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穿越自测一、选择题12017全国卷文5，本题考查了双曲线的标准方程和性质，考查了数形结合思想以及运算求解能力已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B. C. D.答案D解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2，0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.22017全国卷文12，本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，夹角公式，考查了运算求解能力设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)答案A解析设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即 ，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan60，即 ，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A.32017全国卷文5，本题考查了双曲线的离心率，考查了分析推理能力若a1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，) B(，2)C(1，) D(1,2)答案C解析由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1eb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e .故选A.62017全国卷文12，本题考查了函数的零点，函数的性质，考查了函数与方程的思想，运算求解能力已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()A B. C. D1答案C解析f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C.72017北京卷文7，本题以向量知识为背景考查了充要条件，考查了推理论证能力，分类讨论思想设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由题意知|m|0，|n|0.设m与n的夹角为.若存在负数，使得mn，则m与n反向共线，180，mn|m|n|cos|m|n|0.当90180时，mn0，此时不存在负数，使得mn.故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件故选A.mn，mnnn|n|2.当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件故选A.82017天津卷文2，本题以不等式为背景考查了充要条件，考查了分析推理能力设xR，则“2x0”是“|x1|1”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析2x0，x2.|x1|1，0x2.当x2时不一定有x0，当0x2时一定有x2，“2x0”是“|x1|1”的必要而不充分条件故选B.92017天津卷文5，本题考查了双曲线的标准方程和双曲线的几何性质，考查了运算求解能力已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析根据题意画出草图如图所示.由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.102017山东卷文5，本题考查了不等式的性质，复合命题的真假性判断，考查了学生推理论证能力已知命题p：xR，x2x10；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)答案B解析一元二次方程x2x10的判别式(1)24110恒成立，p为真命题，綈p为假命题当a1，b2时，(1)22，q为假命题，綈q为真命题根据真值表可知p(綈q)为真命题，pq，(綈p)q，(綈p)(綈q)为假命题故选B.112017山东卷文10，本题考查了对新定义的理解和应用，函数的单调性，考查了学生分析问题，解决问题的能力若函数exf(x)(e2.71828是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质下列函数中具有M性质的是()Af(x)2x Bf(x)x2Cf(x)3x Df(x)cosx答案A解析若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立对于选项A，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，选项B，C，D均不符合题意故选A.122017浙江卷文2，本题考查了椭圆的离心率的求法椭圆1的离心率是()A. B. C. D.答案B解析椭圆方程为1，a3，c.e.故选B.132017浙江卷文7，本题考查了原函数与导函数的关系，可用排除法，考查了数形结合思想函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是() A B C D答案D解析观察导函数f(x)的图象可知，f(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知，排除A，C.如图所示，f(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x20，故选项D正确故选D.二、填空题142017全国卷文14，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.152017北京卷文10，本题考查了双曲线的标准方程和几何性质若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，m2.162017天津卷文10，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求解已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_答案1解析f(x)a，f(1)a1.又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)，切线l的方程为ya(a1)(x1)令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1.172017天津卷文12，本题考查了抛物线的几何性质，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，圆的半径为1，CAO90.又因为FAC120，所以OAF30，所以|OA|，所以点C的纵坐标为.所以圆的方程为(x1)2(y)21.182017山东卷文15，本题考查了双曲线与抛物线相交问题，以及两种曲线的几何性质，考查了数形结合思想，运算求解能力在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.192017江苏卷文8，本题考查了双曲线的几何性质，考查了运算求解能力在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_答案2解析如图所示，双曲线y21的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，所以|F1F2|4.双曲线y21的右准线方程为x，渐近线方程为yx.由得P.同理可得Q.|PQ|，S四边形F1PF2Q|F1F2|PQ|42.三、解答题202017全国卷文20，本题考查了抛物线的切线方程，直线与抛物线的位置关系，考查了学生综合分析问题，解决问题的能力，运算求解能力设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1，y2，x1x24，于是直线AB的斜率k1.(2)由y，得y.设M(x3，y3)，由题设知1，解得x32，于是M(2，1)设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.将yxm代入y得x24x4m0.当16(m1)0，即m1时，x1,222.从而|AB|x1x2|4.由题设知|AB|2|MN|，即42(m1)，解得m7.所以直线AB的方程为yx7.212017全国卷文21，本题考查了本题考查了利用导数讨论函数的单调性，根据不等式求参数范围，考查了分类讨论思想，函数与方程的思想已知函数f(x)ex(exa)a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln 时，f(x)取得最小值，最小值为fa2，从而当且仅当a20，即a2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，1222017全国卷文20，本题考查了曲线轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归的数学思想设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.232017全国卷文21，本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据不等式求参数范围，考查了运算求解能力，分析推理能力设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0)，因此h(x)在0，)单调递减而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a0(x0)，所以g(x)在0，)单调递增而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.当a0时，取x0，则x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.综上，a的取值范围是1，)242017全国卷文20，本题考查了直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程的求解，弦长等知识，考查了运算求解能力在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解(1)不能出现ACBC的情况理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值252017全国卷文21，本题考查了利用导数讨论函数的单调性，证明不等式，考查了运算求解能力，分析推理能力，分类讨论思想已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，证明：f(x)2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln 1.所以f(x)2等价于ln 12，即ln 10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x0时，g(x)0.从而当a0时，ln 10，即f(x)2.262017北京卷文19，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，分析推理能力已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：BDE与BDN的面积之比为45.解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得c，所以b2a2c21，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，n)，由题设知m2，且n0.直线AM的斜率kAM，故直线DE的斜率kDE，所以直线DE的方程为y(xm)，直线BN的方程为y(x2)联立解得点E的纵坐标yE.由点M在椭圆C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|yE|BD|n|，SBDN|BD|n|，所以BDE与BDN的面积之比为45.272017北京卷文20，本题考查了导数的几何意义，求函数的最值，考查了运算求解能力，分类讨论思想已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减，所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，所以函数f(x)在区间上单调递减，因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.282017天津卷文19，本题考查了利用导数研究函数的的单调性，极值，最值等知识，考查了分类讨论思想，函数与方程的思想设a，bR，|a|1.已知函数f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数yg(x)和yex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，求证：f(x)在xx0处的导数等于0；若关于x的不等式g(x)ex在区间x01，x01上恒成立，求b的取值范围解(1)由f(x)x36x23a(a4)xb，可得f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a)令f(x)0，解得xa或x4a.由|a|1，得a0，所以f(x)1.又因为f(x0)1，f(x0)0，所以x0为f(x)的极大值点，由(1)知x0a.另一方面，由于|a|1，故a1b0)的左焦点为F(c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PMQN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.求直线FP的斜率；求椭圆的方程解(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(ca)c.又由b2a2c2，可得2c2aca20，即2e2e10，解得e1或e.又因为0e0)，则直线FP的斜率为.由(1)知a2c，可得直线AE的方程为1，即x2y2c0，与直线FP的方程联立，可解得x，y，即点Q的坐标为.由已知|FQ|c，有222，整理得3m24m0，所以m(m0舍去)，即直线FP的斜率为.由a2c，可得bc，故椭圆方程可以表示为1.由得直线FP的方程为3x4y3c0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x26cx13c20，解得x(舍去)或xc.因此可得点P，进而可得|FP| ，所以|PQ|FP|FQ|c.由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QNFP，所以|QN|FQ|tanQFN，所以FQN的面积为|FQ|QN|.同理FPM的面积等于.由四边形PQNM的面积为3c，得3c，整理得c22c，又由c0，得c2.所以，椭圆的方程为1.302017山东卷文20，本题考查了导数的几何意义，用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论思想，函数与方程思想，运算求解能力已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cosxsinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cosxsinx，所以g(x)f(x)cosx(xa)sinxcosxx(xa)(xa)sinx(xa)(xsinx)令h(x)xsinx，则h(x)1cosx0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a,0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sina；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsinx)，当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsinx)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sina.综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sina.312017山东卷文21，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的几何性质，考查了转化与化归的思想，分析推理能力，运算求解能力在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆C截直线y1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：ykxm(m0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与N分别相切于点E，F，求EDF的最小值解(1)由椭圆的离心率为，得a22(a2b2)，又当y1时，x2a2，得a22，所以a24，b22.因此椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程，得得(2k21)x24kmx2m240.由0得m20，从而yt在3，)上单调递增，因此t，等号当且仅当t3时成立，此时k0，所以134.由(*)得m且m0，故.设EDF2，则sin，所以的最小值为，从而EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.综上所述：当k0，m(，0)(0，)时，EDF取到最小值.322017浙江卷文20，本题考查了导数的运算，用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查了运算求解能力已知函数f(x)(x)ex.(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围解(1)因为(x)1，(ex)ex，所以f(x)ex(x)ex.(2)由f(x)0，解得x1或x.因为x1f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0，所以f(x)在区间上的取值范围是.332017浙江卷文21，本题考查了直线的斜率，直线与抛物线的位置关系，用导数研究函数式的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，运算求解能力如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2)由(1)知，.设g(t)，则g(t).当t时，g(t)0，从而g(t)在上单调递增因为a3，所以a3，故g(a)g(3)，即.因此b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，于是h(a)在(3，)上单调递减因为h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.因此a的取值范围为(3,6
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