线性规划的实际应用

.第七届新世纪杯参评论文研究性学习线性规划的实际应用*一中高二数学备课组： 吉学静、牛美娜、庞 湃、 何 强、春晓、俊山、 顾假设政、董 楠、付善林申报人：*一中高二数学备课申报学科：数学学科 联系方式： *一中高二数学备课组研究性学习线性规划的实际应用 高二备课组：吉学静、牛美娜、庞湃、何强、春晓、俊山、顾假设政、董楠、付善林摘要本文是在学生掌握简单的线性规划知识的根底上，结合教材课程安排布置数学研究性学习作业，目的是对*些数学问题的探讨或者从数学角度对*些日常生活中和其它学科中出现的问题进展研究，充分表达教育新理念以学生开展为本，调动学生自主学习的积极性和团结协作的意识，使学生注意体验数学活动的过程，以培养学生的创新精神和应用能力。序言：研究性学习与实习作业：线性规划的实际应用是在学习了简单的线性规划之后，安排的一节研究性的活动和实习课。这是高二上的一节研究性活动课，表达出它的独特地位。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,是一门研究如何使用最少的人力，物力去最优地完成任务，它是解决科学研究、工程设计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问题的专门科学。由于它可以为我们提供最符合经济原则的科学工作方法，因此在当前知识经济的潮流中，能发挥出越来越重要的作用。虽然中学数学讲的线性规划是一些简单初步的知识，但在实际工作中的很多地方都能找到它的应用。按照教材的课程安排，我们结合学生的实际情况让高二年级同学充分利用十一长假的时机进展社会实践，又通过学生自主学习，通过报刊、书籍及其它媒体获取有关资料确定研究主题，用线性规划的知识，在实际问题中提炼数学模型进展分析，独立或合作写出的研究报告。目的在于启发学生体会和领悟其中的数学思想和方法,提高学生的综合素质、能力和培养学生树立知识的纵横联系、穿插、融合、渗透的学习意识,提高学生用数学知识解决实际问题的能力。一、设置情境线性规划问题研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值问题， 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下如何使用它们来完成最多的任务；二是如何合理安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。常见的线性规划应用问题有物资调运问题、产品安排问题、下料问题以及和相关数学知识的整合问题。二、确定问题研究性课题学习的关键是确定研究专题，研究专题确实定有两种模式：一是从学生生活和社会生活中选择和确定研究专题；二是创设问题情境由课堂教学直接切入课题，后一种模式是研究性课题开展的常用方法。建议各小组以物资调运问题、产品安排问题和下料问题等几个常见问题为主，也可以根据各小组的实际自拟课题。三、拟定方案解决线性规划应用问题可以按照下面的步骤完成：实际调查；采集数据；分析条件；确定目标函数；讨论最正确方案；进展检验。四、执行方案要求各小组部成员分工明确，团结协作，通过实践、调研，写出实习报告或论文。以学生自主探究活动为主，最后各小组进展交流。下面介绍几组有代表性的活动。小组一：走出课堂，到实际生活中去，用线性规划的知识解决实际问题。该小组在假期中走访了西青区花卉种植人大民，并向他了解了相关数据，目的是为了帮助他获取最大利润。调查结果如下：鲜花店向大民预定两种花卉百合、玫瑰。其中每株收购价百合为4元,玫瑰为3元,鲜花店需要百合在11001400株之间,玫瑰在8001200株之间,大民只有资金5000元, 要去购置良种花苗, 在自家90的温室中培育,每株苗价百合为2.5元,玫瑰为2元,由于百合与玫瑰生长所需采光条件的不同,百合每株大约占地0.05，玫瑰每株大约占地0.03，应如何配置才能使大民获利最大数学建模：设种百合* 株,玫瑰y 株,则2. 5 * + 2 y 50000. 05 * + 0. 03 y 901100 * 1400800 y 1200目标函数(即获利)z = (4 - 2. 5) * + (3 - 2) y = 1. 5 * + y.求解问题:通过作图可知,当直线l 过M点时,即* = 1200 , y = 1000时, z取得最大值Zma*= 1. 5 1200 + 1000 = 2800 (元) 。所以,种百合1200株,玫瑰1000株时,大民获利最大。讨论验证：在不考虑种植物所用劳力差异和其他经济投入的情况下,与实际完全符合(已回访了大民) 。师生评析：种植经济作物是农民致富的有效途径,但根据市场需求和个人资源情况,合理安排是非常关键的问题，该组同学从实际出发,为花卉养植户大民研究规划了一条有效的致富方案。小组二：研究的是线性规划实际应用的整数解问题,由于生活中常常涉及人数、商品个数等问题，而整点问题又是线性规划中的难点,所以该小组在现有知识的根底上总结出确定整数解的几种方法。1平移直线法：先在可行域打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解。2检验优值法：当可行域整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比拟得出最优解。3调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解。下面具体阐述一下实际问题中如何确定整数解的。可以利用为整数的条件，逐步缩小可行域来确定整数解。 例如：*运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员。在建筑*段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务。每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的本钱费为A型卡车160元，B型卡车252元。每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆公司所花的本钱费最低？解：设每天出动A型车辆，B型车辆，公司所花的本钱为元，则，以上约束条件可简化为 且，其中是整数。作出可行域如图1， 在可行域中，点B使取得最小值，但点的坐标不是整数，而最优解中，必须都是整数，所以可行域中点B不是最优解，图1图2作直线得可行域如图2得为最优解，但不是整数，所以作直线得可行域如图3图3 图4得为最优解，但不是整数。所以作直线，得可行域如图4得为最优解，因为5和2都是整数，所以E点为最优解，当，取最小值1304答：每天出A型车5辆，B型车2辆，公司所花的本钱费最低，为1304元。除了课本中介绍的图解法以外，还可以利用不定方程的知识来求整数解。例如：*人有楼房一座，室面积共有180平方米，拟分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元，小房间每间面积15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修。且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益。解：设隔出大房间间，小房间间时收益为元，则满足作出可行域略，作直线即把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点B时，与原点距离最大，此时取得最大值，解方程组得点B的坐标为，由于B的坐标不是整数，而最优解中，必须都是整数，所以可行域的点B不是最优解。B点坐标代入得，所以令，代回约束条件得无解；再令，代回约束条件得，又因为，所以得最优解为0，12和3，8，此时的最大值是36，最大利润是1800元。这是课本中的习题,用图解法解决时,容易丢一组解，而选择调整优值法，即可防止丢解问题。师生评析：三种确定整点的方法中，方法一要求准确的作图，方法二需要大量的计算，方法三则需要一定的不等式及不定方程的知识，三种方法各有利弊，在实际问题中要结合具体情况，选择恰当的方法。小组三：研究线性规划问题的数学模型从建构数学模型的角度出发，把数学应用问题的解决分成几个步骤：辨识模型、分析模型、建立模型、解决模型、验证模型。该小组以第一届市高中数学知识应用竞赛试题为例，研究线性规划的数学建模。试题如下：*村一农民承包了100亩中低产地，土地租赁费50元/年亩，农业税60元/年亩，根据当年气候条件，可以种植小麦，玉米，花生，其种植周期是：10月份秋天收玉米后可种冬小麦，第二年6月夏天收割小麦后可种玉米，10月份收割玉米，4月份种花生，10月份收花生，后可种冬小麦，有关冬小麦、花生、玉米三种作物的收支价格及产量如下表：农作物耕地元/亩播种元/亩浇水元/亩收割元/亩化肥元/亩农药种植元/亩种籽元/亩中耕元/亩亩产元/亩售价元/亩冬小麦1410664511123003001.68夏播玉米14100458119104001.23春播花生1410087845602503.10这位农民每年必须完成2000kg小麦公粮，每年留足1000kg口粮，另外根据市场预测，1996年花生种植面积不宜超过20亩，1997年不宜再种花生，试问：这位农民应如何安排从1995年10月秋种至1997年10月秋收的两年生产方案，他既能完成公粮征购任务，又能留够口粮，并在100亩土地上取得对大收益？为了便于计算，不妨假设从1995年至1997年各种作物价格不变，产量也不变，并且不计承包人自己的工资，假定卖公粮价与卖余粮价一样.此问题第一步：承包两年土地共需缴纳土地租用费和农业税第二步：根据给出数据计算出每种作物收支费用表如下：工程冬小麦玉米花生毛收益504492775开支278170170纯收益226322605第三步：两年只能有以下两种种植模式通过讨论得到的结论：方案一：1995年种植冬小麦夏收完种玉米秋收后种植冬小麦夏收完再种玉米1997年秋收玉米;方案二：1995年不种1996年春种花生秋收后种小麦夏收后再种玉米1997年秋收玉米;按方案一，每亩地里两年纯收入1096元/亩；按方案二，每亩地两年纯收入1153元/亩第四步：算最优解设方案一 种亩，方案二种亩，总收入元其中约束条件第五步：列可行域略第六步：求得最优解 =80,=20时 可取最大收益最值尽管这道题的模型框架还很粗糙，但能感受到线性规划在解决实际问题中的重要作用。师生评析：在解决线性规划等这类具有很深实际生活背景的问题中，有两类棘手的问题：其一是不容易将一个动态开放多元化的现实问题系统，转化为定量定性问题系统，也就是将实际问题转化为数学问题的能力还有欠缺；其二是应用问题的解决需要较强的阅读理解能力，而这一点恰恰是课堂学习的一个盲点，如果不能对应用问题进展有效的阅读，就不能做到有层次地完成文字语言到数学符号语言的转化。这也是我们在教与学过程中要着手解决的问题。小组四：研究线性规划和相关数学知识的整合该小组将线性规划与其它数学知识进展整合，表达了线性规划的工具作用，同时从几个侧面表达了数学容的丰富多彩。与方程综合:方程存在实根，求的最小值.分析：由题意知且，点所在区域如下图： 由图知的最小值是点2，0到直线的距离即所以=将等价变形为，从而借助它的几何意义解题。与计数问题综合:三角形的三边长皆为整数，最大边长为8，试求所有满足这些条件的三角形的个数.分析：设另两边的边长分别为，且不妨设，则满足约束条件： 根据图中阴影局部的整点个数为20，因而满足条件的三角形的个数共有20个。将三角形的边长应满足的条件会聚到一起，自然联想到应用线性规划这个数学工具加以解决。与不等式综合: 二次函数，设方程的两个根为和.1如果，且函数的对称轴为，求证：2如果，求的取值围证明：1设，则为方程=0的两根，由题意的，即，如图，做出其表示的平面区域，其中，题设目标是证明，即，设目标函数。而表示可行域的点与坐标原点连线的斜率，由可行域知，故 2 又 同号且 当 时，由，得，故，因此方程的两根分布在区间、，此时情形同1，而表示可行域点的纵坐标，由可行域知当时，由，得，故。因此方程的两根分布在区间，所以有，即 如右图，做出上述约束条件的平面区域，其中，由图象可知可行域点的纵坐标均大于，故与函数综合:函数在区间上是减函数，求的最大值。分析：这是线性规划与导数知识的整合，设，由题意知：在上恒成立，所以，且，列出不等式组，由图知点所在的区域可求得点，所以的最大值是师生评析：以上几个例题，利用线性规划的知识，表达出线性规划思想的独特解题功能和应用的广泛性。线性规划解决问题的数学思想从本质上讲就是数形结合的思想，利用线性规划的直观性、灵活性，将代数信息转化为图形信息，联系数学各分支的知识，加深对数学各分支知识的理解，提高解决综合问题的能力。最后的几点思考：1、这是一次开放式教学的成功体验, 打破了以往封闭的教学模式,把数学与生活相联系, 挖掘了学生潜力, 这些成果和学生能力的展现是始料未及的。2、实践了正如弗赖登塔尔倡导的数学化,即训练学生以数学的眼光观察和分析事物的能力;把数学应用题的教学着眼点放在培养学生用数学的意识与用数学的能力上。3、学生深刻体验了从实际问题建模解模验模的真实情景, 涉及到了人员安排、资源配置、企业的效益等诸多问题,为单位或个人研究规划了一些可行方案, 得到了一致好评。激发了学生学习数学的兴趣,感受到了数学应用的成功喜悦,意识到了数学的价值,增强了环保意识、市场经济意识、优化意识和创新意识。丰富了学生的综合知识,培养了学生的合作意识、团队精神和社会责任感与使命感。4、在研究性学习的过程中，学生也发现了一些目前不能解决的问题：比方多元线性规划问题；非线性规划的实际问题如何向线性规划转化，如何使运算结果与实际误差更小。尤其是在解决多元线性规划问题时，需要使用单纯型法，而这些是在大学阶段学生才有可能接触到的，学生目前知识有限，于是便留下了疑问，也给了学生思考和探索的空间。有些学生在对单纯型法研究的同时，也了解到了线性规划的相关解决方法，如椭球法、点法等等，增进了对数学史方面的了解。5、对数学应用题的教学，应结合学生实际和教材安排分层次推进, 把数学应用和建模与正常教学相结合, 课与课外相结合,活动课和假期适当安排一些调查研究课题,开展一定数量的数学应用成果交流活动。参考文献1 纪晓福 著运筹学 *人民2000.22 吴长江 著高中数学应用性问题 大学 2005.33 苟玉德 军线性规划思想解题例说数学教学 , 2005.104 芹线性规划和其它知识的整合中学数学研究 ,2005.10.