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17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程第第1717章章 一元二次方程一元二次方程 1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：一般形式：ax+b=0 (a0)3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗际问题的步骤吗?1.审审;2.设设;3.列列;4.解解;5.验验;6.答答.温故知新温故知新问题问题1：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，从而从而2007年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻，那年翻一翻，那么么2006年和年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？应是多少？思考：思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？际问题？方程方程合作探究合作探究活动活动1 1：探究列一元二次方程及其一般形式：探究列一元二次方程及其一般形式2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年年的产量为的产量为a，那么，那么2006年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 ， 2007年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意，列出方程吗？你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理得：把以上方程整理得： .x2+2x-1=0 （1）问题：问题： 在一块宽在一块宽20m、长、长32m的矩形空地上，修的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛建成小花坛.如图要使花坛的总面积为如图要使花坛的总面积为570m2，问小，问小路的宽应为多少？路的宽应为多少？3220 x1.若设小路的宽是若设小路的宽是xm，那么，那么横向小路的面横向小路的面_m2，纵，纵向小路的面积是向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是两者重叠的面积是 m2.32x2. .由于花坛的总面积是由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：整理以上方程可得：思考：思考：220 x3220(32x220 x)2x2=5702x2x2-36x35=0 （2）3220 x想一想：还有其它的列法吗？试说明原因还有其它的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220类比发现，探索新知类比发现，探索新知1.请观察下面两个方程并回答问题：请观察下面两个方程并回答问题：x2+2x-1=0 x2-36x+35=0（1）它们是一元一次方程吗？）它们是一元一次方程吗？（2）与一元一次方程有何异同？）与一元一次方程有何异同？（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 1.等号两边都是整式等号两边都是整式 2.只含有一个未知数只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是未知数的最高次数是2特点：特点：20axbx c 20axbx c 为什么要限制为什么要限制想一想想一想 a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？理的名字吗？（1）列表填空：）列表填空：方程方程一般形式一般形式二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项4x2=3x(x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=04-301-2-81-1-62.做一做：做一做： （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？理由？x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)2 ( (3) )方程（方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一在什么条件下为一元二次方程？元二次方程？21109000 xx3.议一议： 通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？候，需要注意哪些？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为数项时必须把方程化为一般形式一般形式才能进行才能进行.（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同连同它前面它前面的的符号符号.（3）二次项系数）二次项系数a0. 判断未知数的值判断未知数的值x= -1,x=0,x=2是不是方程是不是方程x2-2=x的根的根.活动活动2 2：探究一元二次方程的根：探究一元二次方程的根1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x2-3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3)2.构造一个一元二次方程，要求：构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零；（）常数项为零；（2）有一根为）有一根为2.3.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是的一个根是3，求求a的值的值.解：由题意得解：由题意得把把x=3代入方程代入方程x2+ax+a=0得，得，32+3a+a=09+4a=094a 4a=-9 4. 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为一个根为1, 求求a+b+c的值的值. 解：由题意得解：由题意得2110abc 0abc 即即思考思考:若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗一个根吗? 解：由题意得解：由题意得2110abc 即即0abc 方程方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根是一个根是1.拓展拓展:若若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗一个根吗? 课堂小结课堂小结20axbx c 20axbx c
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