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第三讲：勾股定理与实数的综合运用 【知识考点梳理】1、 求线段的长主要考虑用勾股定理建立方程求解；2、 运用勾股定理解决实际问题关键在于建立直角三角形模型，常用的方法有：（1）直接作高法；（2）补形法；（3）整体结构法；（4）图形变换法； 【考点聚焦、方法导航】【考点题型1】-勾股定理、实数的有关计算【例1】1.如图：大正方形的面积为，小正方形的面积为，则图中阴影部分的面积是 ；2.（南通）如图，在中，在直线上将绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则（ ）、 、 、3题图 4题图3.（淮安）如图，在中，将绕点按逆时针方向旋转后得到，交于点，如果，则的周长等于 ；【考点题型2】-最短距离问题的应用举例【例2】一线圈缠绕在底面周长为，高为的圆柱体上，如图示：（1）若缠绕3圈，则线圈的长度至少为 ；（2）若缠绕圈需要的线的长度至少为 ；（用含的代数式表示）【例3】（鄂州）如图，已知直线，且与之间的距离为4，点到直线的距离为2，点到直线的距离为3，试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度和最短，则此时（ ）、6 、8 、10 、12 方法归纳：【考点题型3】-勾股定理与实数的综合运用【例4】（山东威海）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，,求的长。【例5】图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：）。其中长方形是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分为长方形绸缎旗面。（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到，取）；（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度。【例6】（13北京一模）已知：如图，四边形ABCD中，E是AD上一点，BED=135，求：（1）点C到直线AD的距离； （2）线段BC的长【考点题型3】-创新思维与能力拓展【例7】（12绍兴）三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，这个交点叫三角形的外心。如图：，点称为的外心。联想三角形外心的概念，我们引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若，则点为的准外心。应用：如图2，为等边的高，准外心在高上，且，求的度数。探究：已知为直角三角形，斜边，准外心在边上，试探究的长。【例8】1、如图：在矩形中，已知，是边上任意一点，于，于，那么的值为 ；2、（广州-改编）如图，在等边中，是上一点，且，绕点旋转后得到，则；3、（深圳）如图，中，以斜边为边向外作正方形，且正方形对角线交于点，连接，已知，则另一直角边的长为 【例9】如图，为线段上一动点,分别过点、作，连接、。已知,设。（1）用含的代数式表示的长；（2）请问点满足什么条件时,的值最小?EDCBA（3）根据（2）中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值. 作业设计姓名： 作业等级： .第一部分：1、已知，则；2、若，则；3、若，则的平方根是（ ）、 、 、 、4、（湖北孝感）对实数、，定义运算如下：=，例如：23。计算：2（4）（4）（2）第二部分：1、若，化简 ；BA6cm3cm1cm2、代数式有意义的实数的取值范围是 ；3、（青岛）如图，长方体的底面边长分别为和，高为。如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要 ；若从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点，则所用细线最短需要 4（13哈尔滨）在中，以为一边作等腰直角三角形，使，连接，则线段的长为 5
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