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.大一期末复习和考研复习必备高高等数学根本知识点. .一、函数与极限1、集合的概念 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集或自然数集。记作N、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。、邻域：设与是两个实数，且0.满足不等式*-的实数*的全体称为点的邻域，点称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：如果当变量*在其变化围任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是*的函数。变量*的变化围叫做这个函数的定义域。通常*叫做自变量，y叫做函数值或因变量，变量y的变化围叫做这个函数的值域。注：为了说明y是*的函数，我们用记号y=f(*)、y=F(*)等等来表示。这里的字母f、F表示y与*之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：*2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态、函数的有界性：如果对属于*一区间I的所有*值总有f(*)M成立，其中M是一个与*无关的常数，则我们就称f(*)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域有界，则称为有界函数例题：函数cos*在(-,+)是有界的.、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)随着*增大而增大，即：对于(a,b)任意两点*1及*2，当*1*2时，有 ，则称函数在区间(a,b)是单调增加的。如果函数在区间(a,b)随着*增大而减小，即：对于(a,b)任意两点*1及*2，当*1*2时，有，则称函数在区间(a,b)是单调减小的。例题：函数=*2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0,+)上是单调增加的。、函数的奇偶性如果函数对于定义域的任意*都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域的任意*都满足=-，则叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。、函数的周期性对于函数，假设存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域任何*值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数是以2为周期的周期函数；函数tg*是以为周期的周期函数。4、反函数、反函数的定义：设有函数，假设变量y在函数的值域任取一值y0时，变量*在函数的定义域必有一值*0与之对应，即，那末变量*是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。 、反函数的存在定理：假设在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=*2，其定义域为(-,+)，值域为0,+).对于y取定的非负值,可求得*=.假设我们不加条件，由y的值就不能唯一确定*的值，也就是在区间(-,+)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求*0，则对y0、*=就是y=*2在要求*0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减). 、反函数的性质：在同一坐标平面，与的图形是关于直线y=*对称的。例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一笛卡尔直角坐标系中是关于直线y=*对称的。如右图所示： 5、复合函数复合函数的定义：假设y是u的函数：，而u又是*的函数：，且的函数值的全部或局部在的定义域，那末，y通过u的联系也是*的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。因为对于的定义域(-,+)中的任何*值所对应的u值都大于或等于2，使都没有定义。6、初等函数、根本初等函数：我们最常用的有五种根本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不管*为何值,y总为正数;b):当*=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+)的值为正；在定义域单调增.幂函数a为任意实数这里只画出局部函数图形的一局部。令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数;b):当m,n都是奇数时,y是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数的主值.、初等函数：由根本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题：是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：在定义域是单调增双曲余弦a)：其定义域为:(-,+)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切a)：其定义域为:(-,+)；b)：是奇函数；c)：其图形夹在水平直线y=1及y=-1之间；在定域单调增；我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别：双曲函数的性质三角函数的性质sh*与th*是奇函数，ch*是偶函数sin*与tan*是奇函数，cos*是偶函数它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-,+)；b)：反双曲余弦函数 其定义域为：1,+)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-1,+1)；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。 、数列：假设按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，an，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an=，它的定义域是全体正整数、极限：极限的概念是际问题的准确解答而产生的。例：我们可通过作圆的接正多边形，近似求出圆的面积。、数列的极限：一般地，对于数列来说，假设存在任意给定的正数(不管其多么小)，总存在正整数N，使得对于nN时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数是有关的，它是随着的给定而选定的。、数列的极限的几何解释：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。数列极限为a的一个几何解释：将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的邻域即开区间(a-，a+)，如以下图所示： 因不等式与不等式等价，故当nN时，所有的点都落在开区间(a-，a+)，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。 、数列的有界性：对于数列，假设存在着正数M，使得一切都满足不等式M，则称数列是有界的，假设正数M不存在，则可说数列是无界的。定理：假设数列收敛，那末数列一定有界。注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。例：数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1， 是有界的，但它是发散的。9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数，即自变量取 1的正整数，假设自变量不再限于正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a)：自变量无限增大；b)：自变量无限接近*一定点*0，如果在这时，函数值无限接近于*一常数A，就叫做函数存在极值。我们道函数的极值的情况，则函数的极限如何呢“下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!、函数的极限(分两种情况)a):自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数，假设对于任意给定的正数(不管其多么小)，总存在着正数*，使得对于适合不等式 的一切*，所对应的函数值都满足不等式那末常数A就叫做函数当*时的极限，记作：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限比照一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A，任给一正数0，总可找到一正整数N，对于nN的所有都满足则称数列，当*时收敛于A记：。存在函数与常数A，任给一正数0，总可找到一正数*，对于适合的一切*，都满足，函数当*时的极限为A，记：。b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.例：函数，当*1时函数值的变化趋势如何？函数在*=1处无定义.我们知道对实数来讲，在数轴上任何一个有限的围，都有无穷多个点，为此我们把*1时函数值的变化趋势用表列出,如以下图:从中我们可以看出*1时，2.而且只要*与1有多接近，就与2有多接近.或说：只要与2只差一个微量，就一定可以找到一个，当时满足定义：设函数在*点*0的*个去心邻域有定义，且存在数A，如果对任意给定的(不管其多么小)，总存在正数，当0时，则称函数当*0时存在极限，且极限为A，记：。注：在定义中为什么是在去心邻域呢？这是因为我们只讨论*0的过程，与*=*0出的情况无关。此定义的核心问题是：对给出的，是否存在正数，使其在去心邻域的*均满足不等式。有些时候，我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A，其证明方法是怎样的呢？ a):先任取0； b):写出不等式；c):解不等式能否得出去心邻域0，假设能； d):则对于任给的0，总能找出，当0时，成立，因此10、函数极限的运算规则、函数极限的运算规则 假设*0(或*)时，.则：推论：在求函数的极限时，利用上述规则就可把一个复杂的函数化为假设干个简单的函数来求极限。函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念。 我们先来看一个例子：例：符号函数为对于这个分段函数,*从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不一样的.为此我们定义了左、右极限的概念。定义：如果*仅从左侧(*0)趋近*0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的左极限.记：如果*仅从右侧(*0)趋近*0时，函数与常量A无限接近，则称A为函数当时的右极限.记：注：只有当*0时，函数的左、右极限存在且相等，方称在*0时有极限函数极限的存在准则准则一：对于点*0的*一邻域的一切*，*0点本身可以除外(或绝对值大于*一正数的一切*)有，且，那末存在，且等于A注：此准则也就是夹逼准则.准则二：单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的极限一：注：其中e为无理数，它的值为：e=2.9045.二：例题：求解答：令，则*=-2t，因为*，故t，则注：解此类型的题时，一定要注意代换后的变量的趋向情况，象*时，假设用t代换1/*，则t0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：函数，当*0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下：设有函数y=，在*=*0的去心邻域有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。记为：表示为无穷大量，实际它是没有极限的同样我们可以给出当*时，无限趋大的定义：设有函数y=，当*充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当*时是无穷大量，记为：无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。定义：设有函数，对于任意给定的正数(不管它多么小)，总存在正数(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切*，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或*)时 为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或*)时有极限A，则差是当(或*)时的无穷小量，反之亦成立。定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比拟通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.则两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比拟。定义：设，都是时的无穷小量，且在*0的去心领域不为零，a)：如果，则称是的高阶无穷小或是的低阶无穷小；b)：如果，则称和是同阶无穷小；c)：如果，则称和是等价无穷小，记作：(与等价)例：因为，所以当*0时，*与3*是同阶无穷小；因为，所以当*0时，*2是3*的高阶无穷小；因为，所以当*0时，sin*与*是等价无穷小。等价无穷小的性质设，且存在，则.注：这个性质说明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题。例题：求此题不能将其展开成两个函数差的形式，因为*3*3的极限为无穷大，极限不存在，不符合等价无穷小的条件存在解答：注：注：从这个例题中我们可以发现，作无穷小变换时，要代换式中的*一项，不能只代换*个因子。函数的一重要性质连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量设变量*从它的一个初值*1变到终值*2，终值与初值的差*2-*1就叫做变量*的增量，记为：*即：*=*2-*1 增量*可正可负.我们再来看一个例子：函数在点*0的邻域有定义，当自变量*在领域从*0变到*0+*时，函数y相应地从变到，其对应的增量为：这个关系式的几何解释如以下图：现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当*趋向于零时，函数y对应的增量y也趋向于零，即：，那末就称函数在点*0处连续。函数连续性的定义：设函数在点*0的*个邻域有定义，如果有称函数在点*0处连续，且称*0为函数的的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数在区间(a,b有定义，如果左极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间a,b)有定义，如果右极限存在且等于，即：=，那末我们就称函数在点a右连续.一个函数在开区间(a,b)每点连续,则为在(a,b)连续，假设又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域连续，则称为连续函数。注：一个函数假设在定义域*一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续.注：连续函数图形是一条连续而不连续的曲线。通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到假设函数在*一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的连续点函数的连续点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为连续点. 它包括三种情形：a)：在*0无定义；b)：在*0时无极限；c)：在*0时有极限但不等于；下面我们通过例题来学习一下连续点的类型：例1： 正切函数在处没有定义，所以点是函数的连续点，因，我们就称为函数的无穷连续点；例2：函数在点*=0处没有定义；故当*0时，函数值在-1与+1之间变动无限屡次，我们就称点*=0叫做函数的振荡连续点；例3：函数当*0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点*=0是不存在极限。我们还可以发现在点*=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种连续点称为跳跃连续点；我们把上述三种连续点用几何图形表示出来如下:可去连续点假设*0是函数的连续点，但极限存在，那末*0是函数的第一类连续点。此时函数不连续原因是：不存在或者是存在但。我们令，则可使函数在点*0处连续，故这种连续点*0称为可去连续点。连续点的分类我们通常把连续点分成两类：如果*0是函数的连续点，且其左、右极限都存在，我们把*0称为函数的第一类连续点；不是第一类连续点的任何连续点，称为第二类连续点.连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在*点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：a)：有限个在*点连续的函数的和是一个在该点连续的函数；b)：有限个在*点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数；c)：两个在*点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零)；反函数的连续性假设函数在*区间上单调增(或单调减)且连续，那末它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续例：函数在闭区间上单调增且连续，故它的反函数在闭区间-1,1上也是单调增且连续的。复合函数的连续性设函数当*0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a连续，那末复合函数当*0时的极限也存在且等于.即：例题：求解答：设函数在点*=*0连续，且，而函数在点u=u0连续，那末复合函数在点*=*0也是连续的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：根本初等函数在它们的定义域都是连续的；一切初等函数在其定义域也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质，下面我们来学习一下：最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。(在此不作证明) 例：函数y=sin*在闭区间0，2上连续，则在点*=/2处，它的函数值为1，且大于闭区间0，2上其它各点出的函数值；则在点*=3/2处，它的函数值为-1，且小于闭区间0，2上其它各点出的函数值。介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：，在、之间，则在a，b间一定有一个，使推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值。二、导数与微分导数的概念导数的定义：设函数在点*0的*一邻域有定义，当自变量*在*0处有增量*(*+*也在该邻域)时，相应地函数有增量，假设y与*之比当*0时极限存在，则称这个极限值为在*0处的导数。函数在点*0处存在导数简称函数在点*0处可导，否则不可导。假设函数在区间(a,b)每一点都可导，就称函数在区间(a,b)可导。这时函数对于区间(a,b)的每一个确定的*值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。 注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。假设极限存在，我们就称它为函数在*=*0处的左导数。假设极限存在，我们就称它为函数在*=*0处的右导数。注：函数在*0处的左右导数存在且相等是函数在*0处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。其中u、v为可导函数。函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 函数的积的求导法则法则：函数的商的求导法则法则：复合函数的求导法则复合函数的求导规则规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为：，其中u为中间变量反函数求导法则根据反函数的定义，函数为单调连续函数，则它的反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则，如下(我们以定理的形式给出)：定理：假设是单调连续的，且，则它的反函数在点*可导，且有： 注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记号变换。即： 是对y求导，是对*求导例题：求的导数.解答：此函数的反函数为，故则：例题：求的导数.解答：此函数的反函数为，故则：高阶导数定义：函数的导数仍然是*的函数.我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即：或.相应地，把的导数叫做函数的一阶导数.类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数，叫做四阶导数，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.分别记作：，或，二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是屡次接连地求导，所以，在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。例题：求对数函数的n阶导数。解答：，一般地，可得隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式.假设函数y可以用含自变量*的算式表示，像y=sin*，y=1+3*等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程F(*,y)=0中，令*在*一区间任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(*,y)=0在该区间上确定了*的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。隐函数的求导假设F(*,y)=0，求时，一般按以下步骤进展求解：a)：假设方程F(*,y)=0，能化为的形式，则用前面我们所学的方法进展求导；b)：假设方程F(*,y)=0，不能化为的形式，则是方程两边对*进展求导，并把y看成*的函数，用复合函数求导法则进展。例题：求隐函数，在*=0处的导数解答：两边对*求导，故，当*=0时，y=0.故。有些函数在求导数时，假设对其直接求导有时很不方便，像对*些幂函数进展求导时，有没有一种比拟直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法对数求导的法则：根据隐函数求导的方法，对*一函数先取函数的自然对数，然后在求导。注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。例题：*0，求此题假设对其直接求导比拟麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进展求导，就比拟简便些。如下解答：先两边取对数： ，把其看成隐函数，再两边求导因为，所以例题：，求此题可用复合函数求导法则进展求导，但是比拟麻烦，下面我们利用对数求导法进展求导解答：先两边取对数再两边求导因为，所以函数的微分函数微分的定义：设函数在*区间有定义，*0及*0+*在这区间，假设函数的增量可表示为，其中A是不依赖于*的常数，是*的高阶无穷小，则称函数在点*0可微的。叫做函数在点*0相应于自变量增量*的微分，记作dy，即：=。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量*的线性函数，dy与y的差是关于*的高阶无穷小量，我们把dy称作y的线性主部。于是我们又得出：当*0时，ydy.导数的记号为： ，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把*看成d*,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：假设函数在*区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分形式不变性 设，则复合函数的微分为： ， 由于，故我们可以把复合函数的微分写成 由此可见，不管u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示， 我们把这一性质称为微分形式不变性。 例题：，求dy 解答：把2*+1看成中间变量u，根据微分形式不变性，则 根本初等函数的微分公式 由于函数微分的表达式为：，于是我们通过根本初等函数导数的公式可得出根本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把根本初等函数的导数公式与微分公式比照一下：(局部公式)导数公式微分公式微分运算法则 由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则对照一下：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 例题：设，求对*3的导数 解答：根据微分形式的不变性 三、导数的应用微分学中值定理 设有连续函数，a与b是它定义区间的两点(ab)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到， 差商就是割线AB的斜率，假设我们把割线AB作平行于自身的移动，则至少有一次时机到达离割线最远的一点P(*=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此 成立。 注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，那末在(a,b)至少有一点c，使 成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。描述如下： 假设在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且，那末在(a,b)至少有一点c，使成立。 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果函数，在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)可导，且0，那末在(a，b)至少有一点c，使成立。 例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根 证明：不难发现方程左端是函数的导数： 函数在0，1上连续，在(0,1)可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即 也就是：方程在0与1之间至少有一个实根未定式问题 问题：什么样的式子称作未定式呢？ 答案：对于函数,来说，当*a(或*)时，函数,都趋于零或无穷大 则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型 我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用商的极限等于极限的商这个法则来求解的，则我们该如何求这类问题的极限呢？ 下面我们来学习洛必达(LHospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。罗彼塔(LHospital)法则 当*a(或*)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的*个去心邻域(或当*N)时，与都存在，0，且存在 则：=这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(LHospital)法则 例题：求 解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。 例题：求 解答：此题为未定式中的型求解问题，利用罗彼塔法则来求解 另外，假设遇到 、等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。 例题：求 解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为型，故可先将其转化为型后在求解， 注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限一样；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。函数单调性的判定法 设函数在a,b上连续，在(a,b)可导. a)：如果在(a,b)0，那末函数在a,b上单调增加； b)：如果在(a,b)0，那末函数在a,b上单调减少.函数的极值及其求法函数极值的定义 设函数在区间(a,b)有定义，*0是(a,b)一点. 假设存在着*0点的一个邻域，对于这个邻域任何点*(*0点除外)，均成立， 则说是函数的一个极大值； 假设存在着*0点的一个邻域，对于这个邻域任何点*(*0点除外)，均成立， 则说是函数的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。 学习这个问题之前，我们再来学习一个概念驻点 但凡使的*点，称为函数的驻点。 判断极值点存在的方法有两种：如下方法一： 设函数在*0点的邻域可导，且. 情况一：假设当*取*0左侧邻近值时，0，当*取*0右侧邻近值时，0， 则函数在*0点取极大值。 情况一：假设当*取*0左侧邻近值时，0，当*取*0右侧邻近值时，0， 则函数在*0点取极小值。 注：此判定方法也适用于导数在*0点不存在的情况。 用方法一求极值的一般步骤是： a)：求； b)：求的全部的解驻点； c)：判断在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。方法二： 设函数在*0点具有二阶导数，且时. 则：a)：当0，函数在*0点取极大值； b)：当0，函数在*0点取极小值； c)：当=0，其情形不一定，可由方法一来判定. 例题：求极值点 解答：先求导数 再求出驻点：当时，*=-2、1、-4/5 判定函数的极值，如以下图所示 例题：我们仍以例1为例，以比拟这两种方法的区别。 解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的二阶导数。 ，故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定； 0，故此点为极大值点； 0，故此点为极小值点。函数的最大值、最小值及其应用 怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求在a,b上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)全部的极值点，加上端点的值，从中取得最大值、最小值即为所求。 例题：求函数，在区间-3，3/2的最大值、最小值。 解答：在此区间处处可导， 先来求函数的极值，故*=1， 再来比拟端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求。 因为， 故函数的最大值为，函数的最小值为。曲线的凹向与拐点 通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。定义： 对区间I的曲线作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I凸，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I凹。曲线凹向的判定定理 定理一：设函数在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。 定理二：设函数在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末： 假设在(a,b)，0，则在a,b对应的曲线是凹的； 假设在(a,b)，0，则在a,b对应的曲线是凸的； 例题：判断函数的凹向 解答：我们根据定理二来判定。 因为，所以在函数的定义域(0,+)，0， 故函数所对应的曲线时下凹的。拐点的定义 连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。拐定的判定方法 如果在区间(a,b)具有二阶导数，我们可按以下步骤来判定的拐点。 (1)：求； (2)：令=0，解出此方程在区间(a,b)实根； (3)：对于(2)中解出的每一个实根*0，检查在*0左、右两侧邻近的符号，假设符号相反，则此点是拐点，假设一样，则不是拐点。 例题：求曲线的拐点。 解答：由， 令=0，得*=0，2/3 判断在0，2/3左、右两侧邻近的符号，可知此两点皆是曲线的拐点。四、不定积分不定积分的概念不定积分的概念 函数f(*)的全体原函数叫做函数f(*)的不定积分，记作。 由上面的定义我们可以知道：如果函数F(*)为函数f(*)的一个原函数，那末f(*)的不定积分就是函数族F(*)+C. 即:=F(*)+C不定积分的性质 1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 即： 2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来， 即：求不定积分的方法换元法 换元法一：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(*)可导，那末Fg(*)是fg(*)g(*)的原函数. 即有换元公式: 例题：求 解答：这个积分在根本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。 设u=2*，那末cos2*=cosu，du=2d*，因此： 换元法二：设*=g(t)是单调的，可导的函数，并且g(t)0，又设fg(t)g(t)具有原函数(t)， 则g(*)是f(*)的原函数.(其中g(*)是*=g(t)的反函数 即有换元公式: 例题：求 解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设*=asint(-/2t/2)，那末，d*=acostdt,于是有： 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法则的根底上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出*函数的不定积分，只有作大量的练习。分部积分法 这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。 设函数u=u(*)及v=v(*)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为： (uv)=uv+uv，移项，得 uv=(uv)-uv，对其两边求不定积分得： ，关于分部积分法的问题 在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点： (1)v要容易求得；(2)容易积出。原则：反、对、幂、三角函数、指数函数几种特殊类型函数的积分举例有理函数的积分举例有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，当分子的最高项的次数大于分母最高项的次数时称之为假分式，反之为真分式。 在求有理函数的不定积分时，假设有理函数为假分式应先利用多项式的除法，把一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式，然后再求之。 例题：求 解答： 三角函数的有理式的积分举例 三角函数的有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数。 例题：求 解答：五、定积分及其应用定积分的概念 我们先来看一个实际问题求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(*)、*轴与直线*=a、*=b所围成。如以下图所示： 现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(*)在区间a,b上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间a,b分成许多小区间，在每个小区间上，用其中*一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间a,b分的越细，所求出的面积值越接近于准确值。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念 设函数f(*)在a,b上有界，在a,b中任意插入假设干个分点 a=*0*1.*n-1*n=b 把区间a,b分成n个小区间 *0，*1，.*n-1,*n, 在每个小区间*i-1,*i上任取一点i(*i-1i*i),作函数值f(i)与小区间长度的乘积f(i)*i， 并作出和， 如果不管对a,b怎样分法，也不管在小区间上的点i怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 这时我们称这个极限I为函数f(*)在区间a,b上的定积分， 记作。即：关于定积分的问题 我们有了定积分的概念了，则函数f(*)满足什么条件时才可积？ 定理1：设f(*)在区间a,b上连续，则f(*)在区间a,b上可积。2：设f(*)在区间a,b上有界，且只有有限个连续点，则f(*)在区间a,b上可积。定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差. 即： 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面. 即： 性质(3)：如果在区间a,b上，f(*)g(*)，则 aa.如果极限 存在， 则此极限叫做函数f(*)在无穷区间a,+上的广义积分， 记作：， 即：=. 此时也就是说广义积分收敛。如果上述极限不存在，则说广义积分发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。 类似地，设函数f(*)在区间(-，b上连续，取a0，如果极限 存在，则极限叫做函数f(*)在(a,b上的广义积分， 仍然记作：. 即：=， 这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散。 类似地，设f(*)在a,b)上连续，而.取0，如果极限 存在， 则定义=； 否则就说广义积分发散。 又，设f(*)在a,b上除点c(ac0) 解答：因为，所以*=a为被积函数的无穷连续点，于是我们有上面所学得公式可得： 六、空间解析几何空间笛卡尔直角坐标系空间两点间的距离 设M1(*1,y1,z1)、M2(*2,y2,z2)为空间两点，为了用
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