华南理工大学微积分统考试卷上Aa

姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 微积分（上） 试卷A（试卷号：2014.1.6 时间120分钟，总分100）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 五 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五总分得 分评卷人一、 填空题（每小题4分，20分）1设，且，则 2设，则 3已知函数由方程确定，则 4曲线的斜渐近线方程为 5. 二、 计算下列各题（每小题5分，共15分）6、求极限解 由于且由夹逼准则，得7、求极限解 （无穷小与有界量之积为无穷小）另解1 由拉格朗日中值定理在+1与之间，从而另解2 由拉格朗日中值定理在与之间，从而8、求极限解 原式=另解 原式=三、 解答下列各题（每小题5分，共20分）9、设，求解 10、求的导数解 取对数，两边对求导视得，从而11、设由参数方程确定，求解 进而12、利用泰勒公式求极限解 由泰勒公式从而进而四、 计算下列各题（每小题5分，共10分）13、计算不定积分解 令，则另解 令，则14、计算定积分解 令，则，当时，当时从而五、 解答下列各题（每小题5分，共10分）15、利用递推公式计算广义积分解 ，由此递推公式，可得，而因此16、设，求解 令，则，当时，当时，从而 ，显然是瑕点，原式 六、 解答下列各题（每小题5分，共15分）17、求三叶枚瑰线上对应点处的切线方程（直角坐标形式）解 由转化公式得对应点直角坐标为，又，进而，故切线方程为，即18、求的值，使抛物线与直线及所围成的平面图形的面积最小解 作图（略），由图可知从而当时所围成的平面图形的面积最小，最小值为19、一物体以速度作直线运动，计算它在0秒到3秒一段时间内的平均速度解 七、 证明题（每小题5分，共10分）20、设在上连续，在内可导，且满足。试证：至少存在一点，使证 设，则由已知在上连续，在内可导，且，由积分中值定理可得。从而构成区间，且在该区间内满足罗尔定理的三个条件，进而至少存在一点，使，即21、试述并证明拉格朗日中值定理。解 定理为：若函数满足（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使。证 设，则满足（1）在闭区间上连续，（2）在开区间内可导，且成立。从而满足罗尔定理，从而在内至少存在一点，使，即 微积分（上） 试卷A第 6 页 共 6 页