第9讲隐圆模型解析版

中考数学几何模型9：隐圆模型名师点睛 拨开云雾 开门见山【点睛1】触发隐圆模型的类型（1）动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP 原理：圆A中，AB=AC=AP 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 备注：常转全等或相似证明出定长（2）直角圆周角模型 固定线段AB所对动角C恒为90 原理：圆O中，圆周角为90所对弦是直径则A、B、C三点共圆，AB为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角（3）定弦定角模型 固定线段AB所对动角P为定值 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 （4）四点共圆模型 若动角A+动角C=180 原理：圆内接四边形对角互补则A、B、C、D四点共圆 备注：点A与点C在线段AB异侧（5）四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角P=C 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等则A、B、C、P四点共圆 备注：点P与点C需在线段AB同侧【点睛2】圆中旋转最值问题 条件：线段AB绕点O旋转一周，点M是线段AB上的一动点，点C是定点（1）求CM最小值与最大值（2）求线段AB扫过的面积（3）求最大值与最小值 作法：如图建立三个同心圆，作OMAB，B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论：CM1最小，CM3最大 线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积最小值以AB为底，CM1为高；最大值以AB为底，CM2为高典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时AC的值最小构造直角MHC，勾股定理求CM，再减去AM即可，答案为变式练习1如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_【分析】考虑到将FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧过F点作FHAB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH答案为1.2.例题2. 如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，APB=90，l不经过点C，则AB的最小值为_【分析】连接OP，根据APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值答案为4. 变式练习2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_答案为8.【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D，连接PD，PF+PD化为PF+PD连接ED，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED,再减去EF即可 例题3. 如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是_【分析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证AGBE，即AHB=90，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求答案为 变式练习3如图，RtABC中，ABBC，AB=8，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值是_答案为【分析】PBC+PBA=90，PBC=PAB，PAB+PBA=90，APB=90，P点轨迹是以AB为直径的圆弧当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可 例题4. 如图，在RtABC中，ACB=90，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_【分析】连接CE，由于CD为直径，故CED=90，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角CEB取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小， 变式练习4如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BGEF，但BGE所对的BE边是不确定的重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RtAOM勾股定理先求AM，再减去GM即可答案为例题5. 如图，等边ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为_答案为【分析】由BE=CF可推得ABEBCF，所以APF=60，但APF所对的边AF是变化的所以考虑APB=120，其对边AB是定值所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧（构造OA=OB且AOB=120）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RtOBC勾股定理求得OC，再减去OP即可变式练习5在ABC中，AB=4，C=60，AB，则BC的长的取值范围是_【分析】先作图，如下答案为：条件不多，但已经很明显，AB是定值，C=60，即定边对定角故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧（作AO=BO且AOB=120）题意要求AB，即BCAC，故点C的轨迹如下图当BC为直径时，BC取到最大值为，考虑A为ABC中最大角，故BC为最长边，BCAB=4无最小值例题6. 如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，DCE为Rt，CED90，DCE30，若OE，则正方形的面积为（）A5B4C3D2【解答】解：如图，过点O作OMCE于M，作ONDE交ED的延长线于N，CED90，四边形OMEN是矩形，MON90，COM+DOMDON+DOM，COMDON，四边形ABCD是正方形，OCOD，在COM和DON中，COMDON（AAS），OMON，四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，DCE30，CED90DEa，CEa， 亦可按隐圆模型解答设DNx，x+DECEx，解得：x，NEx+a，OENE，a1，S正方形ABCD4故选：B变式练习6如图， BE，CF为ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交于BC于点D，求证：ADBC.例题7. 如图，在四边形ABCD中，BCD90，AC为对角线，过点D作DFAB，垂足为E，交CB延长线于点F，若ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则ED的长为【解答】解：CADCFD，点A，F，C，D四点共圆，FAD+DCF180，FACFDC，DCF90，FAD90，ACFC，FACAFC，DFAB，ABF+BFECDF+BFE90，ABFCDF，AFBABF，AFAB6，DFAD2，DFAD+2，DF2AF2+AD2，（2+AD）262+AD2，解得：AD8，DF10，FAD90，AEDF，ADEDAF，DE，故答案为：变式练习7（1）如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.（2）如图2，正方形ABCD，EAF45，当点E，F分别在对角线BD、边CD上，若FC6，则BE的长为3 图1 图2证明：（1）如图，连接DB、DF. 四边形ABCD是正方形，且BF是CBA的外角平分线，CBF=45，DBC=45， DBF=90又DEF=90，D、E、B、F四点共圆DFE=DBE=45（同弧所对的圆周角相等）DEF是等腰直角三角形FE=DE（2）解：作ADF的外接圆O，连接EF、EC，过点E分别作EMCD于M，ENBC于N（如图）ADF90，AF为O直径，BD为正方形ABCD对角线，EDFEAF45，点E在O上，AEF90，AEF为等腰直角三角形，AEEF，在ABE与CBE中，ABECBE（SAS），AECE，CEEF，EMCF，CF6，CMCF3，ENBC，NCM90，四边形CMEN是矩形，ENCM3，EBN45，BEEN3，故答案为：3例题8. 在锐角ABC中，AB4，BC5，ACB45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值解析如图，过点B作BDAC，D为垂足，因为ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，在RtBCD中，BDBCsin45；当P在AC上运动与AB垂直的时候，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1BP1BEBDBE2；当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1BC+BE2+57变式练习8如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线l是经过点P的一条直线，把ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B当PB=6时，在直线l变化过程中，求ACB面积的最大值 【分析】考虑l是经过点P的直线，且ABC沿直线l折叠，所以B轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧考虑ACB面积最大，因为AC是定值，只需B到AC距离最大即可过P作作PHAC交AC于H点，与圆的交点即为所求B点，先求HB，再求面积答案为.达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=10，AC=8D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE在点D移动的过程中，BE的最小值为 答案为：【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，AEC=90，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧当B、E、M共线时，BE取到最小值连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可 2. 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O已知AE、BE的长分别为3，5，求三角形OBE的面积3. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AFBE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为_答案为：【分析】AFB=90且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C，化PC+PF为PC+PF，当C、P、F、O共线时，取到最小值4. 如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，AB=4，D是BC上一动点，CEAD于E，EFAB交BC于点F，则CF的最大值是_【分析】AEC=90且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧考虑EFAB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值连接OF，易证OCFOEF，COF=30，故CF可求答案为5. 如图，ABC为等边三角形，AB=3，若P为ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段PB长度的最小值为_答案为6. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB5cm，AC4cmD是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是2BE3【解答】解：如图，由题意知，AEC90，E在以AC为直径的M的上（不含点C、可含点N），BE最短时，即为连接BM与M的交点（图中点E点），AB5，AC4，BC3，CM2，则BM，BE长度的最小值BEBMME2，BE最长时，即E与C重合，BC3，且点E与点C不重合，BE3，综上，2BE3，故答案为：2BE37. 在RtABC中，C90，AC10，BC12，点D为线段BC上一动点以CD为O直径，作AD交O于点E，连BE，则BE的最小值为8【解答】解：解：如图，连接CE，CEDCEA90，点E在以AC为直径的Q上，AC10，QCQE5，当点Q、E、B共线时BE最小，BC12，QB13，BEQBQE8，BE的最小值为8，故答案为88. 如图，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，BC，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为22【解答】解：连结AE，如图1，BAC90，ABAC，BC，ABAC4，AD为直径，AED90，AEB90，点E在以AB为直径的O上，O的半径为2，当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在RtAOC中，OA2，AC4，OC2，CEOCOE22，即线段CE长度的最小值为22故答案为229. 如图，在矩形ABCD中，已知AB4，BC8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE长度的最小值是22【解答】解：如图，连接EO、PO、OC四边形ABCD是矩形，BOAP90，在RtOBC中，BC8，OB2，OC2，在RtAOP中，OA2，PA4，OP2，OEOC2，PEOEOP，PE的最小值为22故答案为2210. 如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为【解答】解：四边形ABCD是矩形，CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5hh+6，要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，点G是以点E为圆心，BE1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，EGAC时，h最小，即点E，点G，点H共线由折叠知EGFABC90，延长EG交AC于H，则EHAC，在RtABC中，sinBAC，在RtAEH中，AE2，sinBAC，EHAE，hEHEG1，S四边形AGCD最小h+6+6故答案为：