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开放探索题：探索规律一、列式探索型 【例1】如上图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图，则第n个图形中需用黑色瓷砖_块导：第一个图案有12=34=（1+2）4， 第二个图案有 16=44=（2+2）4， 第三个图案有 20=54=（3+2）4， 第n个图案有（n+2）4=4n+8。【例2】上图是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、第n层，第n层的小正方体的个数为s则s= 图1 图2 图3 图3 导：至上而下第一层为1，第二层为1+2，第三层为1+2+3第n层为1+2+3+n=n(n+1)/2.【练1】某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3；依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块块数为 . （n为正整数） 二、模仿探索型析：根据图形得到一列数2、10、18、26，第2个数=2+（2-1）8,第3个数=2+（3-1）8, 第4个数=2+（4-1）8, 第n个数=2+（n-1）8=8n-6.【练2】下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有2个五角星，第个图形一共有8个五角星，第个图形一共有18个五角星，则第个图形中五角星的个数为( ) 析：第1个五角星个数为2=2 12 第2个五角星个数为8=2 22 第3个五角星个数为18=232 第n个五角星个数为2n2. ，选择D. 二、模仿探索型【例3】观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：112；1322；13532；通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式_导：1+3+5+7+2n-1=n2 【例4】观察下列顺序排列的等式：9011，91211，92321，93431，94541，：第n个等式为_.导：9（n-1）+n=10n-9【练1】求1+2+22+23+22012的值，可令S=1+2+22+23+22012，则2S=2+22+23+24+22013，因此2SS=220131仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012的值为（）A520121B520131CD析：依次类推，选择C.三、运动探索型【例5】如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006_导：从p到p4 要翻转4次，横坐标刚好加4,20064=5012,5014-1=2003，由于还要再翻两次，即从p到p2，横坐标加3，则p2006 =2006.【练1】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形ABC，则点A的对应点A的坐标是 析：第1次变换后的点A对应坐标(-2+2，1+)即(0，1+)； 第2次变换后的点A对应坐标(0+2，-1-)即(2，-1-)； 第3次变换后的点A对应坐标(2+2，1+)即(4，1+)； 第n次变换后的点A对应坐标为：当n为奇数时为(2n-2，1+)；当n为偶数时(2n-2，-1-)；故答案为(16，1+). 四、利用几何关系探索【例6】如下图，A1A2B是直角三角形，且A1A2A2Ba，A2A3A1B，垂足为A3，A3A4A2B，垂足为A4，A4A5A3B，垂足为A5， An1An2AnB，垂足为An2，则线段An+1An+2(n为自然数)的长为（）A2A1A3A4A6A5B 导：通过计算，可以发现A2A3 = ，A3A4 =，An+1An+2 =。 【练1】 在平面直角坐标系中，点，和，分别在直线 和轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点的纵坐标是_ _yxy=kx+bOB3B2B1A3A2A1析：利用直线解析式，利用三角函数计算发现，A1 纵坐标为1=0 ，A2纵坐标为3/2=1 ，A3纵坐标为9/4=2 ，An纵坐标为=n-1 .五、数形结合探索【例8】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第2012个点的横坐标为 导：右下角横坐标为1，共有12个点；右下角横坐标为2，共有22个点；右下角横坐标为3，共有32个点；右下角横坐标为n，共有n2个点；又因为452=2025，即第2025个点的坐标为（45,0）。根据题中规律知：当n为奇数时，最后点以（n，0）结束；当n为偶数时，最后点以（1，n-1）结束.因为n=45是奇数，所以第2012个点坐标为（45,13）.【练1】如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，同心圆与直线y=x和y=x分别交于A1，A2，A3，A4，则点A30的坐标是（）A（30，30）B（8，8）C（4，4）D（4，4） 析：如图：因为304=72，A30在直线y=-x上且在第二象限，即AOB=45，OA30=OA=8,sin45=AB/OA,cos45=OB/OA,解得AB=,OB=又因为A30在第二象限，所以A30的坐标是（-,）,六、历年中考探索题【1】如图，图，图，图，是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字则第个“山”字中的棋子个数是 图图图图 【2】如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2008次，点依次落在点的位置，则点的横坐标为 yP1AOxP【3】（2017荆州）观察图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个点。【4】（2016.荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（ ）。A671B672C673D674【5】将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样的方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中的一个三角形按同样的方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 （ ） 4
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