2018中考数学复习 第15课时 二次函数的综合性问题测试

第三单元 函数第十五课时 二次函数的综合性问题 类型一与函数有关的阅读理解题1. (10分)(2018原创)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，且OA3.定义：在正方形OABC的边上及内部且横纵坐标均为整数的点称为好点(1)若一次函数ykxb(k0)的图象经过的好点最多，求此一次函数的解析式；(2)若反比例函数y(x0)的图象正好经过点(1，3)，求反比例函数图象上方和图象下方好点个数比；(3)二次函数ya1x2b1xc1的图象经过O、A两点，顶点为D(h，t)若其图象与x轴围成的图形中，恰好有4个好点(不含边界)，求t的取值范围第1题图2. (10分)(2017南雅中学月考)如图，点P(x，y1)与Q(x，y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任意一点，当axb时，有1y1y21成立，则称这两个函数在axb上是“相邻函数”，否则称它们在axb上是“非相邻函数”(1)判断函数y2x3与yx2在0x2上是否为“相邻函数”，并说明理由；(2)若函数y与y2x4在1x2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值；(3)若函数yx2(2a1)x与yx2在1x2上是“相邻函数”，求a的取值范围第2题图类型二二次函数与几何综合题3. (10分)(2017广东省卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2axb交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C. (1)求抛物线yx2axb的解析式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)若(2)的条件下，求sinOCB的值第3题图4. (10分)(2017湘潭)已知抛物线的解析式为yx2bx5.(1)当自变量x2时，函数值y随x的增大而减少，求b的取值范围；(2)如图，若抛物线的图象经过点A(2，5)，与x轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点B.求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点P，使得PABABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第4题图5. (10分)(2017眉山)如图，抛物线yax2bx2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A(3，0)，且M(1，)是抛物线上另一点(1)求a，b的值；(2)连接AC，设点P是y轴上任一点，若以P，A，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O、A重合)，过点N作NHAC交抛物线的对称轴于H点，设ONt，ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式第5题图6. (10分)(2017湘西州)如图，已知抛物线yx2bx与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(3，0)(1)求b的值及点B的坐标；(2)试判断ABC的形状，并说明理由；(3)一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动(当点P运动到点B时，点Q随之停止运动)，设运动时间为t秒，当t为何值时PBQ与ABC相似？第6题图 答案 1. 解：(1)当一次函数的图象正好经过正方形OABC的对角线时，则经过的好点最多，正方形OABC中OA3，点B在第一象限，点A、C分别在x轴和y轴上，点A(3，0)，点B(3，3)，点C(0，3)，对角线OB所在直线解析式为yx，对角线AC所在直线解析式为yx3，当一次函数的图像经过的好点最多时，其解析式为yx或yx3；(2)点(1，3)在反比例函数的图像上，m313，即反比例函数为y，又当x3时，y1，当x2时，y1.5，如解图，在图象下方的好点有(0，0)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(0，2)，(1，2)，(0，3)，共有10个，第1题解图在图象上方的好点有(2，2)(2，3)，(3，2)，(3，3)，共4个，反比例函数图象上方和图像下方的好点个数比为25；(3)当a0时，抛物线开口向上，抛物线与x轴所围图形中不存在好点，此时不合题意；当a0时，抛物线过点O、A，抛物线对称轴为x，由此设抛物线的解析式为ya(x)2t，抛物线过点O(0，0)，a(0)2t0，如解图，当抛物线过点M(1，2)时，代入得a(1)2t2，第1题解图解得t，如解图，当抛物线过点N(1，3)时，代入得a(1)2t3，第1题解图解得t，结合解图可知，当抛物线与x轴围成图形中好点恰好有4个，则t.2. 解：(1)是相邻函数，理由如下：令y12x3，y2x2，则yy1y2x1.当0x2时，1y1，y2x3与yx2在0x2上是相邻函数；(2)最大值为2，最小值为1；(3)令y1x2(2a1)x，y2x2，则yy1y2x22ax2(xa)22a2当a1时，32ay64a，故，无解，不是相邻函数；当a2时，64ay32a，故，无解，不是相邻函数；当1a时，a22y64a，故，a；当a2时，a22y32a，故，a，综上可得，a.3. 解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入yx2axb得，解得，yx24x3；(2)如解图，过点P作 PDx轴于点D，第3题解图P为BC的中点，PDy轴，PD为BOC的中位线，又B(3，0)，点P的横坐标为，把x代入yx24x3得y()243，P(，)；(3)由(2)知PD为BOC的中位线，OC2PD2，又OB3，在RtBCO中，BC，sinOCB.4. 解：(1)a0，抛物线开口向下，当自变量x2时，函数值y随x的增大而减小，则抛物线的对称轴为x10b2，解得b；(2)将点A(2，5)代入抛物线解析式中，得5222b5，解得b，故抛物线的解析式为yx2x5；存在点P满足要求理由如下：(i)如解图，当点P1在直线AB左侧时，P1ABABC，P1ABC，则点P1的纵坐标与点A的纵坐标相同为5，横坐标满足5x2x5，解得x12(舍)，x20，故点P1的坐标为(0，5)；第4题解图 (ii)当点P2在直线AB右侧时，设线段AB的中点为N，直线AP2与x轴相交于点M，P2ABABC，ABM是等腰三角形，MNAB，抛物线的对称轴为x1，点B的坐标为(1，0)，则点N的坐标为(，)，即(，)，设直线AB的解析式为yk1xb1，将点A、B的坐标代入，得，解得，故直线AB的解析式为y5x5，设直线NM的解析式为yk2xb2，MNAB，k2，将k2与点N的坐标代入yk2xb2，得b2，解得b2，直线MN的解析式为yx，直线MN与x轴的交点为(14，0)，即点M(14，0)，设直线AM的解析式为yk3xb3，将A、M两点的坐标代入，得，解得，故直线AM的解析式为yx，将其与二次函数解析式联立，得x2x5x，解得x12(舍)，x2，故点P2的横坐标为，纵坐标为，即P2(，)，综上所述，点P的坐标为(0，5)或(，)5. 解：(1)把点A(3，0)，M(1，)代入yax2bx2，得，解得；(2)设P点的坐标为(0，m)，由(1)知抛物线yx2x2，得点C的坐标为(0，2)，PC2(m2)2，PA232m2m29，AC2322213，当APAC时，根据等腰三角形的对称性，得点P与点C(0，2)关于x轴对称，点P(0，2)；当PCPA时，则PC2PA2，(m2)2m29，解得m，点P(0，)；当PCAC时，则PC2AC2，(m2)213，解得m2，点P(0，2)或(0，2)，综上所述，点P的坐标为(0，2)或(0，)或(0，2)或(0，2)；(3)由抛物线yx2x2得，对称轴为x1，A(3，0)，C(0，2)，直线AC的解析式为yx2，第5题解图如解图，直线NHAC，设直线NH的解析式为yxb，N(t，0)，bt，直线NH的解析式为yxt，当x1时，yt，点H(1，t)，当t1时，点H的坐标为(1，0)，此时与点N重合，不能构成ONH，点N在x轴正半轴上，且在抛物线内，分0t1和1t3两种情况进行讨论，(i)当0t1时，此时点H在x轴的上方，即t0，St(t)t2t，(ii)当1t3时，此时点H在x轴的下方，即t0，St(t)t2t，综上所述，S.6. 解：(1)将点A(3，0)代入抛物线yx2bx，得33b0，解得b，抛物线的解析式为yx2x，令y0，得x2x0，解得x13，x21，点B的坐标为(1，0)；(2)ABC是直角三角形，理由如下：对于抛物线yx2x，令x0，得y，点C的坐标为(0，)，在RtAOC中，tanCAO，在RtCOB中，tanBCO，CAOBCO30，ACO60，ACBACOBCO603090，ABC是直角三角形；(3)在RtABC中，AB4，BAC30，BCAB2.点P以每秒2个单位从A到B，点Q从B出发以每秒1个单位向C运动，当点Q停止运动，则点P恰好到达点B，AP2t，BP42t，BQt，CQ2t，若BPQ与ABC相似，则PQB90或QPB90，当PQB90时，易得ACPQ，即，解得t1；当QPB90，则QPBACB，即，解得t，综上所述，当t1秒或t秒时，PBQ与ABC相似15