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定理2. 连续(linx)单调递增函数的反函数也连续(linx)单调递增. xx cot,tan在其定义域内连续(linx)一、连续函数的运算一、连续函数的运算(yn sun)法则法则定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .例如,例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减)(证明略)在1, 1上也连续单调(递减)11xOy22递增.xsinxarcsin第1页/共11页第一页，共12页。定理定理3. 连续函数的复合连续函数的复合(fh)函数是函数是连续的连续的.xye在),(上连续(linx)其反函数xyln在),0(上也连续(linx)单调递增.证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux0( ),yf uu函数在点连续. )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如, 且即xyOxylnexy 11单调 递增,第2页/共11页第二页，共12页。例如例如(lr),xy1sin是由连续函数),(,sinuuy,1xu *Rx因此(ync)xy1sin在*Rx上连续(linx) .复合而成 ,xy1sinxyO第3页/共11页第三页，共12页。例例1 .设)()(xgxf与均在,ba上连续(linx),证明(zhngmng)函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续(linx).证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 ,可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 第4页/共11页第四页，共12页。二、初等二、初等(chdng)函函数的连续性数的连续性基本初等函数(hnsh)在定义区间内连续连续函数经四则运算(s z yn sun)仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而第5页/共11页第五页，共12页。例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解:原式xxax1)1 (loglim0elogaaln1例3. 求.1lim0 xaxx解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明(shumng): 由此可见当0e,xa时, 有)1ln(x1e xxx第6页/共11页第六页，共12页。例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解:原式elim0 x)21ln(sin3xxelim0 xx36e说明(shumng): 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2第7页/共11页第七页，共12页。1,41,)(xxxxx例例5. 设设,1,21,)(2xxxxxf解:讨论(toln)复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时(c sh)连续;而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断(jindun)点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 第8页/共11页第八页，共12页。 内容内容(nirng)小小结结基本初等函数(hnsh)在定义区间内连续连续函数的四则运算(s z yn sun)结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.第9页/共11页第九页，共12页。思考思考(sko)与练习与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处(chch)间断,)(, )(2xfxf处处(chch)连续 .反之是否成立?提示:“反之” 不成立 .第十节 第10页/共11页第十页，共12页。感谢您的观看(gunkn)！第11页/共11页第十一页，共12页。NoImage内容(nirng)总结定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.。定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.。商(分母不为 0) 运算,。在1, 1上也连续单调。第1页/共11页。定理3. 连续函数的复合函数是连续的.。说明: 由此可见当。例4. 求。说明: 若。例5. 设。x = 1为第一类间断点 .。在点 x = 1 不连续 ,。说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论(toln)其。“反之” 不成立 .第十二页，共12页。
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