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成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-1 空间向量与立体几何空间向量与立体几何第二章第二章23向量的坐标表示和空间向量基本定理向量的坐标表示和空间向量基本定理 第二章第二章第第1课时空间向量的标准正交分解与坐标课时空间向量的标准正交分解与坐标表示及空间向量基本定理表示及空间向量基本定理重点难点点拨重点难点点拨2知能自主梳理知能自主梳理3学习方法指导学习方法指导4思路方法技巧思路方法技巧5探索拓研创新探索拓研创新6课堂巩固训练课堂巩固训练8课后强化作业课后强化作业9知能目标解读知能目标解读1知能目标解读知能目标解读 1了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量 3会求某一空间向量在一平面上的投影重点难点点拨重点难点点拨本节重点：空间向量基本定理本节难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量知能自主梳理知能自主梳理 1在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得axiyjzk.我们把axiyjzk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基 _ 叫作空间向量a的坐标，记作a_，a_ 叫作向量a的坐标表示(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z) 2向量坐标的求法 若向量a不在任何一个坐标平面内，把a的起点移到坐标原点，以a为对角线，以x轴，y轴，z轴为棱，作长方体长方体各棱长就是相应_与平面向量一样，向量起点在原点时，终点坐标就是向量坐标 3向量a在向量b上的投影 一般地，若b0为b的单位向量，称ab0_ 为向量a在向量b上的投影 任一向量在坐标轴正方向上的投影就是此向量相应坐标坐标的绝对值|a|cosa，b 4空间向量基本定理 如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a_.1e12e23e3 5基底 (1)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个_ (2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个_ (3)如果作为空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作_基底基底正交基底学习方法指导学习方法指导 1用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的 2空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底 3由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0. 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 4用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和” 5空间向量基本定理的证明 6特殊向量的坐标表示 若向量a平行x轴，则a(x,0,0) 若向量a平行y轴，则a(0，y,0) 若向量a平行z轴，则a(0,0，z) 若向量a平行xOy平面，则a(x，y,0) 若向量a平行yOz平面，则a(0，y，z) 若向量a平行zOx平面，则a(x,0，z)思路方法技巧思路方法技巧空间向量的坐标表示分析若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为axe1ye2ze3，则(x，y，z)就是a在基底e1，e2，e3下的坐标点评本题主要考查空间向量的坐标表示解题时，首先要找准标准正交基，然后根据向量axiyjzk，则a(x，y，z)，即可得到结果 空间向量基本定理点评用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示点评用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示 投影问题点评本题为综合题，用到了投影公式(3)题中可由ikijkj0，ii1，jjkk1求出点评求投影有两种方法：先求出两个点A、B分别在平面上的投影A、B，则A、B的连线就为AB在平面上的投影；根据公式ab0|a|cosa，b，b0为b的单位向量探索拓研创新探索拓研创新探索性问题 设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，试问是否存在实数、v，使a4a1a2va3成立？如果存在，求出、v的值；如果不存在，请给出证明点评本题的意思是a4能否用a1，a2，a3线性表示其实，只要a1，a2，a3不共面，就可以表示空间任一向量线性运算在向量运算中具有十分重要的作用课堂巩固训练课堂巩固训练一、选择题1如果a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则()Aa与b共线 Ba与b同向Ca与b反向Da与b共面答案A解析因为空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，因此，a、b必与任何向量共面，所以a、b为共线向量故选A.答案A3向量a(0,2,3)，则()Aa平行于x轴Ba平行于平面yOzCa平行于平面zOxDa平行于平面xOy答案B解析因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.5设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间的基底的向量组有_个答案3解析都可以作为空间的一组基底，对于，xab，显然a，b，x共面，故a，b，x不能作为空间的一个基底分析在本题中要选择适当的点为原点，适当的轴为坐标轴建立空间直角坐标系，然后再根据向量的坐标表示方法，找出起点、终点坐标即可
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