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2.1 概述(i sh)2.1.1 地震反应(fnyng)的概念 建筑结构的抗震(kngzhn)设计：(1)概念设计；(2)参数设计。抗震计算的任务：根据抗震设防烈度及场地类别等参数求出结构的内力和变形，由此进行结构构件的截面验算和变形验算。地震反应或响应：结构位移、速度、加速度、内力和变形等。第1页/共101页第一页，共102页。系统：弹簧、质量、阻尼输入或激励输出或响应 地震(dzhn)反应除与地面运动有关(输入或激励)外，还与结构本身的动力特性(自振周期与阻尼或弹簧、质量、阻尼)有关。第2页/共101页第二页，共102页。2.1.2 质点(zhdin)体系及其自由度 图3-1 水塔的简化体系 图3-2 框架的简化体系 自由度：确定质点系在空间位置(wi zhi)(wi zhi)所需的独立参数。 第3页/共101页第三页，共102页。图3-3 质量均匀分布的结构的质点体系 第4页/共101页第四页，共102页。2.1.3 地震反应(fnyng)计算方法简述 (1) 静力理论： 把地面运动最大加速度和重力加速度的比值K定义为“水平(shupng)烈度”，即当房屋重量为G时，水平(shupng)地震力为KG，可理解为相当于房屋重量K倍的水平(shupng)力破坏了房屋的静止状态。(2) 反应谱理论(lln)：用实际地震记录求得的加速度反应谱进行结构抗震设计。(3) 地震反应时程分析：在运动微分方程输入地震加速度记录后直接积分求位移、速度和加速度，进一步求构件内力和应力，进行抗震设计。 第5页/共101页第五页，共102页。2.2 单自由度体系的弹性地震(dzhn)反应2. 2.1 单度系统在地震作用下的运动(yndng)方程假定：(1)地面运动水平加速度 代表地震时地面运动过程；(2)地基为一刚体；(3)结构是弹性体系。)(txg 设基础绝对位移为 ，质点相对于基础x(t)(txg图3-4 单自由度体系动力计算简图 第6页/共101页第六页，共102页。令 则 式中：为无阻尼(zn)自振圆频率，简称自振频率，为阻尼(zn)系数c与临界阻尼(zn)系数Cr之比，简称阻尼(zn)比。 第7页/共101页第七页，共102页。2.2.2 单自由度体系(tx)的自由振动 当1时，有自由(zyu)振动解： 积分常数A与B由初始条件确定(qudng)，最后得 )73(sincos)(000txxtxetxt为有阻尼体系的频率，通常 1。 第8页/共101页第八页，共102页。第9页/共101页第九页，共102页。2.2.3 单自由度体系的强迫(qing p)振动1、单自由度体系在脉冲荷载作用(zuyng)下的振动设系统开始静止，t0时，突然作用有冲量Pdt(图3-8)。相当于单自由度体系在初始条件作用下的自由振动，由理论力学冲量定理，有：t0时，x(0)0，v= (0)Pdt/m (mv-mv0=Pdt)，于是由式(3-7)有x x(t)(Pdt/ M)-t Sint (3-10)图3-8 t0时的脉冲作用及质点运动 第10页/共101页第十页，共102页。若冲量( (脉冲力) )是在时间(shjin)t(shjin)t时作用( (图3-3-10)10)，则在t t t 时，有x(t)(Pd/ M)-(t-) Sin(t-) (t ) (3-11)=0时，(3-11)成为(chngwi)(3-10) 图3-10 t时的脉冲作用及质点运动 第11页/共101页第十一页，共102页。2、一般荷载作用下的单自由度体系(tx)的振动图3-9 t时的脉冲作用及质点运动 单质点体系(tx)在一般荷载P(t)作用下的振动微分方程为 第12页/共101页第十二页，共102页。荷载P(t)可看作是无数的脉冲荷载P()(或微冲量P()d)的连续(linx)作用之和或叠加(图3-9)，在t作用的微冲量P()d产生的微小位移为： dx(P()d/ M)-(t-) Sin(t-) (3-12a)在激励由0到t的连续作用(zuyng)下，质量m在时刻t时的总位移为： 此积分(jfn)式称为卷积积分(jfn)或褶积积分(jfn)或杜哈梅积分(jfn)（Duhamel）。 第13页/共101页第十三页，共102页。2.2.4 单自由度体系(tx)的弹性地震反应分折 比较式(3-5)与(3-12)后可知， 相当于P(t)/m，所以由式(3-13)有特解： )(txg 方程(3-5)的通解(tngji)等于方程的齐次解(式(3-7)与特解(式(3-14)之和，但式(3-7)是瞬态解，在有阻尼的情况下，很快会衰减，因此起作用的是稳态解或特解式(3-14)。 )73(sincos)(000txxtxetxt第14页/共101页第十四页，共102页。速度： 加速度： 对式(3-14)、(3-15)及(3-16)进行积分，可得位移、速度(sd)和加速度(sd)的地震反应。 位移： 影响结构地震反应(fnyng)的因素： (1)地面运动加速度 ；(2)系统固有频率；(3)阻尼比 )(txg 式(3-14)、(3-15)及(3-16)的积分(jfn)通常采用数值分析方法(直接积分(jfn)法)进行。 常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、威尔逊(Wilson)法、Newmark法、Houbolt方法及龙格库塔(Runge-Kutta)法等。 (均为数值方法)第15页/共101页第十五页，共102页。1、线性加速度法 假定质点(zhdin)的加速度反应在任一微小时段t内的变化是线性关系，考虑tk-1至tk的tk时段(图3-12)。 第16页/共101页第十六页，共102页。将位移 及速度 分别按泰勒级数展开： kxkx (3-17)kx (3-18)由图3-12，线性加速度的变化率为： 19)(3txxxk1kkk 所以 )203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213(2211kkkkkkxtxtxx 第17页/共101页第十七页，共102页。由 22)(3xx2xxk2kkg,k 有 25)(3x6x24)(3x3x1kk2kk1kkkktt 23)(3KRxkk解(3-20)、(3-21)和(3-22)，得)203(6321211kkkkkkkkxtxtxtxx )213 (2211kkkkkkxtxtxx 第18页/共101页第十八页，共102页。29)(3x2x2x328)(3x2x6x627)(3cmxmR26)(3c3m6kK1kk1k1kk1k1k1k1k2k1k1k1kkg,kk2k ttttttk式中：m、k和c分别为系统的质量、刚度(n d)和阻尼。第19页/共101页第十九页，共102页。已知系统质量m、刚度k和阻尼比，初始条件 及地面时程加速度 ，则 tk 时刻系统的位移、速度和加速度计算过程如下： 0000 xxx )(txg (1) 确定(qudng)时间步长t，计算、c=2和K(式(3-26)； (2) 求时刻t1(t)的反应 ; (a) 由式(3-28)、(3-29)确定初始时刻的0和0； (b) 由式(3-27)确定t1时刻的R1； (c) 由式(3-23)、(3-24)和(3-25)求t1时刻的 111xxx 111xxx (3) 求时刻t2(t1+t)的反应 ;求法重复步骤(2) 222xxx (4) 再依次求t3、t4，至所要求的时刻(shk)为止。 第20页/共101页第二十页，共102页。2、龙格库塔法 龙格库塔法是以德国数学家C.Runge及M.W.Kutta命名(mng mng)的。 龙格库塔法不作介绍，具体推导可以参考下列文献：(1) 易大义，蒋叔豪，李有法，数值方法，浙江科学技术出版社，1984.9 (2) 徐稼轩，郑铁生，结构动力分析的数值方法，西安交通大学出版社出版，1993.6 (3) KJ巴特，EL威尔逊，有限元分析中的数值方法，科学出版社，1985.5 (4) 其他数值分析，数值计算方法等第21页/共101页第二十一页，共102页。2.3地震(dzhn)反应谱 2.3.1 地震(dzhn)反应谱的概念 工 程 中 往 往 只 关 心 响 应(xingyng)的最大绝对值，利用地震反应谱可求最大地震反应。地震反应谱：系统的最大反应与系统自振周期(或固有频率)和阻尼比的关系曲线。第22页/共101页第二十二页，共102页。 工程上通常以相对位移(与结构变形和内力有关)、相对速度(与地震动输入能量有关)和绝对(judu)加速度(与地震惯性力有关)等最为重要的变量建立反应谱。 位移、速度和加速度反应谱分别记为 ，则)()()(avdSSS和、当阻尼比很小时(xiosh)，近似有35)(31(S(S(S2avd:): ): )第23页/共101页第二十三页，共102页。图3-18为按图3-15地震波作输入(shr)所得的位移和加速度反应谱。 第24页/共101页第二十四页，共102页。第25页/共101页第二十五页，共102页。 阻尼(zn)影响很大；从图3-19可见(kjin)z加速度反应(fnyng)谱在短周期部分波动剧烈且幅值较大；当周期较长时，谱值逐渐衰减；z当周期大于某定值时，速度反应谱的谱值随周期的变化呈现出大致与周期轴平行的趋势；z当周期大于某定值时，位移反应谱具有随周期增大而增高的趋势，即位移反应对长周期结构的影响比短周期结构要大。 第26页/共101页第二十六页，共102页。第27页/共101页第二十七页，共102页。2.3.2 反应(fnyng)谱的标准化及平均反应(fnyng)谱 显然，不同场地或不同时间发生(fshng)的地震波记录作输入所得的反应谱是不同的，因此，用己知的某一个地震波记录所得的反应谱来预测未来的地震反应，进行工程抗震设计是没有意义的。 为了(wi le)得到具有代表性的反应谱供抗震设计用，提出了反应谱的标推化及平均反应谱。 第28页/共101页第二十八页，共102页。标准化反应谱：反应的最大值与引起(ynq)该反应的地面运动的最大幅值之比，将两者的比值作为纵坐标所得的反应谱。如对加速度反应谱，为： 称为(chn wi)动力放大系数。 第29页/共101页第二十九页，共102页。 由不同地震记录所得的加速度标准反应谱，其最大谱值max大致相同，只是谱的形状不同。这样，通过标准化处理后，地震动强度对反应谱的影响基本上消除了，可以单独研究(ynji)地震动频谱特性对反应谱的影响。 通常(tngchng)，震中距和场地条件是影响反应谱形状的主要因素。 第30页/共101页第三十页，共102页。平均反应谱：将大量的标准反应谱按影响(yngxing)(yngxing)谱形状的各种因素分别加以平均的反应谱。 第31页/共101页第三十一页，共102页。规范根据场地条件(tiojin)和震中距两个因素将反应谱分成A、B、C、D、E五类。以烈度8度为例：近震类场地为A，近震类和远震类为B，近震类和远震类为C，近震类和远震类为D，远震类为E(场地分类见第2章)。第32页/共101页第三十二页，共102页。五种(w zhn)谱形的平均反应谱如图3-23：第33页/共101页第三十三页，共102页。2.3.3 规范规定的地震(dzhn)反应谱 平均反应(fnyng)谱虽可作抗震设计的依据，但不便应用，为此，进行处理。地震(dzhn)(dzhn)作用： k称为地震系数，是地震强烈程度的指标，规范按烈度7、8、9度分别取k值为0.1、0.2和0.4。 第34页/共101页第三十四页，共102页。为式(3-36)表示的动力(dngl)系数，规范取max=2.25。称为地震(dzhn)影响系数。 第35页/共101页第三十五页，共102页。设计用反应谱：1、纵坐标用。首先将图3-23的标准反应谱加以模型化，成为图3-24；然后将已模型化的标准反应谱的谱值乘上一个系数k，得到谱曲线如图3-25(抗震规范(gufn)规定的抗震设计反应谱)，两者的谱值不同，但谱的形状没有改变。各设计阶段的max值如表3-1所示。 基本(jbn)烈度：maxkmax=(0.10.4)*2.25多遇烈度：k值约为基本(jbn)烈度的0.35倍罕遇烈度：k值约为基本(jbn)烈度的2.2、2.0和1.6倍(当基本(jbn)烈度为7、8和9度时) 第36页/共101页第三十六页，共102页。第37页/共101页第三十七页，共102页。第38页/共101页第三十八页，共102页。验 算 内 容设 防 烈 度6789多遇地震，承载力(与弹性变形)验算0.040.080.160.32相应基本烈度地震(一般不使用)0.120.230.450.90罕遇地震，防倒塌弹塑性变形验算0.250.500.901.40表2-1 水平地震影响系数最大值max 第39页/共101页第三十九页，共102页。2、取阻尼比0.05的谱曲线作为(zuwi)设计用的谱曲线。3、将谱曲线(qxin)分为三段：Tg称为特征周期，按表3-2确定。 表3-2 特征周期Tg(s)近、远震场 地 类 别近震0.200.300.400.65远震0.250.400.550.85第40页/共101页第四十页，共102页。关于(T)曲线的说明：(a) 单质点体系自振周期T可按下式确定：T=2 2=k/m k=P=1 T=2(G/g)1/2G质点重力荷载代表值；单位水平(shupng)集中力使质点产生的侧移。 (b) 关于T=0时，=1T=0时，系统为刚性体系，地面的运动就是(jish)质点的运动，即系统既不放大也不缩小，=1。第41页/共101页第四十一页，共102页。(c) 关于min的取值 为了保证结构具有最低限度的抗震能力，规范规定，值的下限不应小于最大值的20，即min0.2max。至于限制T3.0s的问题(wnt)，主要考虑当T3.0s时，反应谱曲线准确性才有保证。(d) 反应谱曲线在0.1sTTg一段，作了平滑(pnghu)处理，为安全计，这一段取水平线，即均按max取值。在0T0.1s一段，按直线变化，即按0.45max和max之间线性插入取值。(e) 绘制(huzh)反应谱曲线时，阻尼比采用0.05 第42页/共101页第四十二页，共102页。 利用抗震设计反应谱计算结构(jigu)(jigu)所受地震力的基本步骤： (1) 计算结构的重量G和自振周期T； (2) 根据结构所在地区的设防烈度、场地条件(tiojin) 和震中距，按表3-1 和表3-2查得反应谱的最大地震影响系数max和特征周期Tg； (3) 按公式(3-40)确定地震影响系数； (4) 按公式(3-37)计算地震作用Fek，即第43页/共101页第四十三页，共102页。 两跨单层厂房，其结构为铰接排架，如图3-26(a)所示。屋盖重量G1495kN，G2396kN，柱子重量g1g330kN，g236kN，柱子刚度EI1EI3=10.83kNm2，EI2=18.72kNm2，柱高h 6m。按8度、近震、 类场地求厂房强度验算时所受地震(dzhn)作用。 图3-26 两跨单层厂房剖面及其计算简图 第44页/共101页第四十四页，共102页。解模型简化如图3-26(b)3-26(b)，体系(tx)(tx)刚度为各柱刚度之和，质点质量当计算体系(tx)(tx)自振周期T T时取屋盖重量及1/41/4柱重量之和，当计算地震作用FekFek时取屋盖重量及1/21/2柱重量之和。 08kN/m5618.72)23(10.83h)EIEI3(EIK333216ABPLEI=EI1+EI2+EI3 (为什么？)由材料力学=PL3/3EI及K=P令L=h 即可得K值。K的计算原理：第45页/共101页第四十五页，共102页。s0.8156089.89152gKG2Km2TT915kN)gg(g41GGG32121T939kN)gg(g21GGG32121E0.08480.160.810.4TT0.9max0.9g79.627kN9390.0848FEek G8度，max0.16；近震、类场地(chngd)，Tg0.40所以(suy)：第46页/共101页第四十六页，共102页。 计算(j sun)体系自振周期T时取屋盖重量及1/4柱重量之和，当计算(j sun)地震作用Fek时取屋盖重量及1/2柱重量之和。(为什么？)计算体系自振周期T时 设立柱速度分布为直线，则立柱和屋盖质量分别为m和M，立柱单位长度质量密度为，则系统动能为系统势能：VhyVy2202)31(21)(2121VmMVhydyMVTh221KxU VVyy第47页/共101页第四十七页，共102页。由T=U，两边对时间t求导，得 ， 即质量取1/3。0)31(KxxmM 若立柱速度分布为抛物线，则同样推导(tudo)可得质量取1/5。 若选取直杆重力荷载q沿水平方向(fngxing)作用得到的弹性曲线作为振型曲线(如图示)，即则柱顶最大位移(wiy)Xm为(令上式y=H)：Xm=qH48EI所以x=Xm(y4-4Hy3+6H2y2)(3H4) 第48页/共101页第四十八页，共102页。立柱动能T柱为：(利用柱顶速度(sd)V=Xm及柱质量m=H) 2924044536278242223424020)257. 0(2145144)3(23648288)3(264)3(21)(21VmHHVdyyHyHyHHyyHXyHHyyHXdyxdyTHmmHH柱故等效质量(zhling)取柱质量(zhling)的0.257倍，约m/4因此，这里有模型的选取问题。 计算(j sun)地震作用Fek时：立柱质心在h/2处，惯性力为ma/2=a(m/2) 第49页/共101页第四十九页，共102页。 单层钢筋混凝土框架计算简图如图所示。集中在屋盖处的重力荷载代表值G1200kN，梁的抗弯刚度EI，柱的截面尺寸(ch cun)bh350mm350mm，采用C20混凝土，类场地，设防烈度7度(近震)。试确定按第一阶段设计时的水平地震作用标准值，并绘出相应地震内力图。 第50页/共101页第五十页，共102页。解(1) (1) 求水平地震(dzhn)(dzhn)作用标准值 C20混凝土的弹性模量E25.5kNmm2，柱的惯性矩：（为什么？见下页）框架(kun ji)自振周期(注意梁的抗弯刚度EI，无变形)：也可用： 第51页/共101页第五十一页，共102页。P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的转角分别为：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由(zyu)端是固支端，转角为零P+M=0所以(suy)： M=PL/2在力P和力偶M=PL/2共同作用下，自由(zyu)端的挠度为：=P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L3第52页/共101页第五十二页，共102页。 图参见右图M由P49表3-1，当设防(shfng)烈度为7度、多遇地震时，max0.08，由表3-2，当类场地、近震时Tg0.40 s按式(3-40)计算地震影响系数第53页/共101页第五十三页，共102页。式(3-37)计算水平地震作用标准值：(2) 求地震内力标准值，并绘出内力图 求得水平地震作用标准值FEk45.6kN后，就可把它加到框架横梁标高处，按静载计算框架地震内力V和M。地震内力V图(剪力图)、M图(弯矩图)见图。 第54页/共101页第五十四页，共102页。2.4 多自由(zyu)度体系的弹性地震反应 2.4.1 多自由(zyu)度体系的自由(zyu)振动1、自振频率(pnl)(1) 刚度法图示框架，模型简化如图3-27(b)、(c)所示，mi、hi、ki及xi分别表示第i层的质量、层高、柱的剪切刚度及水平位移。 第55页/共101页第五十五页，共102页。受力分析如图3-28，由理论力学达朗贝尔原理，有 或 第56页/共101页第五十六页，共102页。k22k12x=1k11K21x=1k1k2设解为： 所以： 式(3-47)为振幅方程。 第57页/共101页第五十七页，共102页。振幅Xl及X2不同时等于零的条件是系数行列式等于零，即或式(3-49)称为频率方程。1称为第一自振频率或基频；2称为第二自振频率。第58页/共101页第五十八页，共102页。对于多层框架的多自由度体系，有频率方程：刚度矩阵K是对称三对角矩阵。 第59页/共101页第五十九页，共102页。如果考虑的是空间问题或一般的振动系统，则K将不是三对角(du jio)矩阵。质量矩阵M是对角矩阵由频率(pnl)方程(3-53)，可以得到n个固有频率(pnl)和相应的振型。 第60页/共101页第六十页，共102页。(2) 柔度法仍以二层框架为例，任一瞬时，质点l及质点2在惯性力作用(zuyng)下的位移为： 21P=11112P=122第61页/共101页第六十一页，共102页。设与刚度法一样，有Xl和X2不同时等于零的条件：21,2第62页/共101页第六十二页，共102页。或：对于一般的多自由度体系，柔度法建立的系统运动微分方程：柔度矩阵通常为满阵： 质量矩阵与前面(qin mian)一样是对角阵。 第63页/共101页第六十三页，共102页。频率方程： 1K柔度矩阵与刚度矩阵K互逆，即第64页/共101页第六十四页，共102页。求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。 k1k2k3m1m2m31x2x3x解刚度(n d)(n d)法：令x1=1x1=1，x2= x3=0 x2= x3=0，有 k11=k1+k2 k21= - k11=k1+k2 k21= - k2 k31= 0k2 k31= 0同理：k22=k2+k3 k12= - k2 k32= - k3 k23= - k3k22=k2+k3 k12= - k2 k32= - k3 k23= - k3m1k1k2k11m2k2k21 333322221kkkkkkkkkK00刚度矩阵kij描述了质点i与j的联系。第65页/共101页第六十五页，共102页。柔度法：在m1 上加单位力，各质量的位移分别为： 11 1/k1 21 31 11 1/k1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1k1k2k3m1m2m3P=1同理，在m2 上加单位(dnwi)力，各质量的位移分别为： 12 1/k1 22 1/k1 1/k2 32 1/k1 1/k2 在m3 上加单位(dnwi)力，各质量的位移分别为： 13 1/k1 23 1/k11/k2 33 1/k11/k21/k3 第66页/共101页第六十六页，共102页。柔度矩阵为： 3222211111111111111kkkkkkkkkkkkkk111111111可以(ky)验证：K-1 对弹性系统来说，总存在(cnzi)刚度矩阵，但不一定存在(cnzi)柔度矩阵，当系统中存在(cnzi)刚体位移（模态）时，就是这种情况，此时，刚度矩阵K是奇异的，矩阵行列式等于零，因而不存在(cnzi)逆矩阵。如上面k1=0 第67页/共101页第六十七页，共102页。2、主振型 从频率方程求出1和2后，将其分别代入振幅(zhnf)方程(3-47) (刚度法)或式(3-56)(柔度法)，可得到相应的位移幅值。由于振幅(zhnf)方程的系数行列式等于零，所以(3-47)的两个方程并非独立，由其中任一式可求振幅(zhnf)比： 第68页/共101页第六十八页，共102页。两自由度系统具有两个固有频率1 与2 ，说明(shumng)系统具有两种可能的同步运动，每个同步运动对应一个固有频率，即解有下列两个形式： 频率(pnl)1 ： x1 (t)X11 Sin(1 t1 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 ) 频率(pnl)2 ： x1 (t)X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X22 Sin(2 t2 )振幅的比值(bzh)为一常数。 第69页/共101页第六十九页，共102页。对应每个自振频率，都有一个振幅比，体系按某一弹性曲线形状发生(fshng)振动。这种振动形式通常称为主振型，或简称振型。1对应第一振型或基本振型；2对应第二振型。可以证明，对第一(dy)振型，X11与X12正负相同，对第二振型， X21与X22正负相反。振型如图3-29(a)与(b)。对于(duy)(duy)柔度法，有 第70页/共101页第七十页，共102页。第71页/共101页第七十一页，共102页。2212211112XXXX令 系统的运动在一般情况下是这两个同步运动的叠加： x1 (t)X11 Sin(1 t1 )X21 Sin(2 t2 ) x2 (t)X12 Sin(1 t1 )X22 Sin(2 t2 ) 1 X11 Sin(1 t1 )2 X21 Sin(2 t2 ) (3-64)写成矩阵形式： )sin(1)sin(1)()(222121111121tXtXtxtx)sin()sin(112221111121tXtX四个积分常数(chngsh)X11 、X21 、1 和2 由初始条件确定。 第72页/共101页第七十二页，共102页。 称为第二主振型。称为第一主振型，221111uu21和u1称为第一特征(tzhng)对，22和u2称为第二特征(tzhng)对。对于n自由度系统，有2i和ui(i=1,2,n)。第73页/共101页第七十三页，共102页。3、 主 振 型 的 正 交性 特征对2i与ui(i=1,2,n)满足特征矩阵(j zhn)方程(3-52)，即 （K 2iM）ui 0或 Kui 2iMui (a)对任意(rny)j，同样有 Kuj 2jMuj (b)将(a)式两边(lingbin)转置后右乘uj ，得 uTi Kuj 2i uTi Muj (c)第74页/共101页第七十四页，共102页。对(b)式左乘uTi ，得 uTi Kuj 2j uTi Muj (d)(c)(d)两式相减，得： 0(2i 2j ) uTi Muj 若ij，则i j ，于是 uTi Muj 0因而 uTi Kuj 0说明各个(gg)主振型关于M与K存在加权正交性。记 Mi uTi Mui Ki uTi Kui 则 i Ki /Mi Mi 与Ki 分别称为第i阶模态质量与模态刚度。 第75页/共101页第七十五页，共102页。例题(lt)3-5某两层钢筋混凝土框架，如图3-30所示，假定横梁的刚度(n d)很大而可不考虑其弯曲变形；柱的截面积为40cm50cm，混凝土弹性模量E2.6107kNm2；一、二层的质量为m1=m25l04kg。试求该框架的自振频率与振型。 第76页/共101页第七十六页，共102页。解：1 计算(j sun)各层的剪切刚度 I1=I2=0.40.53/12=0.05/12m4 注意：为什么这里(zhl)k1=k2=12EI/h3而不是P51图3-26的k =3EI/h3？因为图3-26是悬臂梁，这里是固支固支梁！P=1图3-26 两跨单层厂房剖面及其计算简图 第77页/共101页第七十七页，共102页。P=1EI在力P和力偶M作用下，自由端的转角分别为：P= - PL2/2EIM= ML/EIP=1M自由(zyu)端是固支端，转角为零P+M=0所以(suy) M=PL/2第78页/共101页第七十八页，共102页。在力P和力偶M=PL/2共同(gngtng)作用下，自由端的挠度为：=P+M= - PL3/3EI+ ML2/2EI= - PL3/12EI由K=P得K=12EI/L32 用刚度(n d)法求自振频率由式(3-49) 得 第79页/共101页第七十九页，共102页。3 用柔度法求自振频率(pnl) 由式(358)可求出相同的结果： 第80页/共101页第八十页，共102页。4 求主振型 当1=12.61时 当2=33.0时第81页/共101页第八十一页，共102页。2.4.2 多自由度体系(tx)弹性地震反应的振型分解法1、多自由度体系在地震(dzhn)作用下的运动微分方程图示多自由度体系框架结构，设基础为刚性平面(pngmin)，地面位移为xg(t)，xi(t)表示质点i的相对位移。 作用力有)683(, 2 , 1nixxmfigiiI 惯性力：)693(, 2 , 12211nixCxCxCfnniiiiD阻尼力：式中：Cim由点m产生的单位速度在点i产生的阻尼力； kim由点m产生的单位位移在点i产生的弹性反力)703(, 2 , 12211nixkxkxkfnniiiiS弹性恢复力：第82页/共101页第八十二页，共102页。图3-22 多层框架计算简图 第83页/共101页第八十三页，共102页。由达朗贝尔原理： 即 质量、刚度、阻尼矩阵分别为： 第84页/共101页第八十四页，共102页。2、多自由度体系地震(dzhn)反应的振型分解法 运动微分方程(3-72)是耦合的，即微分方程之间相互联系(linx)。为了解耦，可以利用主振型关于M与K的加权正交性。 (1) 阻尼矩阵(j zhn)假定 设 (2) 广义坐标 进行主坐标变换： 即 式中： 为广义坐标向量； X为变换矩阵，由n个特征向量Xi所构成。 Tn21qqqq第85页/共101页第八十五页，共102页。(3) 振型参与(cny)系数 式(3-80a)两边左乘XjTm，得 考虑到振型关于M与K的加权正交性 uTi Muj 0 uTi Kuj 0或 XiT MX j 0 XiT KX j 0第86页/共101页第八十六页，共102页。有由(3-83)和(3-84)得第j个广义坐标qj：对于x1x2xn=1的特殊情况，用j代替qj，有 式中j称为地震(dzhn)反应中第j振型的振型参与系数，Xji为振型矩阵的第j行第i列元素。第87页/共101页第八十七页，共102页。(4) 广义坐标微分方程(wi fn fn chn)及其解 将式(3-77)、(3-80a)代入(3-72)，并左乘XjT，得 由振型关于(guny)m与K的加权正交性，有 第88页/共101页第八十八页，共102页。式(3-87)可写成： 两边(lingbin)除以XjTm Xj，并采用振型参与系数j，有 j称为(chn wi)第j振型的阻尼比，抗震分析中，常假定j。 式(3-88)是解耦的微分方程，即n自由度系统(xtng)经过广义坐标变换后，得到n个单自由度系统(xtng)的微分方程，其解为杜哈梅积分： 第89页/共101页第八十九页，共102页。j第j振型等效单自由度体系(tx)位移地震反应。多自由度体系的振型分解(fnji)(fnji)反应谱法求解步骤： (a) 求各个(gg)振型的自振频率j 、振型幅值X ji、阻尼比j、有阻尼的自振频率jj； (b) 按式(3-86)求各振型的参与系数j； (c) 按式(3-91)求各振型等效单自由度位移地震反应j(t)； (d) 按下式求物理坐标下质点i的位移地震反应。 第90页/共101页第九十页，共102页。3、用反应谱理论计算多自由度体系(tx)的弹性最大反应 求结构上任一质点处的最大反应，比较(bjio)简便的方法是采用反应谱理论。 设在时刻(shk)t，第j振型的广义坐标qj(t)达到最大值qjmax，则 式中：j为振型参与系数； 为第j振型等效单自由度体系地震反应谱的谱值。 djS实际上，式(3-93)可从(3-90)及P43的图3-17得到。 第91页/共101页第九十一页，共102页。第92页/共101页第九十二页，共102页。由(3-92) 结构上i质点处第j振型的最大位移反应 为 jix但式(3-92)的最大值并不等于式(3-94)的简单(jindn)相加。 实际(shj)使用时采用下式计算： 第93页/共101页第九十三页，共102页。例题(lt)3-6同例题3-5，某两层钢筋混凝土框架，如图3-30所示，假定横梁的刚度(n d)很大而可不考虑其弯曲变形；柱的截面积为40cm50cm，混凝土弹性模量E2.6107kNm2；一、二层的质量为m1=m25l04kg。用反应谱理论计算质点在图3-15地震波作用下，相对于基础的最大位移反应和加速度反应。第94页/共101页第九十四页，共102页。 解 1 1 求例题(lt)3-5(lt)3-5的各振型，前面已求出 当1=12.61时 当2=33.0时第95页/共101页第九十五页，共102页。2 求振型参与(cny)系数 由式(3-86) 得： 第96页/共101页第九十六页，共102页。3 按反应(fnyng)谱理论计算最大反应(fnyng)(相应于图3-15地震波 的反应(fnyng)谱见图3-18) 第97页/共101页第九十七页，共102页。由图3-18a，对应于0.05的相对最大位移(wiy)反应谱值为： 2.3cmSdcm.Sd71质点m1在第1振型时的位移反应： 在第2振型时的位移反应： m1的最大位移为： 第98页/共101页第九十八页，共102页。质点m2在第1振型时的位移反应： 在第2振型时的位移反应： m2的最大位移为： 用同样方法(fngf)可以计算m1及m2的加速度最大反应。 由图3-18(b) 2a381.3cm/sS 2a123.9cm/sS 第99页/共101页第九十九页，共102页。质点m1在第1振型时的加速度反应： 在第2振型时的加速度反应： 最大加速度反应为： 同样可求得质点m2的加速度反应为： 可以看到：最大位移和加速度反应均由第一(dy)振型控制。 第100页/共101页第一百页，共102页。感谢您的观看(gunkn)！第101页/共101页第一百零一页，共102页。NoImage内容(nirng)总结2.1 概述。为式(3-36)表示的动力系数，规范取max=2.25。基本烈度：maxkmax=(0.10.4)*2.25。多遇烈度：k值约为基本烈度的0.35倍。 若选取直杆重力荷载q沿水平(shupng)方向作用得到的弹性曲线作为振型曲线(如图示)，即。P+M=0。振幅Xl及X2不同时等于零的条件是系数行列式等于零，即。柱的截面积为40cm50cm，混凝土弹性模量E2.6107kNm2第一百零二页，共102页。
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