圆锥曲线方程椭圆

一、知识梳理时动点不存在。时动点不存在。当当动点的轨迹为线段动点的轨迹为线段当当动点的轨迹为椭圆动点的轨迹为椭圆当当等于常数等于常数的距离的和的距离的和，平面内与两个定点平面内与两个定点定义定义|2FF|2|22FF12121212121FFaFFaFFaa cFFcFcxbabyax2|0 ,0 ,F011221212222 焦距焦距焦点焦点轴上，轴上，焦点在焦点在式式椭圆的标准方程两种形椭圆的标准方程两种形 cFFcFcybabxay2|, 0, 0F01221212222 焦距焦距焦点焦点轴上，轴上，焦点在焦点在222cba 这里这里叫做焦点叫做焦点定直线叫做准线，定点定直线叫做准线，定点叫做离心率，叫做离心率，则轨迹是椭圆则轨迹是椭圆若若等于常数等于常数的距离之比的距离之比和到定直线和到定直线点点第二定义，平面内到定第二定义，平面内到定eeelF, 10,3 标准方程标准方程图形图形顶点顶点范围范围对称轴对称轴焦点焦点焦距焦距准线准线离心率离心率 012222babyax012222babxayF1F2MbBbBaAaA, 0,. 0,0 ,0 ,2121aBaBbAbA, 0,. 0,0 ,0 ,2121byax ,aybx ,2221)0 ,(),0 ,(baccFcF2221), 0(), 0(baccFcFcFF2|21cFF2|21cax2cay210eace坐标轴坐标轴对称轴对称轴坐标轴坐标轴坐标轴坐标轴焦点焦点焦距焦距准线准线离心率离心率 通径通径22221)0 ,(),0 ,(baccFcF22221), 0(), 0(baccFcFcFF2|21cFF2|21cax2cay210eace焦半径0, 0yxMabAB22|0201|exaMFexaMF0201|eyaMFeyaMF的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是为钝角时，点为钝角时，点为其上的动点，当为其上的动点，当，点，点的焦点为的焦点为椭圆椭圆例例PPFFPFFyx212122149: 52,3505052121 FFaceFF），），（），（解：解：0402)2(cos22221212222121 cPFPFPFPFcPFPFPFF535300201 xexaPFexaPF代入解得代入解得 1. 42222byax椭圆参数方程：椭圆参数方程： sincosbyax 长轴时称为长轴时称为，当焦点弦垂直于椭圆，当焦点弦垂直于椭圆，焦点到相应准线距离，焦点到相应准线距离，最长距离，最长距离距离距离短短它的焦点与椭圆上的最它的焦点与椭圆上的最椭圆椭圆,01. 52222 babyaxca ca cb2通径通径其长为其长为为焦准距）为焦准距）Pabp(222 称为焦点三角形。称为焦点三角形。构成的构成的与两焦点与两焦点上一点上一点椭圆椭圆21002222,01. 6PFFyxPbabyax 12cos,21221 PFPFbPFF则则若若 最大，最大，为短轴端点时，为短轴端点时，时时当当 PPFPF21 bcSbyycPFPFSPFFPFF的最大值为的最大值为即为短轴端点时，即为短轴端点时，当当2121,sin210021 PF1F2的个数为的个数为点点的的上满足上满足的焦点，在的焦点，在：是椭圆是椭圆例例PPFPFCyxCFF212221148. 个点个点，共，共四象限中各有一个四象限中各有一个解：解：4603tanPbc 的范围。的范围。，求，求，使，使如果椭圆上存在一点如果椭圆上存在一点是椭圆左右焦点是椭圆左右焦点和和变式：已知椭圆变式：已知椭圆eQFFQFFbabyax 120,),0( 121212222BF1F2点差法点差法判别式判别式）韦达定理）韦达定理常考虑常考虑有关中点弦问题有关中点弦问题)3)21. 721221211k1|AB|. 8yykxx 弦长公式弦长公式4 .27.3.23.,147041212122DCBAPFPxFFFyx）等于（等于（则则，一个交点为一个交点为轴的直线与椭圆相交，轴的直线与椭圆相交，作垂直于作垂直于过过的两个焦点为的两个焦点为）椭圆）椭圆全国全国（例例二、例题二、例题 2121221 abPF解：解：CPFaPFPF故选故选2721222221 1F2FP 14.12.168.134.4218 .042222222222 yxAyxCyxByxAxye）方方程程为为（圆圆的的焦焦点点重重合合。则则所所求求椭椭线线且且它它的的一一个个焦焦点点与与抛抛物物，离离心心率率已已知知椭椭圆圆的的中中心心在在原原点点全全国国理理例例 0 , 10 ,212, 2,42,42 FPFpppxy而而焦点焦点解：解： 3122211,0 , 122222 cabaaceCF另一焦点另一焦点Ayx故选故选椭圆方程椭圆方程13422 )0 , 1(F 552.54.17174.1716.352,01043221212222DCBAbxyFFFFbabyax）为（为（两段，则此椭圆离心率两段，则此椭圆离心率的的：的焦点分成的焦点分成被抛物线被抛物线线段线段、分别为分别为的左、右焦点的左、右焦点若椭圆若椭圆浙江理浙江理：例例 0 ,20 ,2,22 ,22bFPFbpbpbxy即即解：解：bccbbccbbccb2,24255323,3522 babbbcba552222222 5525252 bbaceD1F2F 0 ,2bF 的椭圆的标准方程。的椭圆的标准方程。点点的焦点为焦点，且经过的焦点为焦点，且经过求以椭圆求以椭圆例例6, 24559422Myx 259, 1952222 bacyx解解 8001664616414646, 2142 , 0,2, 0242221 mmmmmmmmmmMmymxFF代入代入设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为1121622 yx故椭圆标准方程为故椭圆标准方程为的最值。的最值。求求之值；之值；，求，求）若）若（；，求证：，求证：的中点为的中点为）若）若（为左右焦点，如图。为左右焦点，如图。上任一点，上任一点，为椭圆为椭圆：例例212121112122)3(6022151,116255PFPFPFPFPFFPFMOMPFFFyxP 121021211PFPFMO ）解：（解：（1215PF 1021 PFPF 60cos210)2(21222122121PFPFPFPFFFPFPF3c2121221006PFPFPFPF .36421 PFPF254102)3(222121 PFPFPFPF”成立”成立时，“时，“当且仅当当且仅当 521PFPF。的最小值为的最小值为2521PFPF 的方程。的方程。椭圆椭圆成等差数列，求成等差数列，求，若若为椭圆的中心，为椭圆的中心，分别是椭圆的左右焦点分别是椭圆的左右焦点，两点，两点，与椭圆交于与椭圆交于：，直线，直线的离心率为的离心率为：已知椭圆：已知椭圆例例COFPFaOFPFOFFPPxylbabyaxC222221121212222,95, 5222016 ,2,2222caace 解：解：.2222ccab 即即. 122222 CyCx故可设所求椭圆方程为故可设所求椭圆方程为, 0 C 022222 CCyx即即 , 522222xyCyx 0 ,0 ,21CFCF 222111,yxPyxP 0 ,21111COFyCxPF ;211211CCxCCxOFPF ,2222yCxPF 又又 ;222222CCxCCxOFPF 成等差数列成等差数列，又又2222211,95OFPFaOFPF 222219522aCCxCCx 2219102axxC 即即 222522Cxx 又又05040922 Cxx94021 xx2291094021CC 22020:CC 即即1 C. 1222 yx故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为