高等数学微分方程第六节可降阶课件

高等数学微分方程第六节可降阶第十二章第十二章 微分方程微分方程 第六节)()(xfyn),(yxfy 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可降阶高阶微分方程v v v ),(yyfy 高等数学微分方程第六节可降阶一、一、)()(xfyn令令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型型 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶例例1. .cos2xeyx 求解解解 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶,00tx例例2. 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 Ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大随着时间的增大 , 此力此力 F 均匀地减均匀地减直到直到 t = T 时时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点, 解解 据题意有据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF)1(0TtF0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数: F = F (t) . 小小,求质点的运动规律求质点的运动规律. 初速度为初速度为0, 且且对方程两边积分对方程两边积分, 得得 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶120)2(ddCTttmFtx利用初始条件利用初始条件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶),(yxfy 型型设设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp则得则得),(1Cxy再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶例例3. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解 ),(xpy 设,py 则代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分离变量分离变量)1(d2d2xxxpp积分得积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy两端再积分得两端再积分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为因此所求特解为 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶例例4. 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解 取坐标系如图取坐标系如图. 考察最低点考察最低点 A 到到sg( : 密度密度, s :弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有有,cosHTsa1tanMsgoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: T A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得HA 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶MsgoyxHA211yya , aOA 设则得定解问题则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶三、三、),(yyfy 型型令令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为故方程化为),(ddpyfypp设其通解为设其通解为),(1Cyp即得即得),(1Cyy分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶例例5. 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)故所求通解为故所求通解为xCeCy12解解),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶M : 地球质量地球质量m : 物体质量物体质量例例6. 静止开始落向地面静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力不计空气阻力). 解解 如图所示选取坐标系如图所示选取坐标系. 则有定解问题则有定解问题:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,ddtyv 设tvtydddd22则tyyvddddyvvdd代入方程得代入方程得,dd2yyMkvv积分得积分得122CyMkv一个离地面很高的物体一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由受地球引力的作用由 yoRl上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶由于由于 y = R 时时,gy 由原方程可得由原方程可得MRgk2因此因此, 落到地面落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶注注 若此例改为如图所示的坐标系若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得解方程可得)11(22lylMkv问问: 此时开方根号前应取什么符号此时开方根号前应取什么符号? 说明道理说明道理 .则定解问题为则定解问题为上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶例例7. 解初值问题解初值问题解解 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得代入方程得yeppydd2积分得积分得1221221Cepy利用初始条件利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据根据yepxydd积分得积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为故所求特解为xey1得得上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积上述两直线与上述两直线与 x 轴围成的三角形面轴围成的三角形面例例8.)0()(xxy设函数二阶可导二阶可导, 且且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点上任一点 P(x, y) 作该曲线的作该曲线的切线及切线及 x 轴的垂线轴的垂线,1S区间区间 0, x 上以上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点在点 P(x, y) 处的切线倾角为处的切线倾角为 ,满足的方程满足的方程 ., 1)0(y积记为积记为( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶再利用再利用 y (0) = 1 得得利用利用,1221SS得得xttyyy021d)(两边对两边对 x 求导求导, 得得2)( yyy 定解条件为定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得利用定解条件得,11C, yy 再解得得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 则上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶思考与练习思考与练习1. 方程方程)(yfy 如何代换求解如何代换求解 ?答答: 令令)(xpy 或或)(ypy 一般说一般说, 用前者方便些用前者方便些. 均可均可. 有时用后者方便有时用后者方便 .例如例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时遇到开平方时, 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号. 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶 P292 1 (5) , (7) , (10) ; 2 (3) , (6) ; 3 ; 4 作作 业业 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶oyx) 1 , 0(A发，速度大小为发，速度大小为 2v, 方向指向方向指向A. )0 , 1(),(yxBtv提示提示: 设设 t 时刻时刻 B 位于位于 ( x, y ), 如图所示如图所示, 则有则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1dd12txydd12去分母后两边对去分母后两边对 x 求导求导, 得得xtvxyxdddd22又由于又由于ytv 1x设走私船设走私船 A 从点从点( 0, 1 )出发出发, 以大小为以大小为 备用题备用题常数常数v 的速度沿的速度沿 y 轴正向运动轴正向运动, 缉私船缉私船 B 从从 (1, 0 ) 出出 试建立缉私船试建立缉私船 B 的运的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件动轨迹应满足的微分方程及初始条件. 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第六节可降阶2)dd(121ddxyvxt0121dd222yxyx代入代入 式得所求微分方程式得所求微分方程:其初始条件为其初始条件为, 01xy11xyoyxA)0 , 1(),(yxBtv 上页 下页 返回 结束