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34生活中的优化问题举例课时作业30生活中的优化问题举例知识点一 面积、容积最大最小问题1.把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为()A2 B4 C6 D8答案D解析设其中一段长为x，则另一段长为16x，则两个正方形面积之和为S(x)22,0x16，则S(x)22(x8)令S(x)0，得x8.当0x8时，S(x)0；当8x0.x8是函数S(x)的极小值点，也是最小值点当x8时，S(x)取最小值，S(x)最小S(8)8，即两个正方形面积之和的最小值是8，故选D.2如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B.3C.3 D.3答案A解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3.则Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.知识点二 材料最省问题3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为()A32米，16米 B30米，15米C40米，20米 D36米，18米答案A解析设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy512.则所用材料l2yx2y(y0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)当0y16时，l16时，l0.所以y16是函数l2y(y0)的极小值点，也是最小值点此时，x32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省故选A.知识点三 利润最大问题4.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产()A6千台 B7千台 C8千台 D9千台答案A解析设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点5某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8x11)时，一年的销售量为(12x)2万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：L(x)(x34)(12x)2(x7)(12x)2，即L(x)(x7)(12x)2，其中x8,11(2)由于L(x)(x7)(12x)2，L(x)(12x)2(x7)2(12x)(1)(12x)(12x2x14)(12x)(263x)，令L(x)0得x12或x，由于x8,11，所以取x，当x时，L(x)0；x时，L(x)0，所以当x时，L(x)在8,11上取得极大值，也是最大值，L(万元)故当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是万元.易错点 导数在实际问题中的应用6如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S.(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域；(2)求S的最大值易错分析在实际应用问题中需注意变量自身的范围，否则会导致函数没有意义解(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则点C的横坐标x，纵坐标y满足方程1(y0)，解得y2(0xr)，故S(2x2r)22(rx) ，其定义域为x|0xr(2)记f(x)4(xr)2(r2x2)，0xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得xr.从而，当0x0；当xr时，f(x)0)，S2x，令S0，则x8.当0x8时S8时S0，故x8时S最小2某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，且f(100)1，这个数据说明在100天时()A公司已经亏损B公司的盈利在增加C公司盈利在逐渐减少D公司有时盈利有时亏损答案C解析因为f(100)1，所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少3某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时，每年生产的产品数是()A100 B150 C200 D300答案D解析由题意得，总成本函数为C(x)20000100x，总利润P(x)又P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，总利润P(x)最大4三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为()A4 B8 C. D.答案C解析Vy(0x3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)x2时，V最大为.二、填空题5如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_答案解析设B(x，y)，则S(x)2xy2x(1x2)2x2x3(0x1)，S(x)26x2(0x0，S(x)递增，x时，S(x)0，S(x)递减，当x时，S(x)max.6要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长和宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为_答案300 m3解析设仓库的容积为V m3，长为x m，则宽为(20x) m，Vx(20x)33x260x(0x20)，V6x60，令V0，得x10.当0x0；当x10时，V0.当x10时，V取最大值，V最大300.7书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少答案1015000解析设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y3040，y20.当0x15时，y0，当15x0.故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少三、解答题8某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0x0，f(x)是增函数；当x时，f(x)0，f(x)是减函数所以当x时，f(x)取极大值，f20000，因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值所以当x时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元9某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少耗油量为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了25(时)，2.517.5(升)答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升(2)当汽车的速度为x千米/时，汽车从甲地到乙地行驶了时，设耗油量为h(x)升依题意，得h(x)x2(0x120)，h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数故当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少耗油量为11.25升
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