流体力学流体力学基本方程

会计学1流体力学流体力学基本方程流体力学流体力学基本方程 为什么河道较窄的地方流速较大？ 高楼顶层的水压为什么较低？思考3思考4一.拉格朗日法与欧拉法：设某质点的轨迹为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)为质点的初始位置坐标。研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法：上式中用粗体字母表示矢量。,xyzuvwttt速度：加速度：222222,xyzuxvywzaaatttttt研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。一.拉格朗日法与欧拉法： 研究流场空间中某个点的流动参数，并给出这些参数的分布。3-1 描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法10()limtot vva上式中用粗体字母表示矢量。 由速度分布求加速度：3-1 描述流体运动的方法0( , , , )V x y z tt+t 时刻位于(x+x, y+y, z+z, t+t),速度为：1(,)V xx yy zz ttV0和V1的关系为：10VVVVVVtxyztxyz 3-1 描述流体运动的方法(泰勒展开式) 加速度：而：10txyztxyz VVVVVV注意到：000lim,lim,limtttxyzuwttt 因此：uvwtxyzVVVVa10()limtot vva3-1 描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法uvwtxyzVVVVa加速度的投影值：xuuuuauvwtxyzyvvvvauvwtxyzzwwwwauvwtxyz3-1 描述流体运动的方法uvwtxyzVVVVa 2.非恒定流（非定常流动）：( , , , )( , , , )uu x y z tpp x y z t例如：或00uvwptttt，流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。 流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时间而变化，这样的流动就称为非恒定流。3-1 描述流体运动的方法二.恒定流与非恒定流： 迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。3-1 描述流体运动的方法三.迹线和流线： 流线：3-1 描述流体运动的方法三.迹线和流线：3-1 描述流体运动的方法三.迹线和流线：流线和迹线的区别：3-1 描述流体运动的方法三.迹线和流线： 设流线微段为：该点的流体的速度为：因为：dddxyzuvwddddsxiy jzkVuiv jwk 故两矢量的坐标分量对应成比例：/dVs 3-1 描述流体运动的方法1. 流管：2. 流束：3. 元流： 在流场中任一条封闭曲线（不是流线）上的每一点作流线，这些流线所围成的管状表面称为流管。流管内的一束运动流体称为流束。 如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管,微流管内的流束称为元流。无数元流的总和称为总流。4. 总流：3-1 描述流体运动的方法四.流管、流束、元流、总流：dnAQVA过流断面：与流线正交的横断面。 平均流速：V = Q / A 对曲面A,（体积）流量 Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。 3-1 描述流体运动的方法五.流量： 2. 渐变流与急变流： 在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀流；否之，则为非均匀流。 在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。3-1 描述流体运动的方法六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：3-1 描述流体运动的方法3-1 描述流体运动的方法 若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的函数，这种流动称为一元流动。3-1 描述流体运动的方法七.一元流动、二元流动、三元流动：3-1 描述流体运动的方法动3-1 描述流体运动的方法求：t = 0 时，经过点A（-1，-1）的流线方程。ddxyxy1lnlnxyC 已知：u = x + t，v = -y + t, w = 0解： t = 0时，u=x，v=-y, w= 0 ；代入流线微分方程：流线过点A（-1，-1） C =1cyx1x y3-1 描述流体运动的方法流线方程为：解： 流线微分方程为： dddxyzuvwddd25xyzxyzd1 d(2 )d(5)225xyzxyz 由上述两式分别积分，并整理得： 3-1 描述流体运动的方法d1 d(2 )22dd(5)5xyxyxzxz05221czcxcyx即流线为曲面 和平面 的交线。1cyxxc zc2250将 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入可确定 c1 和c2 12142cc，故通点(2,4,1)的流线方程为： 0524zxyx3-1 描述流体运动的方法系统：控制体：包含确定不变的物质的集合。一个空间固定体称为控制体。一.积分形式的连续性方程：系统的流体质量为：( )( )( )dtM tt质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。0d()( )lim0dtMM ttM ttt 我们选取 t 时刻系统的体积 和表面积 A 为控制体的体积和表面积。3-2 连续性方程()( )()( )()d( )dtttM ttM tttt ( )( )()d()d( )dttttttt( )( ) ()( )d()d ()( )d() dtntAtttttttttt vAt 3-2 连续性方程0d()( )lim0dtMM ttM ttt 对于任一物理量（如动量）：dddddnAvAtt 3-2 连续性方程ddddddnAMdvAttt 单位体积的某物理量。即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出率之和。由于质量守恒，因此：dd0nAvAt 此方程称为积分形式的连续性方程。dddddnAvAtt 3-2 连续性方程定常流动：d0nAvA 一元流动：1V1A1=2V2A2不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2dd0nAvAt 3-2 连续性方程 二元流动，取控制体如图，长为dx, 宽为dy。设控制体中心点的速度分别为u，v，密度为。第一项为：dd dx ytt3-2 连续性方程dd0nAvAt 二.微分形式的连续性方程：考虑第二项：左侧面流入质量： ddd22xuxuyxx右侧面流出质量：x方向净流出的质量为：()d dux yxdnAvA 3-2 连续性方程单位时间内控制体表面的净流出量。dd+d22xuxuyxxdddd+dd2222xuxxuxuyuyxxxx同理,单位时间内y方向净流出的质量为：因此：()()d dd dd d0uvx yx yx ytxy即：()()0uvtxy三元流动：()()()0uwtxyz3-2 连续性方程()d dvx yx对于定常流动（恒定流）：()()()0uwxyz当=常数时（不可压缩流体）：0uwxyz()()()0uwtxyz3-2 连续性方程x方向： max = F xd d dxx y z a 从理想流体中取出边长分别为dx、dy和dz的微元平行六面体。设微元体中心点的速度分量为u、v和w，其压强为p、密度为。理想流体的动压强与液体的静压强的特性一致。ddd d dd dd d22xp xp xfx y zpy zpy zxx一. 理想流体的运动微分方程： 1xxpafx同理：即：理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。ypfayy1zpfazz13-3 流体运动的微分方程二.粘性流体的运动微分方程（N-S方程）简介： 2222221xxpuuuafxxyz2222221yypvvvafyxyz2222221zzpwwwafzxyz在N-S方程中，若 = 0（理想流体），则N-S方程变为欧拉运动微分方程。3-3 流体运动的微分方程1sspafssuuauts加速度：如果流动恒定，则：考查理想流体沿流线s的运动方程：1. 方程的推导：2dddd2suuauss2const.2pugz如果为常数：积分得：1 ddddppssddcosddszfgggzss 2ddd0d2ddupgzsss1sspafs沿流线积分2const.2puzHgpZ和：位置水头 (Z)、压强水头( p / ) 与流速水头 (u/2g) 之和称为总水头（H）。22ug：这就是重力作用下，理想不可压缩流体恒定流沿流线的伯努利方程。物理意义和几何意义见第二章物理意义单位重量的流体所具有的动能几何意义流速水头恒定元流伯努利方程的物理意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上机械能守恒。恒定元流伯努利方程的几何意义：理想、不可压缩流体在重力场中作恒定流动时，沿元流各断面上总水头保持不变。由于元流的极限状态就是流线，故沿流线的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程。3-5 伯努利方程1rrpafr2ruar 21uzppggzrrrr dcosdrzzfgggrr 3-5 伯努利方程0rpgzr渐变流和急变流的概念（复习） ： 如果某处的流线的曲率半径非常大,则此处的流动称为渐变流；否则称为急变流。const.ppzzgpzC2upgzrr 这时沿流线的法向有：在渐变流断面上有：3-5 伯努利方程dd0nAvAt ()()()0uwxyz0uwxyz2const.2puzHgconst.ppzzg理想流体沿流线的法向有：理想流体沿流线(或元流)的伯努利方程：微分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：1xxpafxypfayy1zpfazz1理想流体的运动微分方程： 研究总流在断面1-1和2-2之间的部份。取其中某一元流，速度和断面积分别为u1、dA1和u2、dA2。u1dA1 = u2dA2 或 dQ1=dQ22211221222pupuzzgg12221122111222dd22AApupuzu AzuAgg3-5 伯努利方程3332ddAAuAVAV AV Q31dAuAAV22d22AuVu AQgg故：dAppzu AzQ3-5 伯努利方程由于在渐变流断面上有：pzC令：式中： 称为动能修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.03-1.07，近似取为1。 12QQ2211 1222112222pVpVzQzQgg2211 12221222pVpVzzgg3-5 伯努利方程 实际流体具有粘性，在流动过程中，摩擦阻力做功会消耗掉一部分机械能。设单位重量流体从总流的1-1断面运移至2-2断面的机械能损失为hw1-2。则：2211 1222121 222wpVpVzzhgg3-5 伯努利方程水力坡度J：单位重量流体沿总流单位长度上的机械能损失。ddddwhHJss 22112211221 222wpVpVzzhgggg或：3-5 伯努利方程一.伯努利方程的应用条件：单位重量流体从1-1断面流至0-0断面：单位重量流体从2-2断面流至0-0断面：2200011 1101 022wpVpVzzhgg22000222202 022wpVpVzzhgg3-6 伯努利方程的应用前提：过流断面流速均匀1. 有能量输入：22112211221 222mwpVpVzHzhgg3-6 伯努利方程的应用 式中Hm为单位重量液体流经水泵所获得的机械能，也称为水泵的扬程。这时的伯努利方程为：22112211221 222mwpVpVzHzhgg221212122122mwVVzzhggppH若，且忽略。有：。22112211221 222mwpVpVzHzhgg3-6 伯努利方程的应用 式中Hm为单位重量液体传递给水轮机的机械能，也称为水轮机的工作水头。4. 方程中的动压强方程中的动压强p1和和p2既可为绝对压强，既可为绝对压强，也可为相对压强。但也可为相对压强。但p1和和p2必须同为绝对压必须同为绝对压强或同为相对压强。强或同为相对压强。5. 分析和考虑两过流断面间的能量损失分析和考虑两过流断面间的能量损失hw1-2。解题时应注意以下几点：3-6 伯努利方程的应用 如图，对断面0-0和断面1-1列伯努利方程，不计能量损失，有：上式中：A为小孔的面积，A为1-1断面的面积。220001 10122apVpVzzgg10122Vg zzgh12QV AAgh解：3-6 伯努利方程的应用 如图，在1-1及2-2断面列伯努利方程，不计能量损失有：2211 12221222pVpVzzgg222221212112VAgAppzz1122V AV A11322443pzzpzzzz解：3-6 伯努利方程的应用由于：故：又因为：所以：122124342311zpppzzzzzz ：考虑能量损失及其它因素所加的系数（1）22211 21g hVAA 222221112VAhgA22QV A3-6 伯努利方程的应用流量为：201011022()2zzppuggguppg h3-6 伯努利方程的应用解：对1-1和2-2断面列伯努利方程：水泵的有效功率：211 112222222mwpVzHgpVzhg21mwwHzzhhh()600WmwPQHQ hh3-6 伯努利方程的应用水泵抽水,已知: Q=8.510-3m3/s, h=6.3m, hw=0.9m (水柱)。求：水泵的有效功率P=？解：对0-0和1-1断面列伯努利方程，不计损失：211 1012appVzzggg1apghp112221.784m/saVppgh2312.737m /s4dQV3-6 伯努利方程的应用 有一虹吸管，已知：d=0.1m, hWAC=2.12m，hWCB=3.51m, h=6.2m，H=4.85m。求：Q = ? pa pc= ?解：1) 对水池液面和管道出口断面列伯努利方程：22aawACBppVhhg2 ()3.344m/swACBVg hh30.02626m /sQVA3-6 伯努利方程的应用2) 对水池液面和管道C断面列伯努利方程：73946Paacpp22acwACppVHhg27.54m2acwACppVHhg3-6 伯努利方程的应用质点的动量方程：质点系（系统）的动量方程：在3-2中知：对于任一物理量（如动量）有：dddddnAvAtt ddmVFt ddmVFt dddVFt 即：V ddAFfpn A()ddddnAAVtVvAfpn At 对于恒定总流，有：dddnAAVvAfpn AF dddddnAvAtt dddVFt 若令：对于控制体不计粘性力：对于如图所示的不可压缩液体的恒定总流，有：ddAAu QVu AVQ 21ddQQuQu QF 212221 11ddAAu uAu u AF 1122dddQu AuA两断面1-1和2-2为均匀流断面或渐变流断面。dddnAAVvAfpn AF 3-7 动量方程及其应用或：这里：()()VQVQF 流出流入 在求解实际问题时，一般采用直角坐标系中的投影形式：()()()()()()xxxyyyzzzFVQVQFVQVQFVQVQ流出流入流出流入流出流入动量方程中的外力：包括质量力(重力)和表面力。21dAuAAV式中： 称为动量修正系数，与断面速度分布有关。工程中其值约为1.01-1.03，近似取为1。 不可压液体恒定总流的动量方程：3-7 动量方程及其应用物理意义：流出控制体动量-流入控制体动量=外力和 3 3）分析作用在控制体内液体上的所有外力）分析作用在控制体内液体上的所有外力及渐变流断面上及渐变流断面上 的流速的流速V；确定力和速度的方确定力和速度的方向，并将其在坐标轴上投影。向，并将其在坐标轴上投影。 4 4）列动量方程，并求解之。列动量方程，并求解之。动量方程一般用于求解液体作用在固体壁面上的力。3-7 动量方程及其应用平板对射流的反作用力为F，有：F与T大小相等，方向相反。00FQV0FQV3-7 动量方程及其应用平板为光滑平板，不计水头损失：gVpZgVpZaa222112002010VVVV；同理故：1 12200()cos0QVQVQ V012QQQ10201cos1 cos22QQQQ，000()sinFQV00sinFQ V3-7 动量方程及其应用对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失有：gVphgVphaa22222211BhVBhVQ2211又：以上两式联解，可得：121.95m/s,6.095m/sVV31 116.575m /sQVh B所以：3-7 动量方程及其应用书上P91例3-16在水平方向列动量方程，有：)(22122211VVQBhhBhhF221221()()2BFhhQ VV24812NF。3-7 动量方程及其应用解：对1-1及2-2断面列伯努利方程，不计水头损失，有：22112222pVpVgg1122QV AV A在x方向列动量方程，有：112221cos(cos)xFp Ap AQ VV可求出V2、A2。 3-7 动量方程及其应用112221cos(cos)xFp Ap AQ VV在y方向列动量方程，有：222sinsinyFp AQV222sinsinyFp AQV112221cos(cos)xFp Ap AQ VV3-7 动量方程及其应用图1d2122122224 1.81.02(m/s)1.544 1.82.29(m/s)14QVdQVd解：由连续性方程知： 在1-1及2-2两断面列伯努利方程(不计损失，用相对压强)： 3-7 动量方程及其应用2211 12220022pVpVgg2211 12220022pVpVggppVV2112222()498101210222922.( .)2389.9(kN/m )214 9.8 10392(kN/m )p 取控制体如图2建立坐标系xoy：图2221111122222221.5392692.7 (kN)44692.7kN1389.9306.2(kN)44306.2kNxxdPpPPdPpPP 22211222ppVVgg121.0取3-7 动量方程及其应用11221.02 (m/s);2.29(m/s)xxVVVV 显然，支座对水流的作用力R的作用线应与x轴平行。设R的方向如图2所示 ：RRx在x轴方向列动量方程： FQVVxxx()2211图2取则即2112211069273062118229102 . ,().( .)PPRQ VVRxxxxx384.2(kN) ()R方向水平向左 根据牛顿第三定律，支座所受的轴向力R与R大小相等，方向相反 (R的方向水平向右)。 3-7 动量方程及其应用思考4 设流线微段为：该点的流体的速度为：因为：dddxyzuvwddddsxiy jzkVuiv jwk 故两矢量的坐标分量对应成比例：/dVs 3-1 描述流体运动的方法dnAQVA过流断面：与流线正交的横断面。 平均流速：V = Q / A 对曲面A,（体积）流量 Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。 3-1 描述流体运动的方法五.流量：系统的流体质量为：( )( )( )dtM tt质量守恒: 系统的质量在任何时刻都相等。0d()( )lim0dtMM ttM ttt 我们选取 t 时刻系统的体积 和表面积 A 为控制体的体积和表面积。3-2 连续性方程定常流动：d0nAvA 一元流动：1V1A1=2V2A2不可压缩流体的一元流动：V1A1=V2A2dd0nAvAt 3-2 连续性方程dd0nAvAt ()()()0uwxyz0uwxyz2const.2puzHgconst.ppzzg理想流体沿流线的法向有：理想流体沿流线(或元流)的伯努利方程：微分形式的连续性方程：积分形式的连续性方程：1xxpafxypfayy1zpfazz1理想流体的运动微分方程：一.伯努利方程的应用条件：