(完整版)奥数训练——数的整除

晨曦书院数的整除一、解答题（共15 小题，满分0 分）1判断能否被 3， 7， 11，13 整除2试说明形式的 6 位数一定能被11 整除3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数， 它能够同时被 7 和 8 整除， 所添的两个数字是多少？4求被 179 整除的最小和最大的四位数5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则 x 是多少？6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7 位数中，能被6 整除最小数是多少？7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810 只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？8五个三位数，前四个数分别是123、345、 567、 789已知五个数的平均数是9 的倍数，第 5 个数最大是多少？9五个数之和是308这五个数分别被2、 3、5、 7、 11 整除，且商相同，求这五个数10一个数乘以91 后乘积的后三位是193，这个数最小是多少？11一个各位数字全是1 的自然数能被33333 整除，问这个数最小是多少？12某六位数能被 17 和 19 整除，求13五位数能被 36 整除，求这样的五位数14是 105 的倍数，求 xy15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被9 整除；（2）根据（ 1）的结果说明该六位数一定不能被72 整除；（3）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被24 整除；（4）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被55 整除；（5）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被91 整除第1页（共 8页）晨曦书院数的整除参考答案与试题解析一、解答题（共15 小题，满分 0 分）1判断能否被 3， 7， 11，13 整除考数的整除特征点：专整除性问题题：分首先判定能否被 3 整除，因为能同时被7、 11、 13 整除的最小数为1001，把这个析：数写成 100198666+766 ，探讨 766 能否被 7， 11， 13 整除即可解解：因为 9+8+7+6+5+4+3+2=44 ，不能被 3 整除；答： 因为 98765432=1001 98666+766，766 不能被7 整除；766 不能被11 整除；766 不能被13 整除；所以不能被 3，7， 11， 13 整除点掌握能被 3， 7， 11， 13 整除数的特征是解决问题的关键，注意问题的灵活处理评：2试说明形式的 6 位数一定能被11 整除考数的整除特征点：专整除性问题题：分根据被 11 整除数的特征： 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加析：起来，再求它们的差，如果这个差是11 的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除由此说明即可解解：=100000a+10000b+1000c+100a+10b+c答：=100100a+10010b+1001c=1001 （ 100a+10b+c ）因为 11 能整除 1001，所以形式的 6 位数一定能被 11 整除点此题考查数的整除特征，掌握被11 能出数的特征是解决问题的根本评：3在 1998 后面添上两个数字构成一个六位数， 它能够同时被 7 和 8 整除， 所添的两个数字是多少？考数的整除特征点：专整除性问题题：分不妨设，添加的两个数字为ab，则 8ab 能被 8 整除，则 ab 可以是 00，08，16，24，32，40，析：48， 56， 64， 72， 80， 88， 96；且 7 能整除 1998ab，也就是整除3ab，相当于整除20+ab，第2页（共 8页）晨曦书院进一步验证得出答案即可解解：设添加的两个数字为ab，答：8能整除 1998ab，则 ab 可以为： 00，08， 16， 24， 32，40，48，56，64，72，80， 88， 96；7能整除 1998ab=285427+6+ab，也就是7 能整除 6+ab，经过验证可知， ab=08， 64所以所添的两个数字是08 或 64点此题考查能被 7， 8 整除的数的特征，解答此题还要有较强的分析推理能力评：4求被 179 整除的最小和最大的四位数考数的整除特征点：专整除性问题题：分先求出1000179 的商，该商 +1 后，与 179 相乘的积即为所求的被179 整除的最小四位数；析：先求出9999179 的商，然后用商与179 相乘的积即为所求的被179 整除的最大四位数解解： 1000179=5 105，答：179（ 5+1）=179 6=1074 9999179=55154，17955=9845 ；答：被 179 整除的最小的四位数是1074，最大的四位数是9845点此题考查了数的整除特征，明确倍数的求法，是解答此题的关键评：5一个五位数减去其各位数字之和后变为，则 x 是多少？考数字问题点：专数性的判断专题题：分五位数与各位数字和的差为7xxxx ，已知万位为 7，那么 4x+7 应是 9 的倍数，进一步解决析：问题解解：设原来的三位数是abcde，由题意得：答：10000a+1000b+100c+10d+e （ a+b+c+d+e ）=7xxxx ，9999a+999b+99c+9d=7xxxx ，因此，五位数减去各们数字之和一定是9 的倍数，可得4x+7=9 （或 18，或 27， 36）经验证，只有 4x+7=27 符合题意，因此x=5点设原来的三位数是 abcde，五位数减去各们数字之和一定是9 的倍数，然后通过验证推出评：结果6首位数字是9，各位上的数字互不相同的7 位数中，能被6 整除最小数是多少？考数的整除特征点：第3页（共 8页）晨曦书院专整除性问题题：分首位数字确定，要使最小，不妨设为901234x，x 是偶数，且 9+1+2+3+4+x=18+ （ x+1）要析：能被 3 整除，求得 x=2 或 8，最小且不重复就是 8解解：要使最小，不妨设为901234x ，x 是偶数，答：则 9+1+2+3+4+x=18+ （ x+1 ）需能被3 整除，则 x=2 或 8，2 与前面的数字重复，所以x 取 8所以能被6 整除最小数是9012348 点此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被2 或 3 整除数的特征是解决问题的关键评：7养殖专业户郝大爷共养鸡鸭810 只，卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同，求原来鸡鸭各养了多少只？考分数和百分数应用题（多重条件）点：专分数百分数应用专题题：分根据 “卖出鸡只数的，鸭只数的75%，剩下鸡鸭只数相同”，可知鸡 （ 1 80%）=鸭 析：（ 1 75%），所以鸡： 鸭 =（ 1 75%）：（1 80%）=5：4那么鸡有 810（ 5+4）5=450（只），进而求出鸭的只数解解：（ 1 75%）：（ 180%） =5：4答：鸡有：810（ 5+4） 5=810 95=450 （只）鸭有：810 450=360（只）答：原来鸡养了450 只，鸭养了360 只点此题先求出鸡鸭只数的比，是解答此题的关键评：8五个三位数，前四个数分别是123、345、 567、 789已知五个数的平均数是9 的倍数，第 5 个数最大是多少？考 平均数问题；整除性质点：专 平均数问题；整除性问题题：分123+345+567+789=1824 ，根据题意 “已知五个数的平均数是9 的倍数 ”所以得出这五个三析：位数的能既能被 5 整除，又能被 9 整除，因为能被 5 整除，所以个位数是 0 或 5，因为求这个五位数最大是 900 多， 1824+900=2724 ，因为这 5 个三位数的和能被 9 整除，所第4页（共 8页）晨曦书院以各个数位上数的和能被9 整除，然后分析当这五个数的和的个位是0 或 5 时，要求的数的大小，然后进行比较，进而得出结论解解： 123+345+567+789=1824 ，答：因为能被 5 整除，所以个位数是0或5，因为求这个五位数最大是900 多，1824+900=2724因为这 5 个三位数的和能被9 整除，所以各个数位上数的和能被9 整除，当个位是 0 时，2+7+9+0=18 ，能被 9 整除，所以这个数的和是2790，则要求的数为： 2790 1824=966 ；当个位是 5 时，2+7+4+5=18 ，能被 9 整除，所以这个数的和是2745，则要求的数为： 2745 1824=921 ；因为 921 966所以要求的三位是最大是966答：第 5 个数最大是 966点此题考查了数的整除特征，明确能被5 和 9 整除的数的特征，是解答此题的关键评：9五个数之和是308这五个数分别被2、 3、5、 7、 11 整除，且商相同，求这五个数考整除性质点：专整除性问题题：分 先求出 2、3、 5、 7、 11 的和，然后用 308 除以这五个数的和，求出商，然后用商分析： 别乘 2、 3、 5、7、 11，即可求出这五个数解解： 2+3+5+7+11=28 ， 30828=11，答：所以这五个数分别是：211=22， 311=33， 511=55，711=77， 1111=121；答：这五个数分别是22， 33， 55， 77， 121点求出 2+3+5+7+11 的和，然后用308 除以 28，求出商，是解答此题的关键评：10一个数乘以 91 后乘积的后三位是 193，这个数最小是多少？考最大与最小点：专整除性问题题：分因为是 193， 3 只能和 13 才出 3所以这个数的最后一个数是3，又 390=270 ，十位析：90 70=20 ，则这个数的十应是 2，即后两位是 23，9123=2093，百位还差1，只要找个数与 1 相乘得1 相乘得 1 就可以了， 1 与 1 相乘得了，则这个数最小是123，即12391=11193解解：由于 13=3 ，答：则这个数个位是3，390=270 ，十位90 70=20，120=20，则这个数的十应是2，即后两位是 23，9123=2093，百位还差1，第5页（共 8页）晨曦书院1与 1相乘得 1，则这个数最小是123，即 12391=11193答：这个数最小是123点首先根据题意确定这个数的个位是3，然后逐步进行推理是完成本题的关键评：11一个各位数字全是 1 的自然数能被 33333 整除，问这个数最小是多少？考整除性质点：专整除性问题题：分先把 33333 分解质因数： 33333=311111，能被 33333 整除，那么所有的1 加起来能析：被 3 整除，所以可能有 6， 9， 12， 15 个 1；但是 33333 是 5 位数，很明显6个、9个、 12 个都不能整除，位数不合适，只能是15 个也就是11111111111111133333=3333366667 ；由此解答即可解解：能被 33333 整除，那么所有的1 加起来能被 3 整除，所以可能有6， 9， 12，15答：个 1；但是 33333 是 5 位数，很明显6 个、 9 个、 12 个都不能整除，位数不合适，只能是 15 个，即这个数最小是 111111111111111；答：这个数最小是 111111111111111点明确能被 3 和 11111 整除的数的特征，是解答此题的关键评：12某六位数能被 17 和 19 整除，求考整除性质；位值原则点：专整除性问题题：分根据六位数 23xy22 能被 17 和 19 整除，得出这个六位数能被1719=323 整除，再假设出这析：个六位数最大值与最小值，进而得出它们商的取值范围，进而得出符合要求的答案解解：因为六位数23xy22 能被 17 和 19 整除，答：所以这个六位数能被 1719=323 整除，这个数最小为230022，故 230022 323=712.46，这个数最大为239922，故 239922 323=742 256，因为 2322 能被 323 整除，商一定为3 位数，且个位数一定为4，符合要求的只有714， 724， 734故试一下 323714=230622， 323724=233852 ，323734=237082 ，只有 323714=230622 符合要求，故原数为： 230622；答： xy=06 点此题主要考查了数的整除性， 根据已知得出 2322 除以 323 商的取值范围以及个位数的特评：点是解题关键13五位数能被 36 整除，求这样的五位数第6页（共 8页）晨曦书院考整除性质；位值原则点：专整除性问题题：分36=49，能被 36 整除，就要能同时被 4 和 9 整除，能被 4 整除的数： 后两位能被 4 整除；析： 能被 9 整除的数：各位数字的和能被9 整除；由此可知： y 可能是 2 或 6，如果 y=2，则2+x+8+9+2 能被 9 整除， x=6；如果 y=6，则 2+x+8+9+6能被 9 整除， x=2 ；由此即可求出这个五位数解解： 36=4 9，能被36 整除，就要能同时被 4 和 9 整除，答：能被 4 整除的数：后两位能被4 整除；能被 9 整除的数：各位数字的和能被9 整除；由此可知： y 可能是 2 或6，如果 y=2，则 2+x+8+9+2能被 9 整除， x=6；如果 y=6，则 2+x+8+9+6能被 9 整除， x=2；所以这个五位数是26892或 22896答：这个五位数是26892或 22896点明确能被 4 和 9 整除的数的特征，是解答此题的关键评：14是 105 的倍数，求xy考数的整除特征点：专整除性问题题：分首先 105=357，能被 3 整除则 2+7+x+y 能被 3 整除，能被 5 整除，则末尾是0 或 5，析：进一步验证是否能被7 整除得出答案即可解解：因为105=3 57，答：则 2+7+x+y 能被 3 整除，能被 5 整除，则末尾是0 或 5，当 y=0 时， 2+7+x+0 能被 3 整除，则x=0， 3， 6， 9；当 y=5 时， 2+7+x+5 能被 3 整除，则x=1， 4， 7；则能被 7 整除的只有200760所以 x=6， y=0 点此题考查被一个数整除的数的特征，掌握被 3、5、7 整除数的特征是解决问题的关键评：15给你一个六位数：（1）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被9 整除；（2）根据（ 1）的结果说明该六位数一定不能被72 整除；（3）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被24 整除；（4）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被55 整除；（5）试求出所有这样的x、 y 的组合，使该六位数能被91 整除考整除性质；位值原则点：第7页（共 8页）晨曦书院专整除性问题题：分（ 1）由已知要求需（8+7+3+2x+y ）能被 9 整除，即 2x+y 能被 9 整除，且0x， y 10，析：由此列举即可；（ 2）验证（ 1）中的11 组结果，容易得到没有结果符合条件；（ 3）欲使该 6 位数被 24 整除，则首先必须是偶数，且2x+y 能被 3 整除，即要求 2x+y能被 6 整除，这样的组合只可能如下（0，6）（ 1，4）（ 2，2）（ 3，0）（ 2，8）（ 3， 6）（ 4，4）（ 5， 2）（ 6，0）（ 5， 8）（ 6，6）（ 7，4）（8， 2）（ 9，0）（8， 8）（ 9， 6），又要求该六位数能被 8 整除，即要求 3xy 被 8 整除，这样可以得到（2， 8），（ 3， 6），（4， 4），（ 5，2）（ 6， 0）几个组合；（ 4）为使能整除 55，首先 y 只可能是0 或者 5，其次偶数位减奇数位整除11因此即解答：点评：2x y 2 能被 11 整除，这样组合仅有（9， 5）一组；（ 5）为使能整除 91，则要求 87x 3xy 能被 91 整除，则 87x=x+51 ，3xy=10x+y+27 ，即要求 x+51=10x+y+27 ，由此得出（x，y） =（ 2，6）解：（ 1）由已知要求需（8+7+3+2x+y ）能被 9 整除，即2x+y 能被 9 整除，且0x， y10，因此（ x， y）只能是如下组合（0，9）、（ 1，7）、（ 2，5）、（ 3，3）、（ 4，1）、（ 5，8）、（ 6， 6）、（ 7， 4）、（ 8， 2）、（ 9， 9）；（ 2）验证（ 1）中的 11 组结果，容易得到没有结果符合条件；（ 3）欲使该 6 位数被 24 整除，则首先必须是偶数，且 2x+y 能被 3 整除，即要求 2x+y 能被 6 整除，这样的组合只可能如下（ 0，6）（ 1，4）（ 2，2）（ 3，0）（ 2，8）（ 3， 6）（ 4，4）（ 5， 2）（ 6，0）（ 5， 8）（ 6，6）（ 7，4）（8， 2）（ 9，0）（8， 8）（ 9， 6），又要求该六位数能被 8 整除，即要求 3xy 被 8 整除，这样可以得到只有（ 2，8），（ 3， 6），（ 4，4），（ 5， 2）（6， 0）；（ 4）为使能整除55，首先 y 只可能是0 或者 5，其次偶数位减奇数位整除11因此即2x y 2 能被 11 整除，这样组合仅有（9， 5）一组；（ 5）为使能整除 91，则要求 87x 3xy 能被 91 整除，则 87x=x+51 ，3xy=10x+y+27 ，即要求 x+51=10x+y+27 ，由此得出（ x，y） =（ 2，6）此题考查了整除的性质，明确能被9 整除及能被 11 整除的特征，是解答此题的关键第8页（共 8页）