资源描述
第一章随机事件与概率1、全概率公式：对于两个事件 A、B 有：P(A i | B)P(A i | B)P(A i )nP(A i | B)P(A i )i 1即： P(A)P(AB)P(A B)n对于多个事件：P(A)P(A | Bi )P(B i )i 12、贝叶斯公式：P(A i | B)P(A i )P(A i | B)nP(A i | B)P(A i )i 1注释： B 的发生是由 A i 导致的概率。3、事件两两独立不一定相互独立第二章随机变量与分布函数1、帕斯卡分布：（得到 r 次成功时所需要的“等待时间”的分布）P(xk)C rk 11Pr (1p) k r , kr, r12、二维条件分布：nPX=x i ,Y=y i PijT= X i P( n ) N (n , n )i 1（1）离散： PY=y i |X=x i =PjW ( x1, x2 xn ) : T CPX=x i （2）连续： PYy|X=x=y f (x, v) dvf x (x)因此在给定的 X=x 的条件下， Y 的分布密度函数为：f (x,y)其中 f x (x)f (x, y)dyf (y | x)f x (x)在给定 Y=y 的条件下， X 的分布密度函数为：f (x,y)其中 f Y (y)f (x, y)dxf (x | y)f Y (y)3、如果随机变量 X 与 Y 相互独立，则他们各自的函数 g(x) 与h(y) 也相互独立4、卷积公式：f z (z)f X (zy)f Y (y)dy或者： f z (z)f Y (zx)f X (x)dx5、极大值极小值分布：（ 1）极大值：（ 2）极小值：Fmaxp(X (n)x) F(x) nf maxnF(x)n 1 f (x)Fminp(X (1) x) 1 P(X (1) x) 1 1 F(x) nf maxn1 F(x) n 1 f (x)第三章随机变量的数字特征1、注意例题 3-16（P64）及课后 3、7 题（ P83）2、柯西 -施瓦茨不等式： E(XY) 2E(X 2 )E(Y 2 )3、方差： Var(X)EXE(X) 2E(X 2 )E2 (X)4、协方差： Cov(X,Y)EXE(X)YE(Y)E(XY)E(X)E(Y)5、相关系数： Corr=XYCov(X, Y)Var(X)Var(Y)6、相互独立不相关，反之则不一定；但是对于二维正态分布，相互独立不相关7、条件期望：（1）离散： E(X | Yy)xPXx | Yyx（2）连续： EXY=yxf x yx ydx8、条件方差Var(X | Yy)E(XE(X | Yy) 2 | YyE(X 2 | Yy)(E(X | Yy) 29 全期望公式（ 1）对所有随机变量 X 和 Y ： E X若 Y 是离散随机变量则 E XE(X | Yy若 Y 是密度为 f （ y）的连续随机变量则：Y10、两个特殊形式的全概率公式：EEXYy)pYyE XE(X | Yy)f Y (y)dyP(E | YyP(Yy)Y 是离散的P(E)xP(E | Yyf Y (y)dyY 是连续的11、矩X 分布关于 c 的 k 阶矩 E(Xc) k ；c=0 时为 k 阶原点距 ukE(X) k ；若 c=E(X), 则称 E(X E(X) k 为 K 阶中心矩 k 前四阶中心矩用原点矩表示为1 02u2u123u33u2 u12u314 u 4u3u1 6u2u12 3u1412、变异系数： C=Var(X) （无单位的量，取值大的方差也较大）E(X)、分位数：若 x 满足 F(x )x分f (x)dx，则称 x 为 X 分布的13位数，或下侧分位数。（ xx 1，转化为 1-上侧分位数）第四章大数定律与中心极限定理P| XE(X) | Var(X)21、切比雪夫不等式：或： P| XE(X) |1Var(X)2| XE(X) |1或： P2Var(X)2、辛钦大数定理： lim P| 1 nX ku |1nn k1另： lim P| Yn| 1nlim P| f AP |13、伯努利大数定理：nn或 lim P| f AP |0nn4、中心极限定理：n（1）独立同分布下的中心极限定理：X inulim P( i 1nx)(x) N(0,1)nn对任意 X 分布，当 n 足够大，总可近似为X inui1N(0,1)nnN(nu, n 2 )或等价于：X ii 1（2）德莫弗拉普拉斯中心极限定理：X 服从 0-1 分布 B（1，P），则对任意一个 x,总有：nX inPlim P( i 1x)(x) N(0,1)（与二项分布近似正态分布的有区别）nnp(1p)第五章统计量及其分布1、样本的数值特征（1）、反应中心趋势的样本的数值特征1样本均值n1）、点数据xixi1nnni xi2）、区间数据xi1knii12 样本中位数x n 1为基数.n2M ex nx22n 12.n为偶数3 样本众数（2）反映离散程度的样本特征：1 样本方差和标准差nx) 2kx) 2(x ini (x i2i 12i 1(区间数 据)Sn（点数据）或 Sk1ni1i 1样本极差： R= max(x i ) min(x i)23 样本四分位差：Q dQ3Q! （注意不能整除时的情况）（3）反映形状特点的样本特征值nx) 31 偏态： SKn(x ii1（点数 据）或2)S3(n1)(nSK0:均值? 中位数 =众数SK0:众数 中位数 均值SK0:均值 中位数 众数nkx) 3ni (x iSKi 1(区间数 据)nS3n2n(n1)(x ix) 43(n1)(x i x) Ki 1i1（点数据）(n1)(n2)(n3)S4峰态：2kx) 4ni (x i或 Ki13(区间数 据)nS42、统计量满足：（1）统计量中不含未知参数（2）统计量是样本的函数3、抽样分布：无论总体X 服从任何分布，只要该总体均值方差已知2则样本均值的渐进分布为：XN(u,)n4、三大检验分布：1）、2 分布（ 1）定义：设随机变量 X1, X 2 , Xn 相互独立，且都服从N (0,1)，则随机变量nXi2所服从的分布称为自由度为n的 2分布，记为 X 2 (n).Xi 1(2)设X =X1+X 2且已知 X1与X 2相互独立， X 2 (n)X1 2 (n1)，则 X 2 2 (n n1 ).(3)若X2( n)，则Xn nN (0,1).2n（4） E( X ) nVar ( X )2n2）、t 分布（ 1）设随机变量，2，与 相互独立，则随机变量X N(0,1) Y (n) XYT X / Y / n所服从的分布称为自由度为 n的t分布，记为 T t (n).n（2） E( X )0.Var ( X )n23）、F 分布(1)设X 2 (n1)， Y 2 (n2 )， X 与 Y相互独立，则随机变量 FX / n1Y / n2服从的分布称为第一、二自由度为n1、 n2的 F 分布，记为 F F (n1, n2 )(2)E(X )n2(n2，Var( X )2n22 (n1n22)4);2)n ( n2)2 (n(n2n 24)2122总结：设总体 X N (,2 )，X1, X2, X n为抽自总体 X的 iid 样本，令X1n21n2n iX i , Sn( X iX )，则有11 i 12(n1)S22(n1);(1)X N( ,).;(2)2n(3) X 与 S2 相互独立。 (4)SnXut( n1)/n1第六章参数估计1.矩法估计（ 1）基本思想：用样本矩代替总体矩。总体 k 阶原点矩： vkE( X k )总体 k 阶中心矩：kE( XEX ) k样本 k 阶原点矩 ak1 nX ik样本 k 阶中心矩 bk1n( X iX ) kn i 1n i 1（ 2）常用的矩估计等式一个未知参数时，矩等式为：E(X)1nX iXn i1矩估什法两个未知参数时，矩等式为：E(X )X, 其中X1nX in i1D ( X ) Sn2 其中 Sn21 n( X i X )2n i12极大似然法设总体 X的分布律中含有未知参数，来自该总体的n 个样本为X1, X 2, Xn ，样本值为x1，x2， ， xnn（1） 构造似然函数：L()f ( xk ,)k1X 为连续型随机变量时f ( xk ,) 为样本 X k 的概率密度函数X 为离散型随机变量时 f ( xk , ) P X kxk n（2） 求使得 L( )f (xk , ) 取得最大值的，记为为极大似然估计量。k1（常用到对数似然函数 ln L( ) ，然后对求导，找到驻点，即为）点估计的评价标准：（ 1）无偏性：设 ? ? ( x1，x2， ，xn) 为未知参数 的估计量若 E( ?) ，则称 ?为 的无偏估计量若总体 X 的均值 E( X) 和方差 D( X) 存在，则样本2均值 x 和样本方差 S 分别为 E( X) 和 D( X) 的无偏2E( x )E(X)，E(S )D(X)(2)有效性：设 ?1， x2， ， xn) 和 ?1， x2， ， xn) 是未知参数11( x22( x的两个无偏估计量若 D ( 1 )D( 2 )则称 ?1比 ?2有效( 3) 相合性：设 ?n 是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有lim P(| ?n|)0,x则称 ?n 为的相合估计量 ( 或一致估计量 ) 4、均值的区间估计参条件抽样分布置信区间数u12已知X N (0,1)（XZ2/n）1n2 未小X t (0,1)（Xt1 2 (n 1) S / n）样S知本n大X N (0,1)（XZ12 S /n）样S本nu1、 2已-22-21 +2/n 2)X -YN （ u1 -u 2 ,11 /n 1+2 /n 2） (X -Y Z1 /21 /n2u2知的1= 2小-1 1X-Y (u1 -u 2 )（ n +n -2 ）S差样（n +n -2 ）(X-Y t1+)212w11t12n1 n2本Swn1+ n2未知大-1+1)样X - Y N （ u1-u 2,( 1 + 1)S w2） (X-YZ1 /2 Sw本n1n2n1n2( n 1)S22(n1)(n 1)S2,( n 1)S2)2( 22 (n1)2( n121)1 /2 (n1)SB2 SA2/ (nB1)F /2 (nB1,nA1),22BF( nB1,nA1)SB(n1)SA 21)2/ (nA2ASAF1 /2 (nB1,nA12注意 F (nB1,nA1) 中的顺序SB注： 1、 S2w( n1 1)S2X( n2 1)SY2n1n2 22、 F12 (nB1,nA1)11,nA1)F 2 ( nB例 1设总体 XP() ，求对的矩估计量（矩估计法）解：考虑到 E( X) ，由方程 E( X )X1n解得 ?x X i n i 1例 2. 设总体X 服从区间（0，）上的均匀分布，x1，x2 ， ， xn 是来自总体X 的样本，x 为样本均值，0 为未知参数，则的矩估计?= _.（矩估计法）解：一个未知参数，矩等式为：X U(0. )，则 E(X)，E(X)XE(X)X22可得的矩估计 ?2X 。例 3设总体 X 服从均匀分布U( ,2 )， x1， x2， ，xn 是来自该总体的样本，则的矩估计 ?=_（矩估计法）解：一个未知参数，矩等式为：E(X )XX U( ,2 )，则E(X)3 ， 3E(X) X22可得的矩估计 ?2X。3例 4.设总体 X 的分布为：p1P(X 1)2 , p2P(X 2) 2 (1), p3P(X3) (1)2 ,其中 01.现观测结果为 1，2，2，1，2，3，则 的极大似然估计 ?=_.（极大似然估计）解： (1)构造似然函数nL( )f ( xk , )P( X1)P(X2)P( X 2)P( X1) P(X2)P(X 3)k122(1)2(1)22(1) (1) 28 7(1) 5(2) 取自然对数ln L( )ln 87 (1) 6ln 87 ln5ln(1)(3) 求导，找驻点d ln L( ) 750，得? 7。dx112例 1设有一组来自正态总体N( ， 2) 的样本值：0. 497，0. 506，0. 518，0. 524，0. 488，0. 510， 0. 510，0. 515， 0. 512(1)已知20.012，求 的 95置信区间（对 估计，方差已知）(2) 未知2，求的 95置信区间（对估计，方差未知）(3) 求 2 的 95置信区间（对 估计，均值未知）解: (1)分析： 对 估计，方差已知 ,置信区间为 X u/n2样本容量 n9， x 0. 5089，0.05查表得 u0. 025 1. 96计算 u1.960.010.00652n9于是得到的 95置信区间 0. 50890. 0065，0. 50890.0065，即 0. 5024， 0. 5154(2) 分析：对估计，方差未知 , 置信区间为 X t (n 1) S/ n2已知 n9， x 0. 5089，S20. 1184 10 3，查表得 t0. 025( 8) 2. 306计算 t ( n0.11841031) S / n 2.3060.008429于是得到的 95置信区间 0. 50890. 0084，0. 5089 0. 0084，即 0. 5005，0. 5173(3) 分析：对估计，均值未知，置信区间为( n1)S2(n1)S22 (n 1),2 (n)212查表得21)2.180,2(91)17.535.0.025 (90.975于是得到2 的 95置信区间 80.1184 10 3,80.1184103,17.5352.180即 0.0540 10 3 ,0.4345 10 3 .例 2.某生产车间随机抽取 9 件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下：21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48根据长期经验，该产品的直径服从正态分布N（，0.92），试求出该产品的直径的置信度为 0.95 的置信区间 .(u0.025=1.96, u0.05=1.645)(精确到小数点后三位 )（对估计，方差已知）解：分析：对估计，方差已知，置信区间为 X u/ n2计算得 x21.6 ，0.05 ，0.0251.96 ，0.9 ， n9故置信区间为： Xu/n 21.61.960.9 / 3,21.61.960.9 / 32得的置信度为 0.95 的置信区间 21.012,21.188例 3设某批建筑材料的抗弯强度XN(， 0.04)，现从中抽取容量为16 的样本，测得样本均值x =43，求的置信度为 0.95 的置信区间 (附： u0.025=1.96)（对估计，方差已知）解：分析：对估计，方差已知，置信区间为 Xu/ n2计算得 x43 ，0.05 ， 0.025 1.96 ，0.2 ， n16故置信区间为： Xu/n431.960.2 / 42得的置信度为 0.95 的置信区间 42.092,43.098例 4设某行业的一项经济指标服从正态分布 N（ ,2），其中 , 2 均未知 . 今获取了该指标的 9 个数据作为样本，并算得样本均值 x =56.93，样本方差s2=(0.93)2.求的置信度为 95% 的置信区间 .(附： t0.025(8)=2.306)（对估计，方差未知）解：分析：对估计，方差未知，置信区间为Xt(n1) S/n2计算得 x56.93 ，0.05 ，t0 .0252.306，S0.93，n9故的置信度为 95% 的置信区间为：Xt(n1) S/n56.932.3060.93 / 32即 56.215,57.645 。第七章假设检验1、两类错误：2、6、二项分布参数的假设检验检验类型拒绝域的临界值K 满足条件左侧单边检验kCny P0y (1P0 )nyP(YK | PP0 )y0右侧单边检验nCny P0y (1P0 )nyP(YK | PP0 )yk双侧检验kCny P0y (1P0 )nyP(YK | PP0 )y0P(YK | PP0 )nCny P0y (1P0 )nyyk注意：在大样本场合下 Y B(n, p) N ( np, np(1p) ，其拒绝域为：左侧单边检验nW=Xinp0Z1np0 (1p0 ) 2i 1右侧单边检验nW=Xinp0Z1np0 (1p0 ) 2i 1双侧检验nW=Xinp0Z1np0 (1p0 )2i 1nU2 np0 (1 p0 ) X inp0 Z1i 17、泊松分布参数的假设检验（P153）泊松分布近似正态分布求拒绝域的临界值n由于 T=X i P( n )N (n , n )i1则其拒绝域为： W( x1, x2xn ) : TC8、2 拟合优度检验（1）构造统计量2 =r(ninpi )22 (r-1)i1npi其中 ni 为观察频数， npi 为理论观察频数；拒绝域 W( x1, x2xn ):2CC12 (r1) C而 2r (nin p )22C12 (r 1)=i(r- l -1)i 1n pi（2）若总体含有未知参数时2=r (nin pi ) 22(r-l -1)i 1n pi（ l 为未知参数个数）第八章常用统计方法1、单因素方差分析表方差来源平方和自由均方误F 比度组间（因素影SSAr-1响）组内（随机影SSEn-r响）总和SSTn-1MSA= SSAFMSAr-1MSEF 服从 F(r-1,n-r)SSEMSE=n-rI 00j , jq( B)I (B) xl.0, jqtt I lj I lj .l 1jj 11、当 Var ()F F1 (r 1,n r )G01k.kpj.其中k =Gj kG j0.kpkk1时，拒绝原假设2、 SSTrni2（误差平方和，用计算器可算）(xijx)i1j 1r23、 SSA（也好算）(xi x)i14、SSE 不好算，可以用SST-SSE可得2、两因素方差分析表方差来源平方自由度均方误F 比和组间（因素 A） SSAr-1组间（因素 ） SSBk-1B组内（随机影 SSE（r-1）（k-1）响）SSAMSAMSA=FA =r-1MSEMSB= SSBFB = MSBk-1MSEMSEFA F(r-1,(r-1)(k-1)MSE=(r-1)(k-1)FB F(k-1,(r-1)(k-1)总和SSTrk-11、 FA F1(r-1,(r-1)(k-1)，拒绝原假设2、 FB F1(k-1,(r-1)(k-1)，拒绝原假设H 01H 023、一元回归分析（1）相关系数：（计算器可算）nn( xix)( yiy)xi yinx yri 1i1nnn2n2x) 2y) 222( xi( yi(xn x )(yy )i 1i1iii1i 1（2）回归模型Yi01 Xiii .i.di N(0, 2)（ 3）参数的最小二乘y?0 ?1xnnnn?nxi yii 1i 11nnxi2i 1?0y?1xnx)2Lxx(xii1nLxy(xix)( yii1ny)2Lyy( yii1xiyi( xi x)( yi y)i1i 1n2n(xi x) 2xii 1i 1n1 (nxi2xi ) 2i 1ni1y)n1nxinxiyiyii 1n i1i1n1 (nyi2yi )2i 1ni1Lxy;110Lxxnn( 1yii 1nnxi )1i1（4）最小二乘估计量的性质Cov (0 , 1 )x2l xx（5）参数的显著性检验：1?2tt11 t (n2) （其中 s ?lxx） 1检测：s ?2lxx11当 | t | t1(n2)时拒绝原假设，认为1 显著不为 022?（其中： s ?(1x2200 t( n 2)） 0检测：s ?20nl xx( 1x0) 2nl xx当 | t | t1(n2)时拒绝原假设，认为0 显著不为 02（5）参数置信区间1：( ?1t12s ? , ?1t110:(?0t12s ? , ?0t01s ? )21s ? )20（6）模型拟合检验SSTSSR SSE构造统计量： FSSR/1 F (1,n 2)SSE / ( n 2)当： F F1 (1,n2) 拒绝原假设，认为1显著不为 0，一元回归模型显著成立。方差来源平方自由均方误F 比和度组间（因素影SSRSSRSSR/1MSR=F1 F (1,n 2)SSE / ( n 2)响）1SSEMSE=F 服从 F(r-1,n-r)组内（随机影SSEn-2响）总和n-1SST7、相关系数检验n( xi x)( yiy)lxxlxxri 11nl xxlyyl yyn22(xx)( yy)iii1i 1r 2l 2xxSSR1lxxl yySST1n 2F当显著性水平为时，相关系数检验的临界值为：1F1 (1,n2)cF1 (1,n 2)n 2n 212)F1 (1,n当 rc ，拒绝原假设，认为该模型显著成立。8、回归预测x x0 ,对因变量 y0 的推断（1）对 y0 的点估计： y001 x0（2）对 y0 的区间估计：1( x0x)22y0 N ( 0 1 x0 ,()nlxx则其区间估计为 ( y0t11/ ( n2) s , y0 t1 1/ (n2) s )y0y0其中： s(1( x0x)22，2SSEMSEnlxx)n 2y0第九章时间序列分析1、AR 模型：（1）平稳性判断：1 AR（1）的平稳性：特征根：，平稳域：| 12AR（2）的平稳性：平稳域：（2）平稳 AR 模型的均值：u0112p（3）平稳 AR 模型的方差： Var ( xt )G 2j2j 0G01k .kp其中 G j 满足：j.其中k =0.kpG jkGj kk1如： AR（1）模型的方差： Var ( xt )2211（4）平稳 AR 模型的协方差函数：递推公式：k1k12k2pkp如： AR（1）模型的协方差函数：k2k1121（5）平稳 AR 模型的自相关系数：
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