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第4讲 平面向量的应用举例考纲要求考点分布考情风向标1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题2011年大纲卷考查向量的模；2012年新课标卷考查向量的模；2013年新课标卷考查在正方形里求向量的数量积；2014年新课标卷考查在直角三角形中考查向量夹角；2015年新课标卷考查利用正弦定理求边的范围平面向量数量积是高考考查的重点，复习时要重视数量积的两种运算方式，熟练掌握数量积的运算及相关变形，掌握数量积在解决垂直、夹角、长度等问题中的应用；重视以数量积为联系纽带与直线、三角函数、圆锥曲线、数列等知识的综合问题，并以此来培养分析解决问题的能力1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为实数(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：x1x2y1y20abab0_.(3)求夹角问题，利用夹角公式：2平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质1已知 a(2,3)，b(4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为_.655则实数 k 的值为()BA2B1C1D2则|a2b|()B2已知点A(1,0)，B(1,3)，向量a(2k1,2)，若ABa，3(2011年大纲)设向量 a，b 满足 |a|b|1，ab ，124(2012 年新课标)已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab| ，则|b|_.103 2考点 1 平面向量在三角函数中的应用【互动探究】(1)a 和 c 的值；(2)cos(BC)的值考点 2 平面向量在平面几何中的应用答案：9解析： 因为向量OAAB， 所以OAAB0， 即OA(OBOA)0，所以OAOBOA20，即OAOBOA29.故应填 9. 则BDCD(2)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60， )答案：D解析：如图 D22，连接 PO，在直角三角形 PAO 中，OA1，PA ，所以 tanAPO图 D22答案：323【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题CD 的中点，则AEBD_.【互动探究】2(2013 年新课标)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 解析：方法一，如图 D23，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，图 D23则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，答案：2考点 3 平面向量在解析几何中的应用即 k24.解得 k2 或 k2.直线 l 的方程是 y2x2 或 y2x2.【规律方法】在平面向量与平面解析几何整合的问题中，难点是如何把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题；破解难点的方法是先根据平面向量知识弄清向量表述的解析几何问题的几何意义，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决【互动探究】)D则点 P 的轨迹是(A圆C双曲线B椭圆D抛物线难点突破利用坐标法求最值例题：(2015 年上海)已知平面向量 a、b、c 满足 ab，且|a|，|b|，|c|1,2,3，则|abc|的最大值是_1以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法2向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题3要注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价；注意向量共线和两直线平行的关系；要注意两向量 a，b 夹角为
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