两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题与解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。知识梳理1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(aB)=sinacosB土cosasinB.cos(a?B)=cosacosBsinasinB.1鬥门o+_tan3干tanatan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sinacosa.2222cos2a=cosasina=2cosa1=12sina.门2tanatrill.Ct+1 tana有关公式的逆用、变形等(1)tanatanB=tan(aB)(1?tanatanB).(2)cosa=22(3)1+sin2a=(sina+cosa),1sin2a=(sinacosa),sinacosa+na4.4.函数f(a)=asina+bcosa(a,b为常数),可以化为f(a)=a2+b2sin(a+)其中tanb二a或f(a)=a2+b2cos(a)其中tana二b.诊断自测1.判断正误(在括号内打“V”或“x精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.()存在实数a，B,使等式Sin(a+B)=Sina+sinB成立.()八、tana+tanB卄(3)公式tan(a+B)=i_tanOtanB可以变形为tana+tanB=tan(a+B)(1_tanatanB)，且对任意角a,B都成立.()存在实数a,使tan2a=2tana.()n解析(3)变形可以，但不是对任意的a,B都成立，a,B,a+B工勺+kn,k乙答案(1)VV(3)xV2.(2016全国川卷)若tan9=3,则cos29=()d.4C.5解析cos20=cos20sin2cos20sin2B2cos2=0+sin01tan20421+tan05答案D3.(2015重庆卷)若tana13,tan(a+B)=1,则tanB等于（A.1B.1C.5I解析tanB=tan(a+B)atan(a+B)tana11231-=7，故选A.1+-x-2 3答案A4.（2017广州调研）已知sin1a+cosa=3,则2nsin71758C.8D.解析由sin1+cosa=3两边平方得1+sin2sin289,所以sin21-cs2-2asin22=21t8172a故选B.答案B5.(必修4P137A13(5)改编)sin347cos148+sin77cos58解析sin347cos148+sin77cos58=sin(270+77)cos(90+58)+sin77cos58=(cos77)(sin58)+sin77cos58=sin58cos77+cos58sin77=sin(58+77)=sin135考点一三角函数式的化简【例1】(1)(2016合肥模拟)cos()A.sin(a+2B)C.cos(a+2B)a+B)cosB+sin(a+B)sinB=B.sinaD.cosa化简：aa(1+sina+cosa)cos-sin_(0an),2+2cosa解析(1)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos(a+B)B=cosa.2aaaaa2cos+2sincoscossina2a.2aacos2cos2sin2cos2cosaaecuacos2cos2因为0an,所以020，所以原式=答案(1)D(2)C0Sa【训练1】(1)2+2cos8+21-sin8的化简结果是_cosa.化简:4212cosa2cosa+n2n2tanT-asin7+a解析(1)原式=_4cos24+2(sin4cos4)=2|cos4|+2|sin4cos4|,5因为5n342n所以cos40，且sin4cos4所以原式=2cos42(sin4cos4)=2sin4.1422(4cosa4cosa+1)n2Xsin7ancos7a2ncos-(2cos2a1)2cos22a4sin扌nacos7a2sinnn2a2.cos2a1=7cos2a2cos2a21答案(1)2sin4(2)cos2a考点二三角函数式的求值【例2】2sin50+sin10(1+3tan10)2sin280=（2）已知cos7t+a435,27nM.sin2a+2sinaa贝q124，则1tana17n的值为已知0C,冗）且tan(a17,则2aB的值解析（1）原式二（2sin50+sin10cos10+/3sin10)cos102sin80=(2sin50+2sin101cos10+毘in10cos2cos10=22sin50-cos10+sin10-cos(6010)=22sin(50+10)=22X2sin2a+2sina1tana22sinacosa+2sinasina1cosa2sinaCOSa(cosa+sina)cosasina=sin21+tana1tana=sin2an-tan7+由a+72n，又COSSTn金III34=IIAO2卜AAnaIAOII+STn2aSTn0IIIISTn2STn413+oa2爲OAaA2|=STnIIST吕IIkSTnSTnSTn+STn2cos40felcos40。+sin40Isin40cos40V5cos40cos40玮0.(2)ffisina+l+sina于是n3cosa+6=5.所以a+nn334cosacos6-6101n-cosa7,0a2，sina7,tana43,tan22tana2X4,38,321tana14847n/0Ba2,0asin(cosBcosa(aB)cosacos(aB)+sinasin(aB)1X生虱3X31714十7142,答案(1)C亠10-47考点三三角变换的简单应用【例3】已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sinA,cosA+sinA)与向量q(sinAcosA,1+sinA是共线向量.(1)求角A；求函数y=2sin求函数y=2sin=cos2xsin2x+cos4xB+cos的最大值A，贝Usin2A=3.A，贝Usin2A=3.解因为P,q共线，所以(22sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(sinAcos又A为锐角，所以sinA=f，ny=2sin2B+cos铲n3B3B=2sin2B+cos2n1=2sinB+cos2B=1cos2B+乙cos2B+3 2-23sin2B=s鬥2B*cos2B+1=sin2B-6+1.2226nn因为B0,，所以2Bnn因为B0,，所以2Bnn6，所以当2B6=空时，函数y取得最大值，此时B=,ymax=2.1 1【训练3】(2017合肥模拟)已知函数f(x)=(2cos2x1)sin2x+qcos4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间;若a(0,n)，且fT若a(0,n)，且fTan2n4，求tana+-3的值.21解(1)f(x)=(2cosx1)sin2x+?cos4x12n=2(sin4x+cos4x)=-sin4x+才,nf（x）的最小正周期Tp令2knnn,3,+2W4x+2kn+冗，kZ,16，kZ.f（X）的单调减区间为knn+一2+16,fan2T，即sina因为a(03n所以a7t因此tanna+、选择题nna，4443nntan+tan“4LT+V3=用3nn_1+/3273.1tantan石43基础巩固题组（建议用时：40分钟）1.(2015全国I卷)sin20cos10cos160sin10=()解析sin20解析sin20sin101C.-21D.2cos10cos160sin10=sin20cos10+cos20sin3012.答案D2.(1+tan17)(1+tan28)的值是()A.1B.OC.1D.2解析原式=1+tan17+tan28+tan17-tan28=1+tan45(1tan17-tan28)+tan17-tan28=1+1=2.答案D3.（2017西安二检）已知3.（2017西安二检）已知a是第二象限角，且tan=g,则sin2a=()A更10A更103C.-5解析因为解析因为a是第二象限角，且tana=13,所以sin=,cosa1031010，所以sin2a=2sinacos310103?故选C.5答案C答案C4.（2017河南六市联考）设1a=?cos静2,b=12ta；1414,c=21tan14,则有（,则有（A.avcvbB.avbvcC.bvcvaD.cvavb解析由题意可知，a=sin28,b_tan28,c_sin25,cvavb.答案D5.（2016肇庆三模）已知sin5.（2016肇庆三模）已知sin为第二象限角，则tan2a19A-丁19A-丁B.C.311717d.31解析由题意得cos_4=5,sin2a24=25,.tan2a=,24.tanntan2a+tan4n1-tan2atan7241241XI1731.答案D、填空题6.（2016石家庄模拟）若cosn石的值是7t“,n解析sin2a=sin2n17cos2a3=2cosam1=2X91=9.7t答案-77.（2017南昌一中月考）已知an，且cos-ya445sin4n+B1213,贝Ucos(a+解析7t3n7tsin7t/sin54n又B0,cos(答案7t51213a+B)=cos33658.已知00,7tCOSsinncos7+且sin解析sin00,cos1213=13,7t1233得sincos平方得2sin0cos240=二，可求得sin0+cos0=25,2tan0340=二，tan0二，tan20=1tan2024sin答案-三、解答题9.(2017淮海中学模拟)已知向量a=(cos9,sin9),b=(2,-1).itn”.右|a-b|=2,90,q，求sin9+匸的值解由a丄b可知，ab=2cos9-sin9=0,所以sin9=2cos9,十、sin9cos92cos9cos91所以=-sin9+cos92cos9+cos93(2)由ab=(cos92,sin9+1)可得，|ab|=(cos92)2+(sin9+1)2=64cos9+2sin9=2,即12cos9+sin9=0.n又cos29+sin29=1,且90,4所以sin9=,cos9=.55所以sin0+cos10.设cosa5,tan3nna牙,0B2，求aB的值.解法一由cosa=3nna2，得sin誓，tana=2,又于是tan(aB)123=1+tanatanB=1B1+2X3tanatanB1.丄3n又由na,n_小0B2可得一n3nBo,qaB2,因此,5n=T.法二cos53n,na52得sina2；55.由tan1=3,nZl_.0B2得sin=丄=10，cos所以sin（acosBcosasin310,103nn又由na,0B2可得n2-3nB0，2aB牙,能力提升题组（建议用时：20分钟）n2n23n11.(2016云南统一检测)cos9cosgcos=()A.-8D.1n_解析cos百cos-cos-9n=cos20cos40cos1002n23=cos20cos40cos80=sin20sin20cos20cos40cos801qsin40cos40cos80sin2014sin80-cos80sin201sin1608sin201sin208sin2018.答案A12.（2017武汉调研）设a12.（2017武汉调研）设a,B0,n,且满足sincosBcosasinBaB)+Sin(a2B)的取值范围为(A.21D.1,.2D.1,.2C.1,1解析/sinacosBcosasinB=1,sin(a，冗,-0由0Wan,Wn,sin(2aB)+sin(a2B)=Sin2an+n+sin(a2a+a+sina=2sinan5厂4Wa+W4n,A1W23nnsina+4w1,即所求的取值范围是1,1,故选C.答案C13.已知cos4asin4an,n0,空，贝Ucos2a+-3=解析cos4asin4a=(sin2a+cos2.22pa)(cosasina)=cos2a=3,又na0,2，二2a(0,n),sin2a=1Cos2a諾,n二C0S2a+-313二2cos2a尹2aJx2逅应=252323-答案14.(2016西安模拟)如图，现要在一块半径为n为的扇形白铁片A0B上剪出一个平行四边形在弧AB上，点Q在0A上，点MN在0B上,设/BOPL9，平行四边形MNP劎面积为S.(1)求S关于9的函数关系式.求S的最大值及相应的9角.解分别过P,Q作PDLOB于D,Q巳OB于E,则四边形QED为矩形.由扇形半径为1m,得PD=sin9,O亠cos9.在RtOEQPDM*QiD注4OMcos9-豹中，019，S=MN-PD=cos9呼sin9sin9=sin9cos9今sin29,331(2)由(1)得S=2sin29百(1cos29)=sin2B+fcos2Bffsin2B+663,266366.,冗.nn5nn1因为B0,3，所以2B+6,sin20+石刁1.当0=纟时，Smax=(m).1+tan(a+B)tan2cos2a=2cosa1=25