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选修选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算 OABC正东正东正北正北向上向上这需要进一步来认识空间中的向量这需要进一步来认识空间中的向量F3F1F2如图一块均匀的正三角形钢板质量为如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg500kg，在它的顶点处分别受在它的顶点处分别受F F1 1、F F2 2、F F3 3三个力，每三个力，每个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是6060度，且度，且F F1 1= = F F2 2 = =F F3 3=200kg=200kg。这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？看下面建筑看下面建筑 这个建筑钢这个建筑钢架中有很多向量架中有很多向量的身影，但他们的身影，但他们有些并不在同一有些并不在同一平面内平面内这就这就是我们今天要学是我们今天要学习的空间向量习的空间向量.复习回顾：平面向量复习回顾：平面向量定义定义： 既有大小又有方向的量叫做向量。既有大小又有方向的量叫做向量。用有向线段表示用有向线段表示 用小写字母表示，或者用表示用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示向量的有向线段的起点和终点字母表示相等向量相等向量：零向量零向量：单位向量单位向量：相反向量相反向量：长度为长度为0 0的向量的向量模为模为1 1的向量的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量a AB几何表示法几何表示法：字母表示法字母表示法：2、平面向量的加法、减法向量加法的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则a ba baABbCaABbDCaABbCa b3、平面向量的加法运算律加法交换律：加法结合律：abba)()(cbacba新课讲授 阅读教材阅读教材P P8484-P-P85 85 ，研究空间向量与平面向量研究空间向量与平面向量的关系。回答下面的问题：的关系。回答下面的问题：（1 1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？（2 2） 空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？为什么？（3 3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？（5 5） 什么是平行六面体？它与平行四边形有何联什么是平行六面体？它与平行四边形有何联系？它的特征有哪些？系？它的特征有哪些？（4 4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律? ?（1 1）试说出：空间向量与平面向量）试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？有何共同之处？1、定义：、定义： 在空间，我们把既有大小又有在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做方向的量叫做空间向量空间向量。2 2、空间向量的表示法（几何、字母）、空间向量的表示法（几何、字母）与平面向量相同；与平面向量相同；3、空间中零向量、单位向量、相等向、空间中零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念与平面向量中相同；量、相反向量等概念与平面向量中相同；（2） 空间任意两个向量是否都可以转化空间任意两个向量是否都可以转化为平面向量？为什么？为平面向量？为什么？ 由由O、A、B、三点确定一个平面、三点确定一个平面或共线可知，或共线可知，已知空间两个任意向量已知空间两个任意向量、a, b.OBb ,OAa 作作OAaBbab 空间任意两个向量都空间任意两个向量都 可用同可用同 一平面内的有向线段表示。一平面内的有向线段表示。结论结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。面向量中有关结论仍适用于它们。abbaOACB（3）与平面向量运算一样，我们定义）与平面向量运算一样，我们定义空间向量的加法、减法运算如下：空间向量的加法、减法运算如下：,OBOAABab ,CAOAOCab 空间向量加法的推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnAAAAAAAA1433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.1433221AAAAAAAAnnAA10加法交换律：加法结合律：同样，空间向量的加法运算同样，空间向量的加法运算满足如下运算律：满足如下运算律：abba)()(cbacbaabcOBCab+abcOBCbc+(平面向量)()(cbacba（5）平面向量加法结合律：）平面向量加法结合律：ab+c+()ab+c+()AAabcOABCab+abcOABCbc+（5）空间向量加法结合律：）空间向量加法结合律：)()(cbacba(空间向量)ab+c+()ab+c+()ABCDA1B1C1D1a平行六面体平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是的六个面都是平行四边形平行四边形。（6）平行六面体）平行六面体定义定义1 1：底面是平行四边形的四棱柱。底面是平行四边形的四棱柱。 定义定义2 2：平行四边形平行四边形ABCDABCD按向量按向量 平移到平移到 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体的轨迹形成的几何体叫做平行六面体. .a例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式 (如图)ABCDA1B1C1D1BCAB) 1 (1)2(CCABDCBCAA111)3(1)4(AAADAB1)5(DDDCDA1)6(BBBCBA问题（问题（7 7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三）：一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？个向量有什么关系？典例剖析：F1F2F1=10NF2=15NF3=30NF3F3结论结论2 2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始点的对角线所示向量。点的对角线所示向量。平行六面体法则平行六面体法则思考思考1：在例：在例1中中1CA1CCCDCB思考思考2：ABMCD)(21 )2(2121 ) 1 (ADACAMBDBCAB例例2 2 在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、N N分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简N.,.) 3(的值求且的重心是若点zyxACzACyABxAG，BCDG思考：平面向量概念加、减法运算运算律定义 表示法相等向量减法:三角形法则加法:平行四边形法则或三角形法则空间向量)()(cbacbaabba加法交换律加法结合律小结类比方法 数形结合思想零向量相反向量减法:三角形法则加法:平行四边形法则或三角形法则不共面的三个向量的和：平行六面体法则
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