影院座位设计优化模型

影院座位设计优化模型下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。影院座位设计优化模型吕华军 陈 霞 曹智芳摘 要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角与仰角关于地板线倾角的数学模型。并通过、等软件，利用求极值的方法解答了问题一，得当倾角为时，最佳座位在处。对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成排，得出排与排之间的距离是，对每排观众的视角和仰角进行求和，得出视角和仰角的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当为时，观众的平均满意度最大。此外，在角不超过的前提下我们还对地板线的设计进行改进（将第一排座位抬高），通过方程组（7）的解答，可得到最佳的地板线设计，进一步提高观众的满意度。我们还对模型进行了误差分析，若越大，模型的精确度就越高。关键词： 座位设计 仰角 视角 平均满意度一、问题的重述下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、模型假设1、 假设观众的座高是一致的；2、 影院排与排之间的距离相等；3、 观众的平均满意度只取决于视角和仰角，其他因素忽略不计；4、 假设屏幕的长度与座位的排长相等；5、 把观众的眼睛看作一个点。三、变量与符号说明变量含 义单位视角（观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角）度仰角（观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角）度观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角度地板线倾角度屏幕高度米上边缘距地面的高度米第一排与屏幕的水平距离米最后一排与屏幕的水平距离米观众平均座高米第排观众的视角度第排观众的仰角度 观众平均满意程度座位的横坐标座位的纵坐标四、模型建立根据题目所给数据和图形，运用初等数学中三角形正切的知识，建立了视角和仰角的数学模型： 五、模型的求解1、 问题一的解答在这个问题中，我们的目标是当地板线倾角时，求座位的最佳位置，而影响座位的因素主要取决于视角和仰角，越大越好，不超过，因此得目标函数如下： 用软件求出，所以，即最佳位置在处。2、 问题二的求解我们将影院座位平均分成份，可以算出排与排的距离为，其中第排座位的横坐标：。第排座位的视角第排座位的仰角。我们的目标是使观众的平均满意度最高，而平均满意度主要取决于视角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我们就得到下列关系式： 我们取，即影院共分成20排，得出当时，观众的平均满意度最大。3、 对于问题三的回答通过模型求出第一排的视角为，仰角为。我们通过仰角的降低来实现观众满意程度的提高，即采取提高第一排的方式来降低观众的仰角，将地板线近似地看作以为交点的两条直线，作直角坐标系，假设为最后一排座位。（如上图）： ： 求设计地板线形状转化为求直线、的方程式。若影院共有排位置，则任意两排位置在横坐标上的间距，排位置为最低的那一排。令在排位置之前有排座位，即各排座位为，令过点、的直线斜率为，由题意可得若要使排的观众不挡住排观众的视线，只要满足即可，且可推得当时可满足。则 （1）令点，由直线过点,，可得： （2）令在之后有排座位，令过的各直线斜率为，若要使前面的排座位不挡住排位置的视线，只要即可。又由、得，只要即可得。 由，各排间距得在直线上的第一排位置 即： （3） 由：，得： （4） 将（2）、（4）两式代入（3），且综合上述得： （5）题意中仰角，且在第三象限，得。不难得到，在处的仰角大于等于在处的仰角，也大于在处的仰角，即第一排（）的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得： （6）综合上述（1）、（5）、（6）式，得不等式组： （7）由该不等式组可解得一个含有定量的最佳值，通过运算即可得、的关系式。六、模型的评价与推广模型有以下优点： 模型在建立过程中充分考虑到观众平均满意度的特殊性（假设屏幕的长度与影院的宽度一致），即选取其中的一列，得出最佳地板线倾角；利用软件编程进行求解，所得结果误差小；该模型简单易懂，对生活有很强的指导意义；模型有以下缺点：由于我们是将座位分成排，计算时取的值会造成一些误差，但只要我们把的值取足够大，误差会更小。利用该模型我们可以设计家里电视机摆放的高度，看电视时的最佳座位；教室座位设计等等。参考文献：1卢向南.应用运筹学M.浙江大学出版社.2005.22蔡锁章.数学建模原理与方法M.海洋出版社.2000.63美 、 .离散事件系统模拟.清华大学出版社.1988.34冯德益 楼世博.模糊数学方法与应用.地震出版社.1983.7影院座位设计优化模型下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。影院座位设计优化模型吕华军 陈 霞 曹智芳摘 要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角与仰角关于地板线倾角的数学模型。并通过、等软件，利用求极值的方法解答了问题一，得当倾角为时，最佳座位在处。对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成排，得出排与排之间的距离是，对每排观众的视角和仰角进行求和，得出视角和仰角的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当为时，观众的平均满意度最大。此外，在角不超过的前提下我们还对地板线的设计进行改进（将第一排座位抬高），通过方程组（7）的解答，可得到最佳的地板线设计，进一步提高观众的满意度。我们还对模型进行了误差分析，若越大，模型的精确度就越高。关键词： 座位设计 仰角 视角 平均满意度一、问题的重述下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过。(1) 地板线倾角，问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过），使所有观众的平均满意程度最大。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、模型假设6、 假设观众的座高是一致的；7、 影院排与排之间的距离相等；8、 观众的平均满意度只取决于视角和仰角，其他因素忽略不计；9、 假设屏幕的长度与座位的排长相等；10、 把观众的眼睛看作一个点。三、变量与符号说明变量含 义单位视角（观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角）度仰角（观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角）度观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角度地板线倾角度屏幕高度米上边缘距地面的高度米第一排与屏幕的水平距离米最后一排与屏幕的水平距离米观众平均座高米第排观众的视角度第排观众的仰角度 观众平均满意程度座位的横坐标座位的纵坐标四、模型建立根据题目所给数据和图形，运用初等数学中三角形正切的知识，建立了视角和仰角的数学模型： 五、模型的求解4、 问题一的解答在这个问题中，我们的目标是当地板线倾角时，求座位的最佳位置，而影响座位的因素主要取决于视角和仰角，越大越好，不超过，因此得目标函数如下： 用软件求出，所以，即最佳位置在处。5、 问题二的求解我们将影院座位平均分成份，可以算出排与排的距离为，其中第排座位的横坐标：。第排座位的视角第排座位的仰角。我们的目标是使观众的平均满意度最高，而平均满意度主要取决于视角和仰角，把每一排的相加再除以就得到，把每一排的相加再除以就得到，于是我们就得到下列关系式： 我们取，即影院共分成20排，得出当时，观众的平均满意度最大。6、 对于问题三的回答通过模型求出第一排的视角为，仰角为。我们通过仰角的降低来实现观众满意程度的提高，即采取提高第一排的方式来降低观众的仰角，将地板线近似地看作以为交点的两条直线，作直角坐标系，假设为最后一排座位。（如上图）： ： 求设计地板线形状转化为求直线、的方程式。若影院共有排位置，则任意两排位置在横坐标上的间距，排位置为最低的那一排。令在排位置之前有排座位，即各排座位为，令过点、的直线斜率为，由题意可得若要使排的观众不挡住排观众的视线，只要满足即可，且可推得当时可满足。则 （1）令点，由直线过点,，可得： （2）令在之后有排座位，令过的各直线斜率为，若要使前面的排座位不挡住排位置的视线，只要即可。又由、得，只要即可得。 由，各排间距得在直线上的第一排位置 即： （3） 由：，得： （4） 将（2）、（4）两式代入（3），且综合上述得： （5）题意中仰角，且在第三象限，得。不难得到，在处的仰角大于等于在处的仰角，也大于在处的仰角，即第一排（）的仰角大于其它任何一排的仰角，即可得： （6）综合上述（1）、（5）、（6）式，得不等式组： （7）由该不等式组可解得一个含有定量的最佳值，通过运算即可得、的关系式。六、模型的评价与推广模型有以下优点： 模型在建立过程中充分考虑到观众平均满意度的特殊性（假设屏幕的长度与影院的宽度一致），即选取其中的一列，得出最佳地板线倾角；利用软件编程进行求解，所得结果误差小；该模型简单易懂，对生活有很强的指导意义；模型有以下缺点：由于我们是将座位分成排，计算时取的值会造成一些误差，但只要我们把的值取足够大，误差会更小。利用该模型我们可以设计家里电视机摆放的高度，看电视时的最佳座位；教室座位设计等等。参考文献：1卢向南.应用运筹学M.浙江大学出版社.2005.22蔡锁章.数学建模原理与方法M.海洋出版社.2000.63美 、 .离散事件系统模拟.清华大学出版社.1988.34冯德益 楼世博.模糊数学方法与应用.地震出版社.1983.7