高等数学第五部分课件

一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的点向式方程与参数方程二、空间直线的点向式方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角空间直线及其方程空间直线及其方程xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo 如果一非零向量平行于一条已知直如果一非零向量平行于一条已知直线线, ,sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的点向式方程与参数方程二、空间直线的点向式方程与参数方程1. 1. 点向式方程点向式方程对应坐标成比例对应坐标成比例pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程直线的对称式方程直线的对称式方程这个向量称为这条直线的这个向量称为这条直线的方向向量方向向量pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零. 00yyxx直线方程为直线方程为例如例如, 当当,0, 0时时 pnm直线的对称式方程直线的对称式方程直线方程为直线方程为当当,0, 0, 0时时 pnm 0 xx pzznyy00 ptzzntyymtxx000方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦称为直线的称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程直线的一组直线的一组方向数方向数tpzznyymxx 000令令2. 参数式方程参数式方程思考：思考：给定直线的一般式方程怎么确定其方向向量？给定直线的一般式方程怎么确定其方向向量？例例1.1.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. . 0103202 zyxzyx1032 zyzy再求直线的方向向量再求直线的方向向量3,1 zy令令 x = 0, 解方程组解方程组, ,得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 .)3, 1 ,0( 故故.s, )1,1,1(1 n)3,1,2(2 n21ns,ns 21nns 故所给直线的对称式方程为故所给直线的对称式方程为参数式方程为参数式方程为 tztytx33 1 4t 4x11 y33 z解题思路解题思路: 先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .)3,1,4( 21nns 312111 kji解二解二分别消去分别消去y和和x,06301243 zyzx ,23443- yzxz写成连等式，得点向式方程写成连等式，得点向式方程 131234-4zyx 3124-4zyx 0103202zyxzyxpzznyymxx000 点向式方程点向式方程一般式方程一般式方程 pzznyynyymxx0000 0p0m-n0000zznyyyyxx一般式方程一般式方程点向式方程点向式方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角2L1L则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21, LL设直线设直线 两直线的夹角指其两直线的夹角指其方向向量间的夹角方向向量间的夹角( (通常取通常取锐角锐角) )的方向向量分别为的方向向量分别为212121ppnnmm 212121pnm 222222pnm ),(, ),(22221111pnmspnms 2121cosssss 1s2s两直线的夹角公式两直线的夹角公式两直线的位置关系：两直线的位置关系：直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即21)1(LL 21/)2(LL0212121 ppnnmm212121ppnnmm 21ss 21/ ss),(, ),(22221111pnmspnms 例例2. 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: 直线直线直线直线13411:1 zyxL 0202:2zxyxL的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L)1,2,2( )1,4,1(1 s2010112kjis 二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为 cos 22 从而从而)1(1)2()4(21 2221)4(1 222)1()2(2 4 )1,4,1(1 s)1,2,2(2 s四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角; ;当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时, ,直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直.2L sn 0.2 2),(ns 2),(ns或或设直线设直线 L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足222222CBApnmpCnBmA ),(pnms ),(CBAn nsns L sn .cos 2 cossin2 2),(ns 2),(ns或或直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1( /)2(L0 pCnBmApCnBmA ns/ns 解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421 zyx则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432 zyx垂直的直线方程垂直的直线方程. . 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. . 132 )1,3,2( nn例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面xyzo1 2 M L解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程5, 1, 2,4, 0 , 121 nn例例5求直线求直线与平面与平面的交点的交点241312 zyx062 zyx,24,3,2tztytx 解解:所给直线的参数方程为所给直线的参数方程为代入平面方程中，得代入平面方程中，得06)24()3()2( 2 ttt解上列方程，得解上列方程，得t = - - 1.把求得的把求得的 t 值代入直线值代入直线,2,2, 1 zyx的参数方程中，即得所求交点是坐标为的参数方程中，即得所求交点是坐标为为为所所求求点点。)2,2, 1(解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3: zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytxLM N .代入平面方程得代入平面方程得,73 t交点交点)73,713,72( N所求直线的方向向量平行于所求直线的方向向量平行于MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx. 1213 tztytx)3 , 1 , 2(M取取4 , 1, 2 sLM N .另解另解且且与与已已知知直直线线先先做做过过点点)3 , 1 , 2( MLM 0 , 1 , 10LM L L 1, 2 , 3()3 , 0 , 3/0 sMMns1 , 2 , 16 再求过再求过M与与L的平面的平面. 0)3()1(2)2(3 zyx: 12131: 垂垂直直的的平平面面zyxL0)3() 1( 2)2(: zyx的的交交线线为为所所求求直直线线与与平平面面 所所求求直直线线： 0)3() 1( 2)2( 3 zyx0)3() 1( 2)2( zyx0)3() 1( 2)2(: zyx设直线设直线L由方程组由方程组 0022221111DzCyBxADzCyBxACBACBA222111与与所确定，其中系数所确定，其中系数不成比例，我们建立三元一次方程组：不成比例，我们建立三元一次方程组：0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 其中其中 为任意常数。通过定直线的所有平面的全体称为任意常数。通过定直线的所有平面的全体称为为平面束平面束，而方程就作为通过直线，而方程就作为通过直线L的平面束的方程的平面束的方程。例例7求直线求直线 0101zyxzyx0 zyx 0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线的的方程上的投影直线的的方程解解设过直线设过直线的平面束的方程为的平面束的方程为0) 1() 1 zyxzyx （即即0)1()1()1(1 zyx）（其中其中 为待定常数。这平面与平面为待定常数。这平面与平面0 zyx垂直的条件是垂直的条件是01)1(1)1(1)1( 即即，01 1 01 zy得投影平面的方程为得投影平面的方程为所以投影直线的方程为所以投影直线的方程为 001zyxzy1. 空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式 0022221111DzCyBxADzCyBxApzznyymxx000 内容小结内容小结 参数式参数式 tpzztnyytmxx000,1111111pzznyymxxL ：直线直线,2222222pzznyymxxL ：2. 线与线的关系线与线的关系直线直线),(1111pnms ),(2222pnms 0212121 ppnnmm212121ppnnmm 夹角公式夹角公式:021 ss21LL 21/ LL021 ss2121cosssss , 0 DzCyBxACpBnAm 平面平面 :L ,pzznyymxx 3. 面与线间的关系面与线间的关系直线直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 nsL / 夹角公式：夹角公式：0 CpBnAm sin0 nsnsns L