23个经典的不等式专题

23个经典的不等式专题23个经典的不等式专题1、 证明： ；2、 若：，求证： ；3、 若：，求证：；4、 若：，且，求：的取值范围 ；5、 若：是的三边，求证： ；6、 当时，求证： ；7、 若，求的值域 ；8、 求函数的最大值和最小值 ；9、 若，求证： ；10、 若，且，试求：的取值范围 ；11、 若，且，求的最小值 ；12、 若，且，求的最大值和最小值；13、 若，且满足，求：的值 ；14、 求证： ；（这回比较紧）15、 当时，求证： ；16、 求证： ；17、 求证： ；18、 已知：,求证： ;19、 已知：，求证： ；20、 已知：，求证： ；21、 已知：，求证： ；22、 设：，求证： ；23、 已知：，求证： .【解答】1. 证明： ；1、证明：.从第二项开始放缩后，进行裂项求和.2. 若：，求证： ；2、证明：，即：则：，即：即：.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若：，求证：；3、由： 得： ，则：， 即： 故： .从一开始就放缩，然后求和.4.若：，且，求：的取值范围 ；4、解：，令：，则上式为：. 解之得：.均值不等式和二次不等式. 5. 若：是的三边，求证： ；5、证明：构造函数，则在时，为增函数.所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：，那么，即： .构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.6. 当时，求证： ；6. 证明：当时，都扩大倍得：，取倒数得：，裂项：，求和：，即： 先放缩，裂项求和，再放缩.7、若，求的值域 ；7、解：设：，则：，代入向量不等式：得：，故：.这回用绝对值不等式.8、求函数的最大值和最小值 ；8、解：将函数稍作变形为： ，设点，点，则，而点N在单位圆上，就是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的倍，关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是： .故的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.9、若，求证：9、证明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.10、若，且，试求：的取值范围 ；10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.11、若，且，求的最小值 ；11、解：设：，则：；代入得：；即：，故：最小值为4.向量不等式.12、若，且，求的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：即：；故：；于是：.柯西不等式.13、若，且满足，求：的值 ；13、解：本题满足：即柯西不等式中等号成立的条件.故有：，即：，.则：；即：，即： 故： .柯西不等式中等号成立.14、求证： ；（这回比较紧）14、证明：注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.15、当时，求证： ；15、证明： 由二项式定理得： 由二项式定理得：本题由二项式中，保留前两项进行放缩得到：；本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：.16、求证： ；16、证明：，故：；令：， ；则：，即： ；故： 由得：，即： ，故：代入式得：则：原式= 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.17、 求证： ；17、证明：由得：；即： 由：得：即：，即：，即：，即：故：，多项求和： 由，本题得证. 本题还是采用级数求和的放缩法.18、 已知：,求证： ;18、证明：(1)构造函数：，则：.当时，函数的导数为：，即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.(2) 构造函数：，则：.当时，其导数为：.即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、 已知：，求证： ；19、证明：先构造函数：，在函数图象上分别取三点A,B,C，即：,OAABDCEFGH我们来看一下这几个图形的面积关系： ；即： ；即： ；即： ；(1) 求和：；即：；(2) 求和：；即：;由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、 已知：当时，求证： ；20、 证明：当时，即：由二项式定理得：证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知：，求证： ；21、 证明：设：，则：证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n组，每组都大于，这样放缩得证.22、 设：，求证： ；22、 证明：由得：，求和得：即：即：.本题首先构建含有的不等式，构建成功，本题得证.23、 已知：，求证： .23、 证明：设： ；采用倒序相加得：；各括号内通分得：；即： ；由：；共有：项. 将上述不等式代入式得：；即： 另：；即： 由和，本题得证. 本题中有项，将其放缩为同分母的分式是解题关键. 附加题：若：，求证：.证明：第 13 页