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考点八导数及其应用 一、选择题1求曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dxBS(xx2)dxCS(y2y)dyDS(y)dy答案B解析依题意，在同一坐标系下画出曲线yx2与直线yx的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(xx2)dx，选B.2已知函数yf(x)的导函数yf(x) 的图象如图所示，则函数yf(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为()A1B2C3D4答案A解析如图，在区间(a，b)内，f(c)0，且在点xc附近的左侧f(x)0，所以函数yf(x)在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.3(2019天津南开区模拟)过函数f(x)x3x2图象上一个动点作图象的切线，则切线倾斜角的范围是()ABCD答案B解析因为f(x)x22x(x1)211，所以斜率ktan1，解得倾斜角.4函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是()A2B0C2D4答案C解析f(x)3x26x.令f(x)0，得x0或x2(舍去)因为f(1)2，f(0)2，f(1)0，所以f(x)maxf(0)2.故选C.5已知偶函数f(x)的定义域为R，且当x0时，f(x)ln (3x1)ex，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为()AeBeCeDe答案C解析由题意得，偶函数f(x)的图象关于y轴对称，f(1)f(1)，当x0可解得0x0，则x0_.答案解析依题意得3(axb)，即3ax9a(a0)，x3(x00)，由此解得x0.12若函数f(x)x3mx2x6在R上有极值，则实数m的取值范围是_答案m4或m0，即4m2120，解得m4或m0时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程解(1)f(x)x3ax2bxa2，f(x)3x22axb.f(1)1aba24，f(1)32ab0，或经检验都符合题意(2)当a0时，由(1)得f(x)x33x29x9，f(x)3x26x9.f(2)31，f(2)9.所求的切线方程为y319(x2)，即9xy130.14已知函数f(x)ln x，g(x)(a为实常数)(1)当a1时，求函数(x)f(x)g(x)在x4，)上的最小值；(2)若方程e2f(x)g(x)(其中e2.71828)在区间上有解，求实数a的取值范围解(1)当a1时，函数(x)f(x)g(x)ln x，(x).x4，)，(x)0.函数(x)f(x)g(x)在x4，)上单调递增，当x4时，(x)min2ln 2.(2)方程e2f(x)g(x)可化为x2.axx3.设yxx3，则y3x2.x，函数yxx3在上单调递增，在上单调递减x时，y；x时，y；x1时，y，y，a.一、选择题1已知函数f(x)x2x，则下列结论正确的是()A当x时，f(x)取最大值B当x时，f(x)取最小值C当x时，f(x)取最大值D当x时，f(x)取最小值答案D解析由题意知，f(x)2xx2xln 2，令f(x)0，得x，又当x时，f(x)时，f(x)0.当x时，f(x)取最小值2已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2,2上有最大值为3，那么此函数在2,2上的最小值为()A0B5C10D37答案D解析由题意知，f(x)6x212x，由f(x)0得x0或x2，当x2时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增，不可能有两个零点；当a0时，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，在区间(a，)上单调递增，因为f(0)10，若函数f(x)在区间(0，)内有两个零点，有f(a)2a33a311a31，故选B.4(2019江西吉安一模)过点P(1,1)且与曲线yx3相切的直线的条数为()A0B1C2D3答案C解析若直线与曲线切于点(x0，y0)(x00)，则kxx01，又y3x2，k3x，2xx010，解得x01或x0，过点P(1，1)与曲线C：yx3相切的直线方程为3xy20或3x4y10，故选C.5设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx()ABCD答案D解析依题意得，f(x)dxx2dxdxx3ln x1.6曲线yln (2x1)上的点到直线2xy80的最短距离是()A2B2C2D答案A解析当y2时，x1，则点(1,0)到直线2xy80的距离是曲线yln (2x1)上的点到直线2xy80的最短距离，即最短距离为2，故选A.7(2019广东揭阳二模)以下四个数中，最大的是()Aln BCD答案B解析由题意，令f(x)，则f(x)，xe时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递减，又由e3f(3)f()f()，则ln eln 3ln ln ()，ln ln 15，故选B.8(2019江西景德镇二检)定义在R上的函数f(x)满足对任意x(0，)，都有f(x)f(b)f(a)，则下列关系式中正确的是()AabBab2Da2b2答案D解析记g(x)f(x)f(x)，则g(x)f(x)f(x)，因为当x(0，)时，f(x)f(x)，即g(x)f(b)f(a)f(a)f(a)f(b)f(b)g(a)g(b)，所以|a|b|，即a2b2，故选D.二、填空题9(2019天津和平区模拟)已知函数f(x)2f(1)ln xx，则f(x)的极大值为_答案2ln 22解析f(x)1，f(1)1，f(1)1，因此f(x)2ln xx.令f(x)10，得x2，当x2时，f(x)取得极大值2ln 22.10(2019江西新八校第二次联考)若f(x)3f(x)x32x1对xR恒成立，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为_答案10x4y50解析f(x)3f(x)x32x1，f(x)3f(x)x32x1，联立，得f(x)x3x，则f(x)x21，f(1)1，又f(1)1，切线方程为y(x1)，即10x4y50.11要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使体积最大，则高为_ cm.答案解析设高为h cm，则底面半径r(cm)，所以体积Vr2hh(400h2)，则V(4003h2)令V(4003h2)0，解得h.即当高为 cm时，圆锥的体积最大12若函数f(x)x33x2ln x在t，t1上不单调，则实数t的取值范围是_答案1t2解析依题意，f(x)x23，可以验证x2为极小值点，故t2t1，解得1t0), 所以当0x0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减，所以当x时，g(x)取得最大值，g()，故a的取值范围是a.(2)设yf(x)的图象与ya相切于点(t，a)，依题意可得因为f(x)a，所以消去a可得t1(2t1)ln t0，令h(t)t1(2t1)ln t，则h(t)1(2t1)2ln t2ln t1，显然h(t)在(0，)上单调递减，且h(1)0，所以0t0，h(t)单调递增；t1时，h(t)0，h(t)单调递减，所以当且仅当t1时，h(t)0，故a1.14(2019山西考前适应性考试)已知函数f(x)(kx1)exk(x1)(1)若f(x)在xx0处的切线斜率与k无关，求x0；(2)若xR，使得f(x)0成立，求整数k的最大值解(1)f(x)(kxk1)exk，即f(x)k(x1)ex1ex，由已知得(x01)ex010.令(x)(x1)ex1，则(x)(x2)ex，当x(，2)时，(x)0，(x)单调递减，x2，x11，(x1)ex0，(x1)ex10，因此(x)0，(x)单调递增又(0)0，所以(x)只有唯一零点，故x00.(2)f(x)0，即k(xexx1)0；当x0时，ex10，x(ex1)10.x(ex1)10.k(xexx1)ex可等价转化为k.设g(x)，由题意kg(x)max.又g(x)，令h(x)2exx，则h(x)ex10，h(x)0，h(1)0，即g(x)0，g(x)单调递增；当x(x0，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)单调递减g(x)maxg(x0).令tx02t(2，1)，则yt3，g(x)max(1,2)，故整数k的最大值为1.
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