数学专业毕业论文浅析二元函数中全连续与单变元连续

江西师范大学2011届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 浅析二元函数中全连续与单变元连续The continuous building-up of binary function with Univariate continuous姓 名： 学 号： 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2011年3月11日 浅析二元函数中全连续与单变元连续XXX【摘要】本文章是先对一元函数连续概念的了解，在从中推出二元函数的连续与单变元连续。并通过理解二元函数与单个变量关于其余变量之间的联系，建立了二元函数连续的一个充要条件。而且这个结论包含了二元函数全连续与单变量连续之间的转换关系的讨论。本文还从几个定理中证明了并总结了二元函数全连续与单变量连续之间的具体关系。【关键词】二元函数 连续性 全连续 单变量连续 The continuous building-up of binary function with Univariate continuous Xiong dongping【Abstract】Dual function of continuous and single variable continuous are a cricular function continuity of the concept of promotion, by understanging the binary function to a variable regarding the remaining variables local consistent concept, established binary function condinuous a sufficient and necessary condition, this conclusion is briefly introduced the continuity of binary function with univariate continuously, and from a few examples outlining between the concrete relationships.【Key words】 Binary function continuity full continuous Univarate continuous 目录1 引言12 一元函数 12.1一元函数的定义 13二元函数13.1二元函数的定义13.2 二元函数的极限23.3 二元函数的连续43.3.1 二元函数的各种连续性53.3.2 二元函数连续性的证明64 全连续与单变量连续之间的关系85 结束语13参考文献14致谢151引言二元函数的连续与单变量连续都是一元函数连续性概念的推广，几乎所有的数学分析教材都会讨论二元函数这两种连续性的关系。这方面熟知的结论是：二元函数在一点是连续的蕴涵着在这一点也是单变量连续的。但反过来，二元函数在一点分别对各变量连续并不能保证该函数在这一点是连续的。例如：二元函数在原点处显然不连续，但由于，因此在原点处对自变量和分别连续。 本文继续这方面的研究，通过理解二元函数对某个变量连续关于其余变量局部一致的概念，建立了二元函数的连续与对单变量连续的关系，几个已有的例子都是本文主要结果的简单结论。2 一元函数定义1 设函数在某点内有定义。若 则称在点连续。3 二元函数3.1 二元函数的定义 定义 设平面点集D，若按照某对应法则，D中每一点都有唯一确定的实数z与之对应，则称为定义在D上的二元函数（或称为D到R的一个映射），记作 且称D为f的定义域；PD所对应的为在点P的函数值，记作z=或；全体函数值的集合为的值域，记作，通常还把的坐标与称为的自变量，而把称为因变量。为了方便起见，由式所确定的二元函数也记作 或 例1 函数的图象是中一个平面，其定义域是，值域是3.2 二元函数的极限定义 设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数。若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有 则称在上当时，以为极限，记作 或在对于不致产生误解时，也可以简单地写作 当，分别用坐标，表示时，式也常写作 例 2 依定义验证 证 因为先限制在点的方邻域 内讨论，于是有 所以 设为任给的正数，取，则当时就有 定理 的充要条件是：对于D的任一子集，只要是的聚点，就有推论 设是的聚点。若不存在，则也不存在推论 设是它们的聚点，若存在极限, 但，则不存在推论 极限存在的充要条件是：对于D中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛例2 证明下列函数在处全面极限不存在： 提示 1）令或化为极坐标2）分母当时为零，因此可以考虑沿与相切的高次曲线的路经的极限，例如令，令取极限。得极限与有关。3）可比较与之二路径的极限。4）除点外，处处连续，但在点二累次极限存在不相等。例3 讨论解 当动点3.3 二元函数的连续性 目前，国内教材在讨论二元函数的连续性时对定义域有不同的规定。如文献要求是定义在点集D上的二元函数即可，它只用语言来定义二元函数在一点的连续性，按其定义可推出D中的每一个孤立点都是的连续点；文献要求是定义在平面区域D上的二元函数，它用极限来定义在点的连续性；文献对定义域没有明确规定，但是同文献一样用极限来定义在一点的连续性，这样可推所知谈论的连续点必是定义域的聚点。经过比较，我们认为文献的处理方法更为合理。理由是文献对连续点要求过于宽松，孤立点是连续点既没有理论上的意义，也与我们的直观认识不相符；而文献中对的定义域的要求也过于严格，比如是定义在平面上一条曲线上的函数其中。这时该函数表示平面上一条不间断的抛物线，但由于定义D域不是平面区域，因此文献的要求则不能认为其中的点式连续点，这也与直观不符。3.3.1 二元函数的各种连续性本文限定是定义在平面区域D上的二元函数，我们回顾二元函数的连续性和单变量连续的概念定义 设 。这里也可以具体的写为圆形领域或方形领域，所以也经常表示为定义5 ，若对任何的正数，总存在相应的正数只要就有 （1）则称在点对变量连续关于局部一致若将式（1）改为则称在点对变量连续关于局部一致。 定义6 ，若对任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有 （2）则称在点对变量连续关于一致若和式（2）相应地改为和，则称在点对变量连续关于一致。 定义7 设二元函数在区域D有定义，若对，当时，总有成立，则称在区域D上关于单变量x是单调的.注1：由以上定义容易得出以下关系：（1）若在点；（2）若；（3）若在点对自变量连续关于局部一致，则有在点对自变量，连续。 3.3.2二元函数连续性的证明 要证明在处连续，即要：，找，使得，时，恒有（或等价地，当时，有）。 例4 设及分别在区间上连续，定义试用“”方法证明在内连续。 证明：因为，分别在上连续，故使得，于是记，于是取时，则时，恒有，证毕 应当指出的是，如果未限定用方法证明，这道题用连续函数运算性质做会更快。因为与分别为X与y的一元函数，看做二元函数自然也是连续的，用连续函数的乘法定理，便知连续。例5 讨论它在点处的连续性。解令。因为 所以时，在点处连续，时，在点处不连续。4 全连续与单变量连续的关系二元函数的“全连续”是指在二维空间连续，相应地，“按单变量连续”可以理解为函数分别对和连续。关于全连续与按单变量连续之间的关系，我们得出了下面结果：二元函数全面连续必按各单变量连续，相反的如果按各单变量连续的话，二元函数不一定全面连续，只有补充某些条件之后，才能保证其全面连续。定理2 函数在区域D连续，则必按每一个单变量连续。 证明：由定义3、定义4、和定义5可以直接可得。 例6 在处关于单变量与都是连续的，但在不会全面连续二元函数各单变量连续时，我们需要在其初始条件下添加哪些条件才会使二元函数全连续了？我们先看下面例题。定理3 若分别是单变量及的连续函数，并且对固定变量（或变量）时，对变量（或变量）是单调递增的，则是二元连续函数。证明：因对连续，所以当充分小时，有 这里点的坐标分别为。又因为F对连续，所以存在，当充分小时，且当时，有当时，有 如图，坐标分别为综上所述，对单调增加，则又所以这表明是二元连续函数。我们观察到，例题7中的两个条件同隐函数定理的条件十分相似。隐函数存在唯一性定理条件共有四条：(i) 函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv）.在整个例题的证明过程中，我们可以利用条件（iii）（iv）以及连续函数的保号性，证得对严格单调。接着运用条件（i）推出分别对和连续，再加上初始条件（ii）,最终导出结论，即在点的邻域内，方程=0唯一地确定了一个定义在某区间内的函数，使得内连续不难看出，此证明过程的顺序为：条件（i）（ii）（iii）（iv）条件（ii）, 分别对和连续，且对单调存在满足条件的唯一的隐函数。中间过程的条件（ii）外正是例题7的条件，也就是说，例题7的条件是隐函数定理条件的弱化。换句话说，例题7的条件与一定的初始条件相结合，可以直接推出隐函数定理的结论。如果把初始条件改为对单调递减，关于分别连续。那么结论是否同样成立呢？我们不妨来验证一下。定理4 若分别是单变量及的连续函数，并且对固定变量（或变量）时，对变量（或变量）是单调递减的，则是二元连续函数。 任取，故只需要证明在处连续。因为对是连续的，所以，当时，即 又因为对时连续的，同样对上面的，当时，有即 亦即 这里，则当时，有即 ，得证我们可以从以上两个例子可以知道二元函数按单变量连续时，只需要添加条件：对其中一个变量单调，就可以确保其全面连续。定理5 设分别对和连续，且关于对一致连续（或关于对一致连续），证明全面连续证明：对于任意的点，又因为在处对连续，所以对于选定的，使得时，有则取由的任意性可得，全面连续。注意 关于对一致连续与关于对一致连续具有对称性，它们可以概括为关于一个变量对另外一个变量一致连续。定理6 在所有区域上设分别对和连续，在下列条件之一满足时，则全面连续。1）对其中一个条件满足利普希茨（Lipschitz）条件2）D为有界闭区域，在包含D的某个区域G上有意义，且在G上对变量或满足局部Lipschitz条件证明 1），由于对连续，从而存在，使得当，则 现取 所以在点处连续，即全面连续.2）由条件知，G为有界闭区域D的一个开覆盖，根据有限开覆盖定理知，G中必存在有限个开区间，它构成D上的一个开覆盖，不妨设这有限个开区间集为H，任取，从而存在,使在连续，当时，有现取时，必然有且 所以在H上全面连续，即在D上也全面连续定理7 设在区域上对连续，对满足利普希茨条件：其中，为常数，试证明在G上处处连续。证明 首先，若=0，则由且在G上对连续，即知在G处处连续。其次，若对任给聚点因为对连续，所以当时，有取，则当时，有所以在点处连续，由的任意性即知在G上处处连续。总结例8、例9、例10得出结论：加上以下任一条件，才能使“按单变量连续” “全面连续”（1）对其中一个变量单调；（2）关于一个变量对另外一个变量一致连续；（3）对其中一个变量满足Lipschitz条件；（4）包含D（有界闭区间）的某区域G上有定义，且在G上关于一个变量满足局部Lipschitz条件。5 结束语本文通过对一元函数概念的了解，引入二元函数的定义。在对二元函数的连续性的分析中讨论了二元函数中全连续与单变量连续之间的关系。参考文献 华东师范大学数学系。数学分析（上、下册）（第三版）。北京：高的高等教育出版社，2001.刘玉琏，等。数学分析（上、下册）（第四版）。北京：高的高等教育出版社，2003。陈传璋，等。数学分析（上、下册）（第二版）。北京：高的高等教育出版社，1983。陈森林，薛春华。数学分析（第二版）。北京：清华大学出版社，2006。裴礼文。数学分析中的典型问题与方法（第二版）。北京：高的高等教育出版社，2006。刘玉琏，傅沛仁。数学分析讲义，1984.期刊论文。二元函数全连续与偏连续关系的探讨。太原城市职业技术学院学报，2005期刊论文。一元函数与二元函数部分性质的比较。科技信息（学术版），2006致谢不积硅步何以至千里，本文能够顺利的完成，我要感谢覃锋指导老师对我的悉心指导和严格要求。从课题的选择、方案论证到具体设计和调试，无不凝聚着覃老师的心血和汗水，他的循循善诱的教导和不拒一格的思路给予我无尽的启迪。在此我衷心的祝福老师身体健康，工作顺利。14