高等数学幂级数的应用课件

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用第五节第五节 一、近似计算一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法二、微分方程的幂级数解法 函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式三、欧拉公式 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用一、近似计算一、近似计算mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例15240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!2541313431518231!254112331!35941解解 553243240514)1(331243354105 . 0 计算目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用)11(432)1ln(432xxxxxx例例22ln的近似值 ,使准确到.104解解)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有用此式求 ln2 计算量大计算已知目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用说明说明: 在展开式xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3,!3sin3xxx求9sin误差. 解解9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin的近似值 , 并估计91802015643. 0利用先把角度化为弧度目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用( 取 例例4xxde21201的近似值, 精确到)56419. 01解解 1e2x!) 1(20nxnnn)(xxxde22210 xd2210 !) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0!) 1(2nnn 1221n) 12(n计算积分目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用!3721!252132111642xdx221e20!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足4nxxde22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用例例5xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解, 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn4r 00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0计算积分 由于目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用二、微分方程的幂级数解法二、微分方程的幂级数解法),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf202010)()(xxaxxayy代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21naaa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 nnxxa)(01. 一阶微分方程的情形一阶微分方程的情形目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用例例6 2yxy求方程解解nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 5220121xxy根据初始条件, 设所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用2. 二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程问题0)()( yxQyxPy定理定理 nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!1e0nnxxn)211e(2xxxyx注意到:此题的上述特解即为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用三、欧拉三、欧拉(Euler)公式公式)i(1nnnvu )i(1nnnvu 绝对收敛,1nnu)i(1nnnvu 收敛 .,1uunn,1vvnn若nnnvui1221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛由于, 故知 欧拉 则称 , 且其和为.ivu 收敛收敛则称 绝对收敛绝对收敛.目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用定义定义 复变量yxzi的指数函数为)(!1!211e2zznzznz易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyynyyy)(i!1)(i!31)(i!21i1e32innynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyysini的幂级数展式一致.目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用xxxsinicoseixxxsinicosei（欧拉公式）xcos（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyOyxziyxzisinicos rier则xsin欧拉 2eeiixx2eeiixx目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用据此可得n)sini(cosnnsinicos(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121eeezzzz特别有yx ie)sin(coseyiyx),(Ryxyx ieyxiee )sini(coseyyxxerxxyyOyxzi第六节 yxzisinicos rier第七节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用 补充题补充题 1. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;exyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和. (2002考研) 解解! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn(1)目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xyyye , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:i23212, 1r齐次方程通解为)23sin23cos(e2121xCxCYx设非齐次方程特解为,exAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用xe31)23sin23cos(e2121xCxCyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(e3123cose3221xxxx! )3(30nxnn目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用2.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解 ,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 故方程满足定理条件.设方程的解为,0kkkxay代入 : 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann因方程特点,不用将 P, Q 进行展开目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的两个线性无关特解. 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学幂级数的应用欧拉欧拉 (1707 1783)瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理 , 积分学原理等, 为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.