高中数学必修4复习

12三角函数部分三角函数部分3一、任意角的三角函数1、角的概念的推广角的概念的推广正角正角负角负角o的终边的终边),(零角零角一条射线逆时针旋转为正，顺时针方向旋转为负。零角零角（1）射线逆时针顺时针4（2）象限角和轴线角. 使角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边在坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）若角的终边在坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.5(2)象限角、象限界角象限角、象限界角( (轴线角轴线角) )象限角象限角第一象限角第一象限角: k 360 k 360+90, k Z; (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角: k 360+90 k 360+180, k Z; (2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: k 360+180 k 360+270, k Z; (2k + 2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角: k 360+270 k 360+360, k Z. 2 (2k + 2k +2 , k Z 或或 2k - - 2k , k Z ) 23 或或 k 360- -90 0)或或向右向右( 1)或或伸长伸长(0 1)或或缩短缩短(0 A1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 0)平移平移| |/ 个单位个单位)sin()(sinxxy27总结总结: minmax21xfxfAsin().yAxb minmax21xfxfb利用利用 ，求得，求得2T28图像图像定义域定义域值域值域最值最值递增区间递增区间递减区间递减区间奇偶性奇偶性周期周期对称轴对称轴xysinxycosxytan2522320 xy21- -12522320 xy1- -123223xyOxR 1,1y xR 1,1y Zkkxx,2Ry22xk时，时，1maxy22xk时，时，1miny2xk时，时，1maxy2xk 时，时，1m iny 无最大值无最小值-2,222xkk32,222xkk2,2xkk 2,2xkk Zkkk),2,2(无奇函数奇函数偶函数偶函数T=2T=2奇函数奇函数T=2T=2T=T=,2xkkZ(,0) kkZ,xkkZ(,0)2 kkZZkk),0,2(无29)321sin(xy求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间:1sin23yx 增增sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz 增增增增减减cos()cos 30t ta an n+ +t ta an nt ta an n( (+ +) )= =1 1- -t ta an nt ta an nt ta an n- -t ta an nt ta an n( (- -) )= =1 1+ +t ta an nt ta an n变形：变形：t ta an n+ +t ta an n= =t ta an n( (+ +) )( (1 1- -t ta an nt ta an n) )t ta an n- -t ta an n= =t ta an n( (- -) )( (1 1+ +t ta an nt ta an n) )tantantantan(1tan(1tantantan)=)=tan()tan()sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(cos()=coscos+sinsinsinsincoscoscos()?31sincosxbxa化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22sincoscos sinxabx22sinabx22cosabx32cossin22sin22sincos2cos2tan1tan22tan一、倍角公式一、倍角公式)S(2)C(2)T(22sin212cos1cos22cos222cos1sin222cos1cos2降幂扩角公式降幂扩角公式33公式变形：公式变形：2)cos(sin2sin12cos22cos12sin22cos122cos1cos222cos1sin2升幂缩角公式升幂缩角公式降幂扩角公式降幂扩角公式34三角函数常规求值域问三角函数常规求值域问题题的值域求函数1cossin32sin2. 22xxxy的值域求函数3sin2sin. 3xxy的值域求函数3cos2sin. 4xxy的值域求函数23sin22cos21)(. 1xxxf35二、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：|360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制）（弧度制）例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角036002到1950122（）、19（ ）、34812913原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。361 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别Zkkk2 ,2xyOxyOxyOxyO3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相互相垂直的两条直线上垂直的两条直线上”的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、终边相同的角37(1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法 | =2k + , kZ. (2)象限角、象限界角象限角、象限界角( (轴线角轴线角) )象限角象限角第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角:(2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 23 第四象限角第四象限角:2 (2k + 2k +2 , k Z 或或 2k - - 2k , k Z ) 23 一、角的基本概念一、角的基本概念3839平行向量的定义：平行向量的定义： 长度（模）为长度（模）为1 1个单位长度个单位长度的向量的向量长度（模）为长度（模）为0 0的向量，记作的向量，记作 0 方向相同或相反的方向相同或相反的非零向量非零向量规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行单位向量概念：单位向量概念： 零向量的概念：零向量的概念： 40相等向量的定义：相等向量的定义： 共线向量与平行向量的关系：共线向量与平行向量的关系： 长度相等长度相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量任一组平行向量都可移到同一条直线上任一组平行向量都可移到同一条直线上 所以所以平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量411.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :aAbBCba aaAbBbOCba 特点特点:首尾相接首尾相接特点特点:共起点共起点b a b Ba ABAab 2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :O特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数42如下：，它的长度和方向规定的积是一个向量，记作与向量实数aa aa1 的方向相同；的方向与时，当aa 02的方向相反；的方向与时，当aa 0. 0 00 aa时，或当特别地，43共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得abab(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理定理的应的应用用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题: )0(三点共线、CBABCBCAB44平面向量基本定理平面向量基本定理:如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向量量 有且只有有且只有一对实数一对实数 ,使使21ee、a21、2211eea. 21所有向量的一组基底叫做表示这一平面内，其中ee45向量的夹角向量的夹角:两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则)1800(abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：00180,0180 与与 反向反向abOABab0 与与 同向同向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的OABba46坐标坐标(x,y)一一对应一一对应 2121yyxxba且向量向量a1122( ,), (,)A x yB xyAB 2121(,)xx yy 一个向量的坐标等于表示此向量的有向一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的线段的终点的坐标终点的坐标减去减去起点的坐标起点的坐标.O OA AB BP P. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且则上，在直线若点三点不共线，、已知重重要要结结论论47OABab 1BbOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB| b | cos| b | cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的投影方向上的投影cosa bab平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度的长度 |a|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的投影上的投影 |b|cos 的乘积的乘积平面向量数量积平面向量数量积48 1122,axybxya b 非非零零向向量量2121yyxxba 则设：长度公式向量的模),()(1yxa 12122211,2yyxxAByxByxA则、设两点间的距离公式：22222,yxayxa或212212yyxxAB49(1)垂直垂直:(2)平行平行:002121yyxxbaba1221/yxyxabba 1122,axybxya b 非非零零向向量量222221212121.cosyxyxyyxxbaba50解解:设所求向量为设所求向量为(x, y), 则则103422yxyx54535453yxyx或)54,53()54,53(bb或已知已知 =(4,3) ,求与求与 垂直的单位向量垂直的单位向量 .aab51B B 练习练习C C52D D3231 15.5.6.6.m=-2m=-2 练习练习537.7.A A8.8. 练习练习54 的取值范围的夹角为钝角，求实数与若的值求平行与若求，已知kbabakkbabakbaa4223,4222421,2 , 3b)2 , 1 (53242)4,14(42) 1 (baba13232, )6(4)421442)2()42 , 6(2)2(kkkkbabakkkbak即（）（且135010)42(4)6(14, 1042)2(42)2()42 , 6(2) 3(kkkkkkbabakbabakkkbak且且即且）（的夹角为钝角）与（且55 的值求若的值求若已知cossin,2 ,51, 02;cossin2sin,0 , 21.,cos, 1,sin, 12babaRba cossin0cossin0 , 21ba21cossin2sin1cossincoscossin2sin22222又251cossin2151cossin)23,(02524cossin2572549cossin21cossin 51, 02ba