1第1讲　平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算| a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与 a的方向相反；当0时， a0( a)()a；()aa_a；(ab)ab3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba 导师提醒1注意几个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和.2识记五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则()(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则0P为ABC的重心(4)在ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为ABC的重心，则有如下结论：0；()；()，()(5)若(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是1. 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)零向量与任意向量平行()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(6)在ABC中，D是BC的中点，则()()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6) (教材习题改编)如图，ABCD的对角线交于M，若a，b，用a，b表示为()A.abB.abCabDab解析：选D.(ba)ab，故选D. 设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.解析：选A.由题意得. (教材习题改编)化简：(1)()_(2)_解析：(1)()()().(2)0.答案：(1)(2)0 已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_解析：由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得答案：平面向量的有关概念(自主练透)1判断下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确的个数是()A1B2C3D4解析：选A.只有正确2设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2bDab且|a|b|解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件4给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab或ab；若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是_解析：是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点是错误的，|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反是正确的，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形是错误的，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件是错误的，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线故填.答案：辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线 平面向量的线性运算(多维探究)角度一向量的线性运算 (1)(2018高考全国卷)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则()A.B.C.D.(2)在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则()A.B.C.D.【解析】(1)由题可得().(2)在四边形ABCD中，如图所示，因为，所以四边形ABCD为平行四边形由已知得，由题意知DEFBEA，则，所以()，所以，故选B.【答案】(1)A(2)B角度二根据向量线性运算求参数 (一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，2，且rs，则2r3s()A1B2C3D4【解析】法一：根据图形，由题意可得()()().因为rs，所以r，s，则2r3s123.法二：因为2，所以2()，整理，得()，以下同法一法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由得DCAB，且AB4DC.又2，所以E为PB的中点，且.于是，().以下同法一法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m0，h0.由rs，得(4m，2h)r(4m，0)s(3m，3h)，所以解得所以2r3s123.【答案】C平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则1(2019合肥市第二次质量检测)在ABC中，若a，b，则()A.abB.abC.ab D.ab解析：选A.法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以.因为，所以，所以ab，故选A.法二：()ab，故选A.法三：由，得()，所以()ab，故选A.2(2019郑州第一次质量预测)如图，在ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且，则实数m的值为()A1B.C.D.解析：选D.()m，设(01)，则()(1)，因为，所以(1)，则解得故选D.3在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_解析：设y，因为yy()y(1y).因为3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)所以y，因为x(1x)，所以xy，所以x.答案：平面向量共线定理的应用(典例迁移) 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【解】(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10.所以k210.所以k1.迁移探究1(变条件)若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，即4a(m3)b.若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4a(m3)b(ab)，所以解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线迁移探究2(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，所以所以k1.又0，k，所以k1.故当k1时，两向量反向共线共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab(b0)，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值注意证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点 1如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，则的值为()A.B.C.D.解析：选A.因为，所以，2.由向量加法的平行四边形法则可知，所以()2，由E，F，K三点共线，可得，故选A.2设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(ab)的终点在同一条直线上，则实数t的值为_解析：因为a，tb，(ab)三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，所以存在实数，使atb，所以解得，t.答案： 基础题组练1(2019石家庄质量检测(一)在ABC中，点D在边AB上，且，设a，b，则()A.abB.abC.abD.ab解析：选B.因为，所以，所以()ab，故选B.2在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，其中，R，则等于()A1B.C.D.解析：选D.由题意易得，所以2，即.故.3已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：选D.由题意可设cd，即kab(ab)，(k)a(1)b.因为a，b不共线，所以所以k1，所以c与d反向，故选D.4如图，在ABC中，若，则的值为()A3B3C2D2解析：选B.因为，()，所以；又，所以，；所以3.故选B.5(2019辽宁丹东五校协作体联考)P是ABC所在平面上的一点，满足2，若SABC6，则PAB的面积为()A2B3C4D8解析：选A.因为22()，所以3，所以，且方向相同，所以3，所以SPAB2.6若|2，则|_解析：因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.答案：27已知O为ABC内一点，且2，t，若B，O，D三点共线，则t的值为_解析：设线段BC的中点为M，则2.因为2，所以，则().由B，O，D三点共线，得1，解得t.答案：8在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，经计算得ANAM3，AD3.答案：39.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解：()ab.()()ab.10经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解：设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，则消去，得3.综合题组练1(应用型)已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反向共线，则实数的值为()A1BC1或D1或解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.2(应用型)(2019安徽安庆模拟)在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则()A.BC2D2解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tt()因为M是线段AD的中点，所以()(tt)(t1)t.又，所以(t1)，t，所以.故选B.3(创新型)(2019陕西铜川质检)已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积等于()A.B2C3D4解析：选B.因为0，所以()由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等因为|2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的对角线长为2，所以BC2，ABC90，所以SABCABBC222，故选B.4(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足(0)，则动点P的轨迹一定过三角形ABC的()A内心B外心C垂心D重心解析：选D.如图，ADBC，由于|sin B|sin C|，所以()，所以()，因此点P在三角形ABC的中线所在的直线上，故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心5.(一题多解)(创新型)如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若m，n，则()Amn是定值，定值为2B2mn是定值，定值为3C.是定值，定值为2D.是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由n可得，所以，由BDDC可得，所以，因为m，所以m，整理可得3.法二：因为M，D，N三点共线，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.比较系数知m，(1)n，所以3，故选D.6(创新型)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，求的值解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c与xayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以则的值为.