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23个经典的不等式专题23个经典的不等式专题1、 证明: ;2、 若:,求证: ;3、 若:,求证:;4、 若:,且,求:的取值范围 ;5、 若:是的三边,求证: ;6、 当时,求证: ;7、 若,求的值域 ;8、 求函数的最大值和最小值 ;9、 若,求证: ;10、 若,且,试求:的取值范围 ;11、 若,且,求的最小值 ;12、 若,且,求的最大值和最小值;13、 若,且满足,求:的值 ;14、 求证: ;(这回比较紧)15、 当时,求证: ;16、 求证: ;17、 求证: ;18、 已知:,求证: ;19、 已知:,求证: ;20、 已知:,求证: ;21、 已知:,求证: ;22、 设:,求证: ;23、 已知:,求证: .【解答】1. 证明: ;1、证明:.从第二项开始放缩后,进行裂项求和.2. 若:,求证: ;2、证明:,即:则:,即:即:.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若:,求证:;3、由: 得: ,则:, 即: 故: .从一开始就放缩,然后求和.4.若:,且,求:的取值范围 ;4、解:,令:,则上式为:. 解之得:.均值不等式和二次不等式. 5. 若:是的三边,求证: ;5、证明:构造函数,则在时,为增函数.所以,对于三角形来说,两边之和大于第三边,即:,那么,即: .构造函数法,利用单调性,再放缩,得到结果.6. 当时,求证: ;6. 证明:当时,都扩大倍得:,取倒数得:,裂项:,求和:,即: 先放缩,裂项求和,再放缩.7、若,求的值域 ;7、解:设:,则:,代入向量不等式:得:,故:.这回用绝对值不等式.8、求函数的最大值和最小值 ;8、解:将函数稍作变形为: ,设点,点,则,而点N在单位圆上,就是一条直线的斜率,是过点M和圆上点N直线斜率的倍,关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是: .故的最大值是1,最小值是-1.原本要计算一番,这用分析法,免计算了.9、若,求证:9、证明:由柯西不等式:即:即:柯西不等式.10、若,且,试求:的取值范围 ;10、解:柯西不等式:;即:,故:;所以:.柯西不等式.11、若,且,求的最小值 ;11、解:设:,则:;代入得:;即:,故:最小值为4.向量不等式.12、若,且,求的最大值和最小值;12、解:柯西不等式:即:;故:;于是:.柯西不等式.13、若,且满足,求:的值 ;13、解:本题满足:即柯西不等式中等号成立的条件.故有:,即:,.则:;即:,即: 故: .柯西不等式中等号成立.14、求证: ;(这回比较紧)14、证明:注意变形为不等式的方法,虽然仍是放缩法.15、当时,求证: ;15、证明: 由二项式定理得: 由二项式定理得:本题由二项式中,保留前两项进行放缩得到:;本题由二项式中,分子由从n开始的k个递减数连乘,分母由k个n连乘,得到的分数必定小于1. 于是得到:.16、求证: ;16、证明:,故:;令:, ;则:,即: ;故: 由得:,即: ,故:代入式得:则:原式= 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差,然后利用求和来消去中间部分,只剩两头.17、 求证: ;17、证明:由得:;即: 由:得:即:,即:,即:,即:故:,多项求和: 由,本题得证. 本题还是采用级数求和的放缩法.18、 已知:,求证: ;18、证明:(1)构造函数:,则:.当时,函数的导数为:,即当时,函数为增函数. 即:;故:,即:.(2) 构造函数:,则:.当时,其导数为:.即当时,函数为增函数. 即:;故:,即:.由(1)和(2),本题证毕.本题采用构造函数法,利用函数单调性来证题.19、 已知:,求证: ;19、证明:先构造函数:,在函数图象上分别取三点A,B,C,即:,OAABDCEFGH我们来看一下这几个图形的面积关系: ;即: ;即: ;即: ;(1) 求和:;即:;(2) 求和:;即:;由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法,利用函数的面积积分来证题.20、 已知:当时,求证: ;20、 证明:当时,即:由二项式定理得:证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、 已知:,求证: ;21、 证明:设:,则:证毕.将1以后的项数,按2的次方个数划分成n组,每组都大于,这样放缩得证.22、 设:,求证: ;22、 证明:由得:,求和得:即:即:.本题首先构建含有的不等式,构建成功,本题得证.23、 已知:,求证: .23、 证明:设: ;采用倒序相加得:;各括号内通分得:;即: ;由:;共有:项. 将上述不等式代入式得:;即: 另:;即: 由和,本题得证. 本题中有项,将其放缩为同分母的分式是解题关键. 附加题:若:,求证:.证明:第 13 页
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