2年中考1年模拟备战2018年中考数学 第四篇 图形的性质 专题18 等腰三角形与直角三角形（含解析）

第四篇 图形的性质专题18 等腰三角形与直角三角形 解读考点知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理2年中考【2017年题组】一、选择题1（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A2cmB4cmC6cmD8cm【答案】A【解析】试题分析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为1022=6（cm），2+26，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（102）2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A考点：1等腰三角形的性质；2三角形三边关系；3分类讨论2（2017天津）如图，在ABC中，AB=AC，AD、CE是ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）ABCBCECADDAC【答案】B【解析】考点：1轴对称最短路线问题；2等腰三角形的性质；3最值问题3（2017山东省淄博市）如图，在RtABC中，ABC=90，AB=6，BC=8，BAC，ACB的平分线相交于点E，过点E作EFBC交AC于点F，则EF的长为（）ABC D【答案】C【解析】考点：1相似三角形的判定与性质；2角平分线的性质；3等腰三角形的判定与性质；4综合题4（2017湖北省武汉市）如图，在RtABC中，C=90，以ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A4B5C6D7【答案】D【解析】试题分析：如图：故选D 考点：1等腰三角形的判定与性质；2分类讨论；3综合题；4操作型5（2017湖北省荆州市）如图，在ABC中，AB=AC，A=30，AB的垂直平分线l交AC于点D，则CBD的度数为（）A30B45C50D75【答案】B【解析】考点：1等腰三角形的性质；2线段垂直平分线的性质6（2017湖北省鄂州市）如图，ABCD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA若CAE=30，则BAF=（）A30B40C50D60【答案】D【解析】考点：1平行线的性质；2等腰三角形的性质7（2017贵州省毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF=45，将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，则下列判断不正确的是（）AAEE是等腰直角三角形BAF垂直平分EECEECAFDDAEF是等腰三角形【答案】D【解析】试题分析：将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，AE=AE，EAE=90，AEE是等腰直角三角形，故A正确；将ABE绕点A顺时针旋转90，使点E落在点E处，EAD=BAE，四边形ABCD是正方形，DAB=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAD+FAD=45，EAF=EAF，AE=AE，AF垂直平分EE，故B正确；AFEE，ADF=90，FEE+AFD=AFD+DAF，FEE=DAF，EECAFD，故C正确； ADEF，但EAD不一定等于DAE，AEF不一定是等腰三角形，故D错误；故选D考点：1旋转的性质；2线段垂直平分线的性质；3等腰三角形的判定；4等腰直角三角形；5正方形的性质；6相似三角形的判定8（2017辽宁省营口市）如图，在ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作RtADC，若CAD=CAB=45，则下列结论不正确的是（）AECD=112.5BDE平分FDCCDEC=30DAB=CD【答案】C【解析】FEC=B=67.5，FED=22.5，DEC=FECFED=45，故C错误，符合题意；RtADC中，ADC=90，AD=DC，AC=CD，AB=AC，AB=CD，故D正确，不符合题意故选C考点：1三角形中位线定理；2等腰三角形的性质9（2017广西河池市）已知等边ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DEAC于点E，过E作EFBC于点F，过F作FGAB于点G当G与D重合时，AD的长是（）A3B4C8D9【答案】B【解析】试题分析：设AD=x，ABC是等边三角形，A=B=C=60，DEAC于点E，EFBC于点F，FGAB，ADF=DEB=EFC=90，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4，AD=4故选B考点：1等边三角形的性质；2含30度角的直角三角形；3动点型10（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由位置滚动到位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A240B360C480D540【答案】C【解析】考点：1三角形的内切圆与内心；2等边三角形的性质；3旋转的性质11（2017天门）如图，P（m，m）是反比例函数在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边PAB，使AB落在x轴上，则POB的面积为（）ABC D【答案】D【解析】考点：1反比例函数系数k的几何意义；2反比例函数图象上点的坐标特征；3等边三角形的性质12（2017内蒙古包头市）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A B C D【答案】A【解析】考点：1相似三角形的判定与性质；2勾股定理；3角平分线的性质；4综合题13（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME交AD的延长线于点E若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A18BC D【答案】B【解析】试题分析：四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，MC=125=7MEAM，AME=90，AMB+CMG=90AMB+BAM=90，BAM=CMG，B=C=90，ABMMCG，即，解得CG=，DG=12=AEBC，E=CMG，EDG=C，MCGEDG，即，解得DE=故选B考点：1相似三角形的判定与性质；2勾股定理；3正方形的性质14（2017山东省聊城市）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【解析】考点：等腰直角三角形15（2017江苏省无锡市）如图，ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2BCD【答案】D【解析】试题分析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC=，故选D考点：1翻折变换（折叠问题）；2直角三角形斜边上的中线；3勾股定理16（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A0.7米B1.5米C2.2米D2.4米【答案】C【解析】考点：勾股定理的应用17（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A3B4C5D6【答案】C【解析】试题分析：如图所示，=21，大正方形的面积为13，2ab=2113=8，小正方形的面积为138=5故选C考点：勾股定理的证明18（2017辽宁省大连市）如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）ABC D【答案】B【解析】考点：直角三角形斜边上的中线19（2017辽宁省营口市）如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A4B5C6D7【答案】B【解析】考点：1轴对称最短路线问题；2等腰直角三角形；3最值问题20（2017辽宁省葫芦岛市）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C处，点B落在点B处，其中AB=9，BC=6，则FC的长为（）AB4C4.5D5【答案】D【解析】试题分析：设FC=x，则FD=9x，BC=6，四边形ABCD为矩形，点C为AD的中点，AD=BC=6，CD=3在RtFCD中，D=90，FC=x，FD=9x，CD=3，FC2=FD2+CD2，即x2=（9x）2+32，解得：x=5故选D考点：1矩形的性质；2勾股定理21（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，A=C=90，B=60，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是 （）AB3CD4【答案】A【解析】考点：1勾股定理；2含30度角的直角三角形；3解直角三角形二、填空题22（2017吉林省长春市）如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”此图案的示意图如图，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，ABF、BCG、CDH、DAE是四个全等的直角三角形若EF=2，DE=8，则AB的长为 【答案】10【解析】考点：勾股定理的证明23（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），BAC=90，AB=AC，直线AB交x轴于点P若ABC与ABC关于点P成中心对称，则点A的坐标为 【答案】（2，3）【解析】试题分析：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得：BC=4由BAC=90，AB=AC，得AB=，ABD=45，BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得：，解得：，AB的解析式为y=x1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得xA=2xPxA=24=2，yA=2yAyA=03=3，A（2，3）故答案为：（2，3）考点：1坐标与图形变化旋转；2等腰直角三角形24（2017四川省乐山市）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是 【答案】【解析】考点：勾股定理25（2017山东省东营市）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺【答案】25【解析】考点：1平面展开最短路径问题；2勾股定理的应用；3压轴题；4转化思想26（2017山东省青岛市）如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD若BAD=58，则EBD的度数为 度【答案】32【解析】试题分析：ABC=ADC=90，点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，BAD=58，DEB=116，DE=BE=AC，EBD=EDB=32，故答案为：32考点：直角三角形斜边上的中线 27（2017江苏省徐州市）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为 【答案】【解析】考点：1等腰直角三角形；2规律型；3综合题28（2017河南省）如图，在RtABC中，A=90，AB=AC，BC=，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B始终落在边AC上，若MBC为直角三角形，则BM的长为 【答案】或1【解析】试题分析：如图1，当BMC=90，B与A重合，M是BC的中点，BM=BC=；如图2，当MBC=90，A=90，AB=AC，C=45，CMB是等腰直角三角形，CM=MB，沿MN所在的直线折叠B，使点B的对应点B，BM=BM，CM=BM，BC=+1，CM+BM=BM+BM=+1，BM=1，综上所述，若MBC为直角三角形，则BM的长为或1，故答案为：或1考点：1翻折变换（折叠问题）；2等腰直角三角形；3分类讨论29（2017湖北省武汉市）如图，在ABC中，AB=AC=，BAC=120，点D、E都在边BC上，DAE=60若BD=2CE，则DE的长为 【答案】【解析】BAC=120，DAE=60，BAD+CAE=60，FAE=FAC+CAE=BAD+CAE=60在ADE和AFE中，AD=AF，DAE=FAE=60，AE=AE，ADEAFE（SAS），DE=FEBD=2CE，BD=CF，ACF=B=30，设CE=2x，则CM=x，EM=x，FM=4xx=3x，EF=ED=66x在RtEFM中，FE=66x，FM=3x，EM=x，EF2=FM2+EM2，即，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），DE=66x=故答案为：考点：1全等三角形的判定与性质；2勾股定理；3翻折变换（折叠问题）；4旋转的性质30（2017宁夏）在ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DEBC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM当AMBM时，则BC的长为 【答案】8【解析】考点：1三角形中位线定理；2等腰三角形的判定与性质31（2017浙江省绍兴市）如图，AOB=45，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 【答案】x=0或x= 或 【解析】试题分析：以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ， 且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ， 当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；只有3个点P；当0x4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= 因为MN=4，所以当x0时，MNON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MDOB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4x与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=或4x考点：1等腰三角形的判定；2相交两圆的性质；3分类讨论；4综合题32（2017黑龙江省绥化市）在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若AD=BC，则ABC的顶角的度数为 【答案】30或150或90【解析】考点：1含30度角的直角三角形；2等腰三角形的性质；3分类讨论33（2017黑龙江省龙东地区）如图，在ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当ABM为直角三角形时，AM的长为 【答案】或或4【解析】如图3，当ABM=90时，BOM=AOC=60，BMO=30，MO=2BO=24=8，RtBOM中，BM=，RtABM中，AM=综上所述，当ABM为直角三角形时，AM的长为或或4故答案为：或或4考点：1勾股定理；2等腰三角形的性质；3分类讨论；4动点型；5综合题34（2017辽宁省抚顺市）如图，等边A1C1C2的周长为1，作C1D1A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边A2C2C3；作C2D2A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边A3C3C4；且点A1，A2，A3，都在直线C1C2同侧，如此下去，则A1C1C2，A2C2C3，A3C3C4，AnCnCn+1的周长和为 （n2，且n为整数）【答案】【解析】考点：1等边三角形的性质；2规律型；3综合题35（2017辽宁省营口市）如图，点A1（1，）在直线l1：y=x上，过点A1作A1B1l1交直线l2：y=x于点B1，A1B1为边在OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，按此规律进行下去，则第n个等边三角形AnBnCn的面积为 （用含n的代数式表示）【答案】【解析】试题分析：点A1（1，），OA1=2直线l1：y=x，直线l2：y=x，A1OB1=30在RtOA1B1中，OA1=2，A1OB1=30，OA1B1=90，A1B1=OB1，A1B1=A1B1C1为等边三角形，A1A2=A1B1=1，OA2=3，A2B2=同理，可得出：A3B3=，A4B4=，AnBn=，第n个等边三角形AnBnCn的面积为AnBn2=故答案为：考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2等边三角形的性质；3规律型；4综合题三、解答题36（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PMA B，PNAC，M、N分别为垂足（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值【答案】（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是【解析】（2）设BP=x，则CP=2x，由ABC是等边三角形，得到B=C=60，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），根据二次函数的性质即可得到结论试题解析：（1）连接AP，过C作CDAB于D，ABC是等边三角形，AB=AC，SABC=SABP+SACP， ABCD=ABPM+ACPN，PM+PN=CD，即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）设BP=x，则CP=2x，ABC是等边三角形，B=C=60，PMAB，PNAC，BM=x，PM=x，CN=（2x），PN=（2x），四边形AMPN的面积=（2x）x+2（2x） （2x）= =，当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是考点：1等边三角形的性质；2二次函数的最值；3定值问题；4动点型；5最值问题37（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC中，BD，CE分别是两腰上的中线（1）求证：BD=CE；（2）设BD与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点，当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN的形状，无需说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形【解析】试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，BD，CE分别是两腰上的中线，AD=AC，AE=AB，AD=AE，在ABD和ACE中，AB=AC，A=A，AD=AE，ABDACE（ASA），BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：E、D分别是AB、AC的中点，AE=AB，AD=AC，ED是ABC的中位线，EDBC，ED=BC，点M、N分别为线段BO和CO中点，OM=BM，ON=CN，MN是OBC的中位线，MNBC，MN=BC，EDMN，ED=MN，四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，DM=EN，四边形EDNM是矩形，在BDC与CEB中，BE=CD，CE=BD，BC=CB，BDCCEB，BCE=CBD，OB=OC，ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，O到BC的距离=BC，BDCE，四边形DEMN是正方形考点：1全等三角形的判定与性质；2三角形的重心；3等腰三角形的性质38（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边ABAC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F（1）判断ABE与ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC【答案】（1）ABE=ACD；（2）证明见解析【解析】（2）AB=AC，ABC=ACB，由（1）可知ABE=ACD，FBC=FCB，FB=FC，AB=AC，点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC考点：1等腰三角形的性质；2线段垂直平分线的性质；3探究型39（2017北京市）在等腰直角ABC中，ACB=90，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QHAP于点H，交AB于点M（1）若PAC=，求AMQ的大小（用含的式子表示）（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明【答案】（1）AMQ=45+；（2）PQ=MB【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出BAC=B=45，PAB=45，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作MEQB，由AAS证明APCQME，得出PC=ME，AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论试题解析：（1）AMQ=45+；理由如下：PAC=，ACB是等腰直角三角形，BAC=B=45，PAB=45，QHAP，AHM=90，AMQ=180AHMPAB=45+；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作MEQB，如图所示：ACQP，CQ=CP，QAC=PAC=，QAM=45+=AMQ，AP=AQ=QM，在APC和QME中，MQE=PAC，ACP=QEM，AP=QM，APCQME（AAS），PC=ME，AEB是等腰直角三角形，PQ=MB，PQ=MB考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰直角三角形；3探究型；4动点型40（2017四川省阿坝州）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为或【解析】试题解析：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，ADBAEC，BD=CE（2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB=当点E在BA延长线上时，BE=3EAC=90，CE=同（1）可证ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB=综上所述，PB的长为或考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3等腰直角三角形；4旋转的性质；5分类讨论41（2017山西省）综合与实践背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是（3，4，5）型三角形用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到ADH，再沿AD折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形（2）请在图4中判断NF与ND的数量关系，并加以证明（3）请在图4中证明AEN是（3，4，5）型三角形探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND，证明见解析；（3）证明见解析；（4）MFN，MDH，MDA【解析】试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND，证明RtHNFRtHND即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与AEN相似的都是（3，4，5）型三角形四边形AEFD是正方形，EFD=90ADH=90，HDN=90在RtHNF和RtHND中，HN=HN，HF=HD，RtHNFRtHND，NF=ND（3）四边形AEFD是正方形，AE=EF=AD=8cm，由折叠知：AD=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）在RtAEN中，由勾股定理得： ，即，解得：x=2，AN=8+x=10（），EN=6（），AN=6：8：10=3：4：5，AEN是（3，4，5）型三角形（4）AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与AEN相似的都是（3，4，5）型三角形，故答案为：MFN，MDH，MDA考点：1勾股定理的应用；2新定义；3阅读型；4探究型；5翻折变换（折叠问题）；6压轴题42（2017甘肃省天水市）ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，【解析】试题解析：（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中点，BE=CE，在BPE和CQE中，BE=CE，B=C，BP=CQ，BPECQE（SAS）；（2）解：连接PQ，ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=，BC=考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3等腰直角三角形；4旋转的性质43（2017重庆）在ABC中，ABM=45，AMBM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC（1）如图1，若AB=，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDF=CEF【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题解析：（1）ABM=45，AMBM，AM=BM=ABcos45=3，则CM=BCBM=52=2，AC= = =；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG由DM=MC，BMD=AMC，BM=AM，BMDAMC（SAS），AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，BFG=EFC，FG=FE，BFGCFE，故BG=CE，G=E，所以BD=BG=CE，因此BDG=G=E考点：1全等三角形的判定与性质；2勾股定理44（2017黑龙江省哈尔滨市）已知：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=DCE=90，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形【答案】（1）证明见解析；（2）ACBDCE， EMCBCN， AONDOM， AOBDOE【解析】（2）AC=DC，AC=CD=EC=CB，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：AEC=BDC，EAC=DBC，DOM=90，AEC=CAE=CBD，EMCBCN（ASA），CM=CN，DM=AN，AONDOM（AAS），DE=AB，AO=DO，AOBDOE（HL）考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰直角三角形45（2017黑龙江省龙东地区）已知：AOB和COD均为等腰直角三角形，AOB=COD=90连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH（1）如图1所示，易证：OH=AD且OHAD（不需证明）（2）将COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）图2，图3的结论都相同：OH=AD，OHAD【解析】试题解析：（1）证明：如图1中，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOB=COD=90，OC=OD，OA=OB，在AOD与BOC中，OA=OB，AOD=BOC，OD=OC，AODBOC（SAS），ADO=BCO，OAD=OBC，点H为线段BC的中点，OH=HB，OBH=HOB=OAD，又OAD+ADO=90，ADO+BOH=90，OHAD；（2）解：结论：OH=AD，OHAD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证BEOODA，OE=AD，OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAO，DAO+AOH=EOB+AOH=90，OHAD如图3中，结论不变延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G易证BEOODA，OE=AD，OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAO，DAO+AOF=EOB+AOG=90，AGO=90，OHAD考点：1旋转的性质；2全等三角形的判定与性质；3等腰直角三角形；4和差倍分；5探究型；6变式探究；7压轴题46（2017山东省莱芜市）已知ABC与DEC是两个大小不同的等腰直角三角形（1）如图所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由【答案】（1）AE=DB，AEDB；（2）DE=AF，DEAF【解析】试题解析：（1）AE=DB，AEDB证明如下：ABC与DEC是等腰直角三角形，AC=BC，EC=DC，在RtBCD和RtACE中，AC=BC，ACE=BCD，CE=CD，RtBCDRtACE，AE=BD，AEC=BDC，BCD=90，DHE=90，AEDB；（2）DE=AF，DEAF证明如下：设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，EBD=C+BDC=90+BDC，ADF=BDF+BDC=90+BDC，EBD=ADF，在EBD和ADF中，BE=AD，EBD=ADF，DE=DF，EBDADF，DE=AF，E=FAD，E=45，EDC=45，FAD=45，AND=90，即DEAF考点：1旋转的性质；2全等三角形的判定与性质；3等腰直角三角形；4探究型；5变式探究【2016年题组】一、选择题1（2016内蒙古赤峰市）等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，60B45，45C45，90D20，70【答案】B【解析】考点：等腰三角形的性质2（2016四川省乐山市）如图，C、D是以线段AB为直径的O上两点，若CA=CD，且ACD=40，则CAB=（）A10B20C30D40【答案】B【解析】试题分析：ACD=40，CA=CD，CAD=CDA=（18040）=70，ABC=ADC=70，AB是直径，ACB=90，CAB=90B=20，故选B考点：1圆周角定理；2等腰三角形的性质3（2016四川省甘孜州）如图，在ABC中，BD平分ABC，EDBC，已知AB=3，AD=1，则AED的周长为（）A2B3C4D5【答案】C【解析】考点：1等腰三角形的判定与性质；2平行线的性质4（2016四川省雅安市）如图所示，底边BC为，顶角A为120的等腰ABC中，DE垂直平分AB于D，则ACE的周长为（）ABC4D【答案】A【解析】试题分析：过A作AFBC于F，AB=AC，A=120，B=C=30，AB=AC=2，DE垂直平分AB，BE=AE，AE+CE=BC=，ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=，故选A考点：1等腰三角形的性质；2线段垂直平分线的性质5（2016陕西省）如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A7B8C9D10【答案】B【解析】考点：1三角形中位线定理；2等腰三角形的判定与性质；3勾股定理6（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，若A=70，则An的度数为（）ABCD【答案】C【解析】考点：1等腰三角形的性质；2规律型7（2016湖南省怀化市）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A16cmB17cmC20cmD16cm或20cm【答案】C【解析】试题分析：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm故选C 考点：1等腰三角形的性质；2三角形三边关系；3分类讨论8（2016四川省内江市）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）ABCD不能确定【答案】B【解析】试题分析：如图，等边三角形的边长为3，高线AH=3=，SABC=BCAH=ABPD+BCPE+ACPF，3AH=3PD+3PE+3PF，PD+PE+PF=AH=，即点P到三角形三边距离之和为故选B考点：1等边三角形的性质；2定值问题9（2016山东省临沂市）如图，将等边ABC绕点C顺时针旋转120得到EDC，连接AD，BD则下列结论：AC=AD；BDAC；四边形ACED是菱形其中正确的个数是（）A0B1C2D3【答案】D【解析】考点：1旋转的性质；2等边三角形的性质；3菱形的判定10（2016广西梧州市）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（）ABCD【答案】A【解析】考点：1列表法与树状图法；2等边三角形的判定11（2016广西百色市）如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是（）A4BCD【答案】A【解析】试题分析：作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1C交直线BC与点D，如图所示由图象可知当点D在CB的延长线上时，AD+CD最小，而点D为线段BC上一动点，当点D与点B重合时AD+CD值最小，此时AD+CD=AB+CB=2+2=4故选A考点：1轴对称-最短路线问题；2等边三角形的性质；3最值问题12（2016四川省南充市）如图，在RtABC中，A=30，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A1B2CD1+【答案】A【解析】考点：1三角形中位线定理；2含30度角的直角三角形13（2016四川省达州市）如图，在55的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）ABCD【答案】D【解析】考点：勾股定理的应用14（2016四川省达州市）如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】试题分析：AFBF，AFB=90，AB=10，D为AB中点，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即，解得：DE=8，EF=DEDF=3，故选B考点：1相似三角形的判定与性质；2平行线的判定；3直角三角形斜边上的中线15（2016山东省东营市）在ABC中，AB=10，AC=，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A10B8C6或10D8或10【答案】C【解析】试题分析：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BDCD=82=6，则BC的长为6或10故选C考点：1勾股定理；2分类讨论二、填空题16（2016内蒙古赤峰市）如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，BAE=30，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N若MN=AE，则AM的长等于 cm【答案】或【解析】考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理；4分类讨论17（2016天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点（1）AE的长等于_；（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP = PQ = QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】试题分析：（1）AE=；考点：1勾股定理；2作图题18（2016四川省甘孜州）直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 【答案】6【解析】考点：勾股定理19（2016山东省烟台市）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 【答案】【解析