 .【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是.38 .【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x, y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(I)用x, y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(n)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多?1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 押1 （正0.618 ,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美22人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是非 1 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且2腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A. 165 cmC. 185 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示 .依题意可知：AC .5 1 AB、,5 1CD 2 , BC 2腿长为105 cm得，即CD105,八、51八AC CD 64.892，B. 175 cmD. 190 cmAD AC CD 64.89 105 169.89,所以 AD169.89.头顶至脖子下端长度为 26 cm,即 AE26,BC -AB- 42.07, . 5 1AC=AB+BC68.07,ACCD 1 110.15,5 12AC+CD 68.07+110.15=178.22,所以 AD178.22.综上，169.89AD0, b0时，a b 2后当且仅当a b时取等号，则当a b 4时，有2Tab a b 4 ,解得ab 4 ,充分性成立；当a=1, b=4时，满足ab 4，但此时a+b =54 ,必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“ ab 4”的充分不必要条件.【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果8 .【2018年高考北京卷文数】设集合 A (x,y)|x y 1, ax y 4,x ay 2,则A.对任意实数 a, (2,1) AB.对任意实数 a, (2, 1) A3C.当且仅当a ?可彳#? ?求解绝对值不等式|? ?可得？? ?或？?是“ |?| ?的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.x y 5,2x y 4,10 .【2018年高考天津卷文数】设变量 x, y满足约束条件 则目标函数z 3x 5y的最大值为x y 1,y 0,A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】Cx y 5,2x y 4【解析】绘制不等式组y表小的平面区域如图所不，结合目标函数的几何意义可知目标函数x y 1,y 0在点A处取得最大值，联立直线方程得 x y 5 可得点a的坐标为a 2,3 ,据此可知目标函数x y 1的最大值为：zmax 3x 5y 3 2 5 3 21.本题选择C选项.【名师点睛】求线性目标函数z=ax+by(abw0)的最值，当b0时，直线过可行域且在 y轴上截距 最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在 y轴上截距最大时, z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.11.【2017年高考天津卷文数】设 x R,则“2 x 0”是“|x 1| 1”的A.充分而不必要条件C.充要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2 x 0,可得x 2 ,由| x 1| 1,可得1 x 1 1,即0 x 2,因为x0 x 2 x x 2 ,所以“ 2 x 0”是“ |x 1| 1的必要而不充分条件，故选 B.【名师点睛】判断充要关系的的方法：根据定义，若 p q,q / p,那么p是q的充分而不必要条件，同时q是p的必要而不充分条件，若 p q,那么p是q的充要条件，若p / q ,q / p,那那么p是q的既不充分也不必要条件； 当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若p：x A,q:x B,若A是B的真子集，那么 p是q的充分而不必要条件，同时 q是p的必要而不充分条件,若A B,那么p是q的充要条件，若没有包含关系，那么P是q的既不充分也不必要条件；命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q”的关系转化为“q是p”的关系进行判断.12【2017 年高考天津卷文数已知奇函数f(x)在R上是增函数.若1 0 8af(log2),bf(log2 4.1),c f(2D,贝Ua, b, c的大小关系为5A. a b cB. b a cC. c b aD. cab【答案】C1【解析】由题息可得 a f( log2-) f (log 2 5),且 log 2 5 log2 4.1 2, 1 202，所以50.8 log25 log2 4.1 2 ,结合函数的单调性，可得 f(log25) f (log 2 4.1) f (20.8),即a bc,即c b a.故选C.【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数， 借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用 函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式.x 3y 3,13.【2017年高考全国I卷文数】设x, y满足约束条件 x y 1,则z=x+y的最大值为 y 0,A. 0B. 1C. 2z x y经过A(3,0)时z取得最大值，故【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数Zmax 3 0 3 ,故选 D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围.14.【2017年高考浙江卷】若 x , y满足约束条件x 0x y 3 0,则z X 2y的取值范围是x 2y 0A. 0,6B. 0 , 4C. 6 ,)D. 4 ,)【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4,无最大值，选 D.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式Ax By C 0转化为y kx b (或y kx b), “ ”取下方，“ ”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、 分界线是实线还是虚线， 其次确定目标函数的几何意义， 是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2x+3y 3 0,15.【2017年高考全国II卷文数】设x, y满足约束条件 2x 3y 3 0,则z 2x y的最小值是 y 3 0,A15B.9C. 1D. 9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点B 6, 3处取得最小值，最小值为Zmin12 315 .故选A.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得16 .【2017年高考全国II卷文数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理3,y 2,则x 2 y的最大值为形式都正确的前提下）.17 .【2017年高考北京卷文数】若 X, y满足 Xy x,B. 3D. 9A. 1C. 5【解析】如图，画出可行域,z x 2y表示斜率为1 ,一的一组平行线，当z x 2y过点C 3,3时，目标函数取得最大值2Zmax3 2 3 9 ,故选 D.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求.常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如 z ax by .求这类目标函数的最值时常将函数z ax by转化为直线的斜截az z式：y ax -,通过求直线的截距一的最值间接求出z的最值；（2 ）距离型：形如 bbb22y b 一，z x a y b ； （3）斜率型：形如 z ,而本题属于截距形式.x ax 2y 5 018.【2017年高考山东卷文数】已知x,y满足约束条件x 3 0，则z=x+2y的最大值是y 2A. -3【解析】画出约束条件x 2y 5 0x 3 0 表示的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线 x 2y 0,可y 2知当其经过直线x 2y 5 0与y2的交点（1,2）时，z x 2y取得最大值，为Zmax1 2 2 3，故选 D.工十3二0-3-【名师点睛】（1）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点，并代入不等式 （组）.若满足不等式（组，则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点.（2）利用线性规划求目标函数最值的步骤：画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线并将其平移经过可行域，找到最优解；将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.19.【2017年高考山东卷文数】已知命题p：xR,x2x 1 0；命题q：若a2 b2,则a ?亘成立，结合基本不等式的结论可得：？?+ ?n ?x, ?x ?= ?X7?=?当且仅当 ?浴？?？，即 ?= ?时等号成立.?- ?= ?= -?综上可得？?+ ?的最小值为?【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式:a,b R,a2 b2 2ab ,当且仅当a b时取等号;a,b R , a b 2而,当且仅当a b时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”.31 .【2018年高考江苏卷】在 4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC的平分线交AC于点D,且BD 1 ,则4a c的最小值为 .【答案】9?【解析】由题意可知，？么?=? ? ? ?由角平分线性质和二角形面积公式得-?x ?x ?bc,则a+bc”是假命题的一组整数 a, b, c的值依次为 .【答案】-1, -2, -3 (答案不唯一)【解析】123, 1233,矛盾，所以-1, -2, -3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反 例进行验证，答案不唯一.【2017年高考北京卷文数】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i )男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 .该小组人数的最小值为 .【答案】6 12【解析】设男生人数、女生人数、教师人数分别为a、b、c,*则 2c a b c, a, b, c N .8ab 4 bmax 6, 3,6 a b 3 a 5,b 4 a b c 12.【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理，题目设计巧妙，解题时要抓住关键逐步推断，本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件4 435.【2017年高考天津卷文数】若 a,bR , ab 0 ,则a一竺一1的最小值为ab【答案】44 ,I 4,解析a一4b-1 ab2 24a b 1ab,.14ab ab2 J4ab 4,(前一个等号成立的条件是 , ab22a 2b ，后一个等号成立的条件是1 一 ab 一,两个等号可以同时成立，当且仅当2,2 b2、.万2 ,4时取等号)._22 一. 一 .a,b R,a b 2ab ,当且仅【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：当a b时取等号；a,b R , a b 2 Jab ,当且仅当a b时取等号.解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”.36 .【2017年高考山东卷文数】若直线个y 1（a 0, b 0）过点（1,2），则2a+b的最小值为 . a b【答案】8【解析】由直线-y 1（a 0, b 0）过点（1,2）可得1 2 1, a ba b所以2a b （2a b）（1 2） 4 - 4a 4 2心丝8.当且仅当B丝，即b 4,a 2时 a b a ba ba b等号成立.【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正” “二定” “三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时 ，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.在 利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形 ，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不 等式.37 .【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是.【答案】30【解析】总费用为4x 600 6 4（x 900） 4 2痴0 240,当且仅当x 900 ,即x 30时等 xxx号成立.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值 ）、“等”（等号取得的条件） 的条件才能应用，否则会出现错误.38 .【2017年高考天津卷文数】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知 每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x, y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（I）用x, y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;（n）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多?【答案】（I）见解析；（II）见解析.【解析】（I）由已知,70x 60y 6005x 5y 307x 6y 60 x y 6x, y满足的数学关系式为x 2y，即x 2y 0x Nx Ny Ny N1中阴影部分内的整点（包括边界）该二元一次不等式组所表示的平面区域为图2 1 4 5（图2）（n）设总收视人次为 z万，则目标函数为 z 60x 25y.12考虑z 60x 25y,将它变形为y x5z12一，这是斜率为 一，随z变化的一族平行直线.255二为直线在y轴上的截距，当25三取得最大值时，z的值最大.25又因为x,y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z 60x 25y经过可行域上的点 M时，截距-z最25大，即z最大.7x 6y 60,解方程组得点M的坐标为（6,3）,x 2y 0,所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求，其关键是准确作出可行域， 理解目标函数的几何意义.常见的目标函数有： 截距型：形如z ax by,y ax z