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第一部分教材梳理第第2节与圆有关的位置关系节与圆有关的位置关系第五章图形的认识（二）第五章图形的认识（二）知识要点梳理知识要点梳理概念定理概念定理 1. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系(1)点P在圆外圆外.(2) 点P在圆上圆上.(3)点P在圆内圆内.设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：(1)点P在圆外 dr.(2)点P在圆上 d=r.(3)点P在圆内 dr.注意：注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.2. 直线和圆的三种位置关系直线和圆的三种位置关系(1)相离：一条直线和圆没有没有公共点.(2)相切：一条直线和圆只有一个只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线切线，唯一的公共点叫切点切点.(3)相交：一条直线和圆有两个两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线割线.设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：(1)直线l和O相交 dr.(2)直线l和O相切 d=r.(3)直线l和O相离 dr.3. 切线切线(1)定理：圆的切线垂直垂直于经过切点的半径.(2)切线的主要性质：切线和圆只有一个一个公共点.切线和圆心的距离等于等于圆的半径.切线垂直垂直于经过切点的半径.经过圆心垂直于切线的直线必过切点必过切点.经过切点垂直于切线的直线必过圆心必过圆心.4. 切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等切线长相等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的夹角.5. 三角形的内心和外心三角形的内心和外心(1)三角形的内心：与三角形各边都相切各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线角平分线的交点，叫做三角形的内心.它到三角形各边各边的距离相等.(2)三角形的外心：经过三角形各顶点各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.它到三角形各顶点各顶点的距离相等.6. 圆与圆的五种位置关系圆与圆的五种位置关系(1)外离外离； (2)外切外切； (3)相交相交； (4)内切内切；(5)内含内含.设大圆O1的半径为R，小圆O2的半径为r，圆心O1到圆心O2的距离为d，则有：(1)两圆外离 dR+r.(2)两圆外切 d=R+r.(3)两圆相交 R-rdR+r.(4)两圆内切 d=R-r.(5)两圆内含 dR-r.方法规律方法规律 在与圆的切线有关的几何题中，常作的辅助线和解题思路如下：(1)连接圆心和直线与圆的公共点证明该半径与已知直线垂直，则该直线为切线.(2)过圆心作这条直线的垂线段证明这条垂线段和半径相等，则该直线为切线.(3)当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90角，由此可展开其他问题的计算或证明.中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点考点1点、直线与圆的位置关系点、直线与圆的位置关系考点精讲考点精讲【例例1 1】(2015广州)已知O的半径为5，直线l是O的切线，则点O到直线l的距离是()A. 2.5 B. 3 C. 5 D. 10 思路点拨：思路点拨：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5.答案：答案：C解题指导：解题指导：解此类题的关键是知道根据点的位置可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.解此类题要注意以下要点：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和O相交 dr；直线l和O相切 d=r；直线l和O相离 dr.考题再现考题再现1. (广东)已知OP=5，O的半径为5，则点P在()A. O上 B. O内 C. O外 D. 圆心上2. (2008湛江)O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定A AA A考题预测考题预测3. O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=3 cm，则点A与圆O的位置关系为()A. 点A在圆上 B. 点A在圆内C. 点A在圆外 D. 无法确定4. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆的半径是()A. 5 cm或11 cmB. 2.5 cmC. 5.5 cmD. 2.5 cm或5.5 cm5. 在直角坐标平面中，M(2，0)，圆M的半径为4，那么点P(-2，3)与圆M的位置关系是()A. 点P在圆内 B. 点P在圆上C. 点P在圆外 D. 不能确定B BD DC C考点考点2切线的判定和性质切线的判定和性质考点精讲考点精讲【例例2 2】(2015梅州)如图5-2-1，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心.若B=20，则C的大小等于()A. 20B. 25C. 40D. 50思路点拨：思路点拨：连接OA，根据切线的性质，即可求得C的度数.答案：答案：D解题指导：解题指导：解此类题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理.解此类题要注意以下要点：(1)切线的性质和圆周角定理；(2)已知切线，连接切点和圆心可得到90角.考题再现考题再现1. (2014广东)如图5-2-2，O是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作ODAB于点D，延长DO交O于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE交BC的延长线于点F，连接PF.(1)求证：OD=OE；(2)求证：PF是O的切线.(1)(1)证明：证明：PEPEACAC，ODODABAB，PEAPEA=90=90，ADOADO=90=90. .在在ADOADO和和PEOPEO中，中，POEPOEAODAOD(AAS).(AAS).ODOD= =EOEO. .(2)(2)证明：如答图证明：如答图5-2-15-2-1，连接，连接APAP，PCPC. .OAOA= =OPOP，OAPOAP=OPAOPA. .由由(1)(1)得得ODOD= =OEOE，ODEODE=OEDOED. .又又AOPAOP=EODEOD，OPAOPA=ODEODE. .APAPDFDF. .ACAC是直径，是直径，APCAPC=90=90. .PQEPQE=90=90.PCPCEFEF. .又又DPDPBFBF，ODEODE=EFCEFC. .OEDOED=CEFCEF，CEFCEF=EFCEFC. .CECE= =CFCF.PCPC为为EFEF的中垂线，的中垂线，EPQEPQ=QPFQPF. .CEPCEPCAPCAP,EPQEPQ=EAPEAP. .QPFQPF=EAPEAP.QPFQPF=OPAOPA. .OPAOPA+OPCOPC=90=90，QPFQPF+OPCOPC=90=90. .OPOPPFPF，PFPF是是O O的切线的切线. .2. (2013广东)如图5-2-3所示，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：BCA=BAD；(2)求DE的长；(3)求证：BE是O的切线.(1)(1)证明：证明：BDBD= =BABA，BDABDA=BADBAD. .BCABCA=BDABDA，BCABCA=BADBAD. . (2)(2)解：解：BDEBDE=CABCAB, ,且且BEDBED=CBACBA=90=90，BEDBEDCBACBA. . ，即，即 ，解得解得 . .(3)(3)证明：如答图证明：如答图5-2-25-2-2，连接，连接OBOB，ODOD. .在在ABOABO和和DBODBO中，中，ABOABODBODBO(SSS).(SSS).DBODBO=ABOABO. .ABOABO=OABOAB=BDCBDC，DBODBO=BDCBDC. .OBOBEDED. .BEBEEDED，EBEBBOBO. .BEBE是是O O的切线的切线. .3. (2013珠海)如图5-2-4，O经过菱形ABCD的三个顶点A,C,D，且与AB相切于点A.(1)求证：BC为O的切线；(2)求B的度数.(1)(1)证明：连接证明：连接OAOA，OBOB，OCOC，BDBD，如答图，如答图5-2-3.5-2-3.ABAB与与O O相切于相切于A A点，点，OAOAABAB，即，即OABOAB=90=90. .四边形四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，BABA= =BCBC. .在在ABOABO和和CBOCBO中，中，ABOABOCBOCBO(SSS).(SSS).BCOBCO=OABOAB=90=90. .OCOCBCBC. .BCBC为为O O的切线的切线. .(2)(2)解：解：ABOABOCBOCBO，ABOABO=CBOCBO. .四边形四边形ABCDABCD为菱形，为菱形，BDBD平分平分ABCABC，DADA= =DCDC，点点O O在在BDBD上上. .BOCBOC=ODCODC+OCDOCD，而而ODOD= =OCOC，ODCODC=OCDOCD. .BOCBOC=2=2ODCODC. .而而CBCB= =CDCD，OBCOBC=ODCODC. .BOCBOC=2=2OBCOBC. .BOCBOC+OBCOBC=90=90，OBCOBC=30=30. .ABCABC=2=2OBCOBC=60=60. .考题预测考题预测4. 图5-2-5如图5-2-5，AB是O的直径，O交BC的中点于D，DEAC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是()ADBC;EDA=B;OA= AC;DE是O的切线.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个D D5. 如图5-2-6，以线段AB为直径作O，CD与O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OCBE交切线DE于点C，连接AC. 求证：AC是O的切线.证明：如答图证明：如答图5-2-45-2-4，连接，连接OEOE. .CDCD与与O O相切，相切，OEOECDCD. .CEOCEO=90=90. .BEBEOCOC，AOCAOC=OBEOBE，COECOE=OEBOEB. .OBOB= =OEOE，OBEOBE=OEBOEB. .AOCAOC=COECOE. .在在AOCAOC和和EOCEOC中，中，AOCAOCEOCEOC(SAS).(SAS).CAOCAO=CEOCEO=90=90. .ACAC是是O O的切线的切线. .6. 如图5-2-7，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接DE.(1)若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；(2)求证：ED是O的切线.(1)(1)解：如答图解：如答图5-2-55-2-5，连接，连接CDCD. .BCBC是是O O的直径，的直径，BDCBDC=90=90，即即CDCDABAB. .ADAD= =DBDB，OCOC=5=5，CDCD是是ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .ACAC= =BCBC=2=2OCOC=10.=10.(2)(2)证明：连接证明：连接ODOD，如答图，如答图5-2-65-2-6所示所示. .ADCADC=90=90，E E为为ACAC的中点，的中点，DEDE= =ECEC= = ACAC. .EDCEDC=ECDECD. .ODOD= =OCOC，ODCODC=OCDOCD. .ACAC切切O O于点于点C C，ACACOCOC. .EDCEDC+ODCODC=ECDECD+OCDOCD=90=90, ,即即DEDEODOD. .EDED是是O O的切线的切线. .7. 如图5-2-8，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC(1)求证：AC是O的切线；(2)已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长(1)(1)证明：连接证明：连接OAOA，ODOD，如答图，如答图5-2-7.5-2-7.D D为为BEBE的下半圆弧的中点，的下半圆弧的中点，ODODBEBE. .D D+DFODFO=90=90.ACAC= =FCFC，CAFCAF=CFACFA. .CFACFA=DFODFO，CAFCAF=DFODFO. .又又OAOA= =ODOD，OADOAD=ODFODF. .OADOAD+CAFCAF=90=90，即即OACOAC=90=90. .OAOAACAC.ACAC是是O O的切线的切线. .(2)(2)解：解：圆的半径圆的半径R R=5=5，EFEF=3=3，OFOF=2.=2.在在RtRtODFODF中，中，ODOD=5=5，OFOF=2=2，
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