张达宋《大学物理教程（第三版）》第八章恒定电流的磁场

第八章恒定电流的磁场电流就是电荷的有规则运动，电荷运动时，在它的周围除产生电场外，还要产生磁场本章讨论恒定电流的磁场主要内容有：(1) 用以描写磁场性质的物理量磁感强度及磁场中的高斯定理；(2) 电流的磁场的基本规律毕奥萨伐尔定律以及由它推出的安培环路定理；(3) 磁场对运动电荷的作用力公式洛伦兹力公式以及由此公式推出的磁场对电流的作用力定律安培定律；(4) 磁介质在磁场中的性质和对磁场的影响，磁介质的磁场中的高斯定理和安培环路定理81 磁场 磁感强度一、基本磁现象 磁现象在两千多年以前就被发现了中国在战国时期(约公元前5至3世纪)已发现磁铁矿石(Fe3O4)吸引铁的现象，磁铁矿石称为磁石东汉时期王充指出古代的“司南”是指南器，叙述了制造指南针的方法，以后沈括对指南针做过仔细研究，北宋时期(11世纪)我国已将指南针用于航海，这些发现与发明对人类历史起过很大作用图81所示为汉代(公元前206公元220年)由青铜盘和天然磁石磨制的磁勺组成的司南图81 图82 磁石是天然磁铁，磁铁亦可以人工制造，在人造磁铁中除用铁、钴、镍等合金制成的金属铁磁体外，还有一种称为铁氧体的磁性材料，它是氧化铁(Fe2O3)同一种或多种二价金属氧化物(如CuO、MnO、BaO等)的粉末混合后，经过高温烧结而成天然磁铁和人造磁铁统称为永久磁铁 磁铁不但能吸引铁，而且还能吸引镍和钴，磁铁的这种性质称为磁性把一条形磁铁插入铁屑中然后取出，则发现靠近条形磁铁的两端处吸引的铁屑最多，中间部分没有吸引铁屑，这说明在靠近磁铁两端处磁性最强，中间部分没有磁性磁性最强处称为磁极如果把条形磁铁水平悬挂起来或把磁针支起来，使它能够在水平面内自由转动，则当条形磁铁或磁针静止时，它总是指向一定的方向，这个方向虽然因地区不同而稍有差异，但大约都是指南北方向，指向北方的一端称为北极，用N表示；指向南方的一端称为南极，用S表示磁针的指向与严格的地球南北极方向偏离的角度称为地磁偏角(图82)，北宋时期我国就已发现了地磁偏角实验证明，同性磁极相斥，异性磁极相吸 磁铁的磁现象和静电现象都发现得很早，但在一个很长的时间内人们都认为磁现象和电现象没有什么联系，直到1820年丹麦科学家奥斯特发现电流对磁针有作用力，以后又发现磁铁对电流有作用力，电流与电流之间也有作用力，这时人们才逐步认识到磁和电有联系，一切磁现象的根源都是电流奥斯特的实验如图83所示，指南针放在沿南北向的导线AB下面，当电流通过导线时，磁针逆时针方向偏转到图示位置这个实验表明，电流对磁铁有作用力因为电流就是电荷的有规则运动，电流的磁现象也可以说是运动电荷产生的同样，磁铁对电流有作用力也可以说是磁铁对运动电荷有作用力如图84，当没有磁铁时，从阴极射线管的阴极射出的电子束沿直线运动，当放上磁铁时电子束就向上偏转，在阴极射线管中稀薄的气体电离而显示出电子束的轨迹，这个实验直接证明磁铁对运动电荷有作用力不但电流与磁铁之间有相互作用力，电流与电流之间亦有相互作用力电流间有相互作用力也可以说是运动电荷间有相互作用力图83 图84按照安培假说(见812)和现代理论，磁铁的磁现象也是运动的电荷产生的，所以我们可以说，一切磁现象都是运动的电荷产生的二、磁场 磁感强度磁铁间、电流间以及磁铁与电流之间的相互作用都是运动电荷间的相互作用正如电荷周围存在电场一样，在运动电荷或电流的周围也存在一种场，称为磁场两个运动电荷或电流之间的相互作用是通过它们的磁场来实现的，因此磁铁间、电流间、磁铁与电流之间的相互作用力都是磁场力，简称为磁力运动电荷间除有磁力作用外，还有电场力作用，而静止电荷只可能受到电场力作用而不会受到磁力作用磁场的重要表现是：(1) 力的表现，即磁场对运动电荷或载流导线有力的作用；(2) 功的表现，即当载流导线在磁场中运动时，磁场施于载流导线的力作功图85 实验指出，如果把可以自由转动的小磁针放入磁场中某处，则当磁针静止时，它总是取一定的方向，磁场对磁针有取向作用表明磁场具有方向性如果磁针很短，在磁针范围内磁场性质可认为是相同的，我们把磁针静止时它的N极所指的方向定义为磁针所在处的磁场的方向 磁感强度是描述磁场性质的一个物理量，它相当于电场中的电场强度磁场对运动电荷或载流导线有力的作用，对载流线圈有力矩的作用，这些力和力矩都可以用来定义磁感强度，下面我们用磁场对运动电荷的作用力来定义磁感强度 实验指出：(1) 磁场对运动电荷作用的磁力不仅与电荷量q有关，还与电荷的速度v的大小、v的方向与磁场的方向之间的夹角有关当电荷的速度v的方向与磁场方向平行时，作用在电荷上的磁力F = 0，当速度v的方向与磁场方向垂直时，磁力F为最大，用Fmax表示如果取v的方向为x轴的正方向，磁场方向为y轴的正方向，则Fmax沿z轴的正方向，如图85所示(对正电荷而言)(2) 对于磁场中给定点P，最大磁力Fmax与电荷量q及其速度v成比例，即与q和v的乘积成比例，所以比值与运动电荷无关，仅与P点的磁场的性质有关，因此我们把这比值定义为磁场中P点的磁感强度，用B表示，则 （81） 磁感强度为一矢量B，它的大小由上式决定，它的方向规定为磁场的方向，由图85看出，B的方向亦可定义为Fmaxv的方向，这个方向也就是该点的小磁针静止时它的N极所指的方向 在国际单位制中，磁感强度B的单位为特斯拉，符号为T按照(81)式，1 T=1 Ns/(Cm) = 1 N/(Am)，因此B的单位也可用N/(Am)来表示磁感强度的量纲是I-1MT-282 磁感线 磁通量 一、磁感线 为了对磁场有整体的了解，仿效引入电场线描绘电场的办法，我们引入磁感线来描绘磁场在磁场中画出一系列曲线，这些曲线上任一点的切线方向都和该点的磁感强度B的方向一致，这些曲线称为磁感线磁感线是人们用来描绘磁场的一种假想的曲线(a) (b)图86 磁场中的磁感线可用铁屑来显示在放置于磁场中的一块玻璃板上均匀地撤上铁屑，由于铁屑在磁场中磁化成为小磁针，轻敲玻璃板使铁屑可以自由转动，铁屑就按照磁场方向排列成线，在玻璃板上就显示出磁感线图86(a)是垂直于直线电流的平面上铁屑所显示的磁感线图，图86(b)是在同一平面上直线电流的磁感线回转方向图从图看出，这些磁感线是在垂直于直导线的平面上的一系列同心圆，圆心在直导线上，电流的方向和磁感线的回转方向之间的关系可用右手螺旋法则确定，即用右手握住导线，大拇指伸直指向电流方向，其余四指弯曲的方向即为磁感线的回转方向 图87(a)和(b)分别是圆电流在通过圆心与圆电流垂直的一个平面上的磁感线显示图和回转方向图从图看出，这些磁感线是套在圆导线上的闭合曲线 图87(c)和(d)分别是通电螺线管在通过螺线管轴线的一个平面上的磁感线显示图和回转方向图圆电流与通电螺线管的磁感线的回转方向也可以用右手螺旋法则确定，不过这时要用右手握住螺线管(或圆电流)使四指弯曲指向电流方向，大拇指伸直，则大拇指所指的方向即为螺线管内磁感线的方向(或圆电流中心处的磁感线的方向)，如图87(d)所示 从以上几种电流的磁感线图形看出，磁感线具有如下性质： (1) 磁场中的磁感线不会相交，因为磁场中任何一点磁感强度B都有确定的方向，如果两条磁感线相交于某一点，这点的磁感强度便有两个方向了(2) 每一条磁感线都是环绕电流的闭合曲线，没有起点，也没有终点(a) (b)(c) (d)图87 二、磁通量 磁感线密度 为了使磁感线不仅能表示磁感强度的方向，而且能表示磁感强度的大小，我们规定磁感线密度处处等于磁感强度的大小经过磁场中一点P作面积元dS，使它与该点的磁感强度B的方向垂直，如图88设dNm为通过此面积元的磁感线数，则磁感线密度为，根据上述规定，有 如果按照这个规定画磁感线，则在B值大的地方磁感线就密，B值小的地方磁感线就疏图88 图89 磁通量的定义与电场强度通量的定义类似设面积元dS的法线en与磁感强度B的夹角为(图89)，则Bcos为磁感强度B垂直于面积元dS的分量磁感强度B垂直于面积元dS的分量与dS的乘积Bcos dS称为通过dS的磁通量，简称为磁通，用dm表示，则 dm = BcosdS （82） 计算磁通量的方法完全与计算电场强度通量的方法相同由计算电场强度通量公式将E(或E)改为B(或B)便得到相应的计算磁通量公式例如，在任意磁场中通过任意曲面S的磁通量为 （83）图810对于闭合曲面来说，取向外法线en的方向为法线的正方向，如果磁感线是从曲面穿出来的， 90，Bcos dS为负(图810)由于磁感线是闭合曲线，因此有多少条磁感线进入闭合曲面内，就有多少条磁感线从曲面穿出来，所以通过任意闭合曲面的磁通量恰好是正负相消，因此或 （84）这一结果相当于静电场中的高斯定理，称为磁场中的高斯定理 在国际单位制中，磁通量m的单位为韦伯，符号是Wb1 Wb =1 Tm2由此得1 T = 1Wb/m2所以B的单位也可以用Wb/m283 电流 电流密度电动势一、电流强度电流密度电荷有规则地运动形成电流，例如金属导体中的电流是自由电子的有规则运动形成的，电解质溶液中的电流是正、负离子的有规则运动形成的，带电体的机械运动也形成电流导体中电子或正、负离子作有规则运动形成的电流称为传导电流，带电体作机械运动所形成的电流称为运流电流 图811 把一绝缘的金属导体放入外电场中，开始时金属中的自由电子在外电场作用下逆着外电场方向作有规则的运动形成电流，但当自由电子运动到使导体中各点的电场强度为零时，电流就停止了所以导体中产生电流的必要条件是导体内电场强度不为零，即在导体两端有一电势差 电流的方向规定为正电荷运动的方向，这个方向就是导体中电场的方向，也就是从高电势到低电势的方向如图811，设V1 V2，则电场E的方向为从V1到V2的方向，这就是电流的方向在金属导体中移动的实际上是带负电的自由电子，它移动的方向是从低电势到高电势方向，与规定的电流方向相反 电流的强弱用电流强度来描述每单位时间通过导体任一截面的电荷量称为通过该截面的电流强度，简称为电流设在t时间内通过导体某一截面的电荷量为q，则通过该截面的电流强度为 （85）强度不随时间而变化的电流称为恒定电流，亦称为直流电 要在导体中维持恒定电流，导体中必须有一稳恒电场，即场强不随时间而变化的电场，这种电场显然是分布在导体中各处的电荷产生的，导体中各处电荷的分布情况必须是不随时间而变化的，否则不可能产生稳恒电场所以在恒定电流情况下，在电路上任一点都没有电荷继续堆积，因此在单位时间内通过导体的每一截面的电荷量相同，也就是通过每一截面的电流强度相同 稳恒电场和由静止电荷产生的静电场一样，都是不随时间而变化的，它具有和静电场相同的性质：静电场的高斯定理和静电场环路定理对稳恒电场都适用 如果电流强度随时间而变化，我们就要引入瞬时电流强度概念来表示瞬时电流的强弱，在(85)式中令，便得到瞬时电流强度： （86）在国际单位制中，规定电流强度为一基本量，单位为安培，符号为A图812 电流密度 恒定电流通过粗细均匀的导体时，电流在每一截面上是均匀分布的，但当电流通过粗细不均匀或大块导体时，情况就不同了电流通过粗细不均匀或大块导体时，导体中电流的分布可以是不均匀的在这种情况下只有电流强度标量概念是不能够描述导体中电流的分布情况的，为了描述电流分布情况需要引入电流密度矢量概念设想在电流通过的导体某点取一垂直于电场强度E的面积元dS(图812)，如果通过dS的电流为dI，则 （87）称为该点的电流密度，电流密度为一矢量，其方向为场强E的方向在国际单位制中电流密度的单位为安培每平方米，符号为A/m2，量纲是IL-2 二、电源电动势 导体内传导电流是从高电势端A流向低电势端B的根据传导电流产生的条件，要在导体内产生恒定的电流，必须在导体内维持一稳恒的电场，也就是在导体的两端维持一稳恒的电势差，但仅依靠静电力不能达到这一目的为了维持恒定的电流，必须把正电荷从低电势端B送回到高电势端A，来多少就送回去多少，使A、B两端点间电荷的数量保持不变但静电力是阻止正电荷从低电势移到高电势的，所以必须有一种外力非静电力才能克服静电力把正电荷从低电势移到高电势能够提供非静电力把正电荷从低电势移到高电势的装置称为电源电源种类很多，在不同种类的电源中非静电力的性质不相同最常见的电源是化学电池和直流发电机，在电池中非静电力是化学力，在直流发电机中非静电力是洛伦兹力 电源中电势较高的一端称为电源的正极，电势较低的一端称为电源的负极正电荷从正极经外电路移到负极是从高电势到低电势，这一过程的完成是静电力的作用，但从负极经电源内部移到正极则是从低电势到高电势，这一过程是非静电力的作用在电源内部非静电力把正电荷从负极移到正极提高了电荷的电势能，一定要作功，因此电源要消耗能量所以从能量观点来看，电源就是把其他形式的能量转换为电能的装置 电源内部有静电力和非静电力，静电力是静电场(此处即稳恒电场)对电荷的作用力，用E表示静电场的场强，可以认为非静电力是一种非静电性电场对电荷的作用力，用E表示非静电性电场的电场强度当正电荷q通过电源内部沿非静电力方向绕行闭合路径L一周时，静电力和非静电力所作的功之和为由于稳恒电场和静电场一样，它的场强E的环流为零，即，所以上式化为为单位正电荷通过电源内部绕行闭合路径L一周时非静电力所作的功，这个功越大，电源把其他形式的能量转换为电能的量值就越大，也就是把其他形式的能量转换为电能的本领越大我们把单位正电荷通过电源内部绕行闭合路径一周时非静电力所作的功定义为电源的电动势，用E表示： （87）由于非静电力只存在于电源内部，在电源外部没有非静电力作用，所以电源电动势E又可写为 （88）上式表示电源的电动势的大小等于单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所作的功 当闭合路径上处处都有非静电力作用时(参看第九章)，整个闭合路径都是电源，这时电源的电动势就要用(87)式计算，该式是电动势的普遍定义式电动势是一个标量，但和电流一样，我们给它规定一个方向(指向)，把电源内部电势升高的方向，即从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向电动势的单位和量纲与电势相同三、闭合电路的欧姆定律欧姆定律 导体中产生电流的条件是导体两端有一电势差实验证明，一段均匀导体(即不含电源的一段导体)中的电流强度I与导体两端的电势差VA VB成正比，即 （89）其中R为比例系数，称为导体的电阻上式称为一段均匀电路的欧姆定律在国际单位制中电阻的单位为欧姆，符号为，量纲是I-2L2MT-3图813 设闭合电路由一电源及一个电阻R连接而成，如图813所示电源的电动势为E，内阻为Ri如果电路上电流为I，则在时间t内通过电路任一截面的电荷量为q = It这时电源所作的功为Eq = EIt，这个功全部变为电路上放出的焦耳热根据能量守恒定律，这两者应相等在外电路上的焦耳热为I2Rt，在内电路上的焦耳热为I2Rit，故得EIt = I2Rt + I2Rit由此得 E = IR + IRi （810） （811）即电路上的电流等于电动势除以电路上的总电阻，这就是闭合电路的欧姆定律 将一段均匀电路的欧姆定律(89)式代入(810)式得E = VA - VB + IRi （812）VA - VB为外电路的电势降，亦为电源正负两极之间的电压，称为电源的端电压一个电动势为E、内阻为Ri的电源等效于一个电动势为E而没有内阻的电源和一阻值为Ri的电阻串联，如图813中虚线框内的电路所示对于一个没有内阻的理想电源或流过它的电流为零的电源(处于开路状态的电源就如此)，IRi = 0，由(812)式得知其端电压等于其电动势，即 VA - VB = E （813）84 毕奥萨伐尔定律我们曾经讲过求带电体的电场强度的方法，即把带电体看成是由许多电荷元组成，写出电荷元的电场强度表示式，然后用叠加方法求整个带电体的电场强度求载流导线的磁感强度的方法与此类似，即把载流导线看成是由许多电流元组成，如果已知电流元产生的磁感强度，用叠加方法(假如叠加原理对磁感强度适用)，便可求整个线电流的磁感强度电流元的磁感强度由毕奥萨伐尔定律给出，这条定律是拉普拉斯把毕奥、萨伐尔等人的实验资料加以分析和总结得出的，故亦称为毕奥萨伐尔拉普拉斯定律，其内容如下： 假设在载流导线上沿电流方向取线元dl，这个线元很短，可看作直线段，又设导线上的电流强度为I，则Idl称为电流元(图814)电流元Idl在真空中给定点P所产生的磁感强度dB的大小与电流元的大小Idl成正比，又与dl和从线元到P点的径矢r之间的夹角的正弦sin成正比，而与径矢r的大小的平方成反比，用公式表示则为其中k为比例系数如果采用国际单位制，并令，则0的单位为N/A2或Wb/(Am)这是因为在国际单位制中B的单位为T，等于N/(Am)，I的单位为A，长度单位为m所以由上式得0的单位为N/A282中讲过，B的单位亦可用Wb/m2因此0的单位亦可用Wb(Am)0的大小可用实验方法获得，在国际单位制中0 = 410-7N/A2 = 410-7Wb/(Am)0的量纲为I-2LMT-20称为真空的磁导率将代入上式得 （814）图814dB的方向垂直于dl和r所决定的平面，它的指向由右手螺旋定则决定，即当右手螺旋由Idl经小于180的角度转向r时，螺旋前进的方向即为dB的指向，如图814所示，所以如果用矢量式表示，则 （815）这个公式就是毕奥萨伐尔定律 实验表明：叠加原理对磁感强度适用，所以整个载流导线在P点产生的磁感强度B等于上式沿载流导线的积分，即 （816） 下面应用毕奥萨伐尔定律及叠加原理计算几种载流导线所产生的磁场图815 载流直导线的磁场 如图815，AB为载流直导线的一段，其电流强度为I，P为附近一点，求此段电流在P点产生的磁感强度电流元Idl在P点产生的磁感强度dB的大小为dB垂直于图平面向里直导线上所有电流元在P点所产生的磁感强度的方向相同，都是垂直于图平面向里，所以P点的磁感强度等于各电流元的磁感强度的代数和，可用积分表示为 （817）从P点作直导线的垂线PO，令PO = d，从电流元Idl到O点的距离为l，在上式积分中有三个变数l、及r，我们可以根据图815中的几何关系把l及r都用表示：l = d cot ( - ) = -d cot ， 代入(817)式得 （818）对于无限长的直导线，1 = 0，2 = ，代入上式得 （819）此结果表示，无限长载流直导线在距离导线为d处的一点产生的磁感强度B与距离d成反比 圆电流轴线上的磁场 如图816，设圆电流半径为R，圆心为O，其电流强度为I，P为其轴线上一点，OP = x，求P点的磁感强度在圆上A点取电流元Idl，因为从A点到P点的径矢r与电流元Idl之间的夹角 = 90，所以电流元Idl在P点产生的磁感强度dB的大小为dB的方向与AP方向垂直而与OP方向成一角度，如图816所示将dB分解为两个分量：沿OP方向的分量dB及垂直于P方向的分量dB在同一直径两端的等长电流元在P点产生的磁感强度在垂直于OP方向的两个分量大小相等方向相反，故互相抵消，而沿OP方向的两个分量则互相加强，故P点的磁感强度B为沿OP方向，其大小为图816Idl垂直于OA(圆半径)、AP(即r)及dB，所以dB、OA及AP在同一平面上，即dB在OAP平面上设为AP方向与OP方向的夹角，则与互为余角，所以上式可写为由图看出，对于给定点P来说，r和x都是常数，故上式又可写为即 （820）这就是圆电流在它的轴线上一点产生的磁感强度 在(820)式中令x = 0便得到圆电流在圆心处产生的磁感强度： （821） 假设线圈有N匝，每一匝的半径均为R，如果不考虑线圈的厚度，则以上两式依次变为 （822） （823）图817 例题81 有强度为I = 30.0A的电流通过被折成120角的长导线，如图817A为一段直导线的延长线上一点，C为120角的平分线上一点，与角顶O的距离均为r = 5.00cm，求A点及C点的磁感强度 解 磁场中任一点的磁感强度为B = Bl + B2其中Bl、B2分别为电流PO及OQ在该点产生的磁感强度 先求A点的磁感强度因为A点在电流OQ的延长线上，由(817)式看出，OQ上每一电流元在A点产生的磁感强度为零，所以OQ整段电流在A点产生的磁感强度B2 = 0对于PO段，应用(818)式，1 = 0，2 = 120，d = rsin60，所以Bl的方向垂直于图平面向里A点的总磁感强度B = Bl + B2 = Bl，所以A点的总磁感强度的大小及方向与Bl 相同 其次求C点的磁感强度对于PO段，1 = 0，2 = 120，d = rsin60，则对于OQ段，1 = 60，2 = 180，d = rsin60，则Bl 和B2的方向相同，都是垂直于图平面指向读者，所以B = Bl + B2的方向亦垂直于图平面指向读者，其大小为B = Bl + B2 = 2.0810-4 Wb/m2 例题 82 两个相同及共轴的圆线圈，如图818所示半径为0.100 m，每一线圈有20匝，它们间的距离为0.100 m，通过两线圈的电流为0.500A，求每一线圈中心处的磁感强度：(1) 两线圈中的电流方向相同；(2) 两线圈中的电流方向相反图818解 由(823)式得线圈1在它的中心处产生的磁感强度为因为线圈1的中心在线圈2的轴线上，所以由(822)式得线圈2在线圈1中心处产生的磁感强度为任一线圈中心处的磁感强度为B = Bl + B2 (1)如果电流方向相同，则代入数字得(2)如果电流方向相反，则85 运动电荷的磁场 电流是电荷的定向运动形成的，电流的磁场本质上是运动的电荷产生的，因此我们可以从电流元所产生的磁场公式推出运动电荷所产生的磁场公式根据毕奥萨伐尔定律，电流元Idl在空间一点P产生的磁感强度为 （824）其中r为从电流元到P点的径矢 因为正电荷沿电流方向作定向运动等效于负电荷沿相反方向作定向运动，所以我们把电流元Idl中的电流当作电荷量为q的正电荷作定向运动形成的设S为电流元的横截面积，电荷q的定向运动速度为v，电流元中每单位体积的运动电荷数为n，则nqvS为单位时间内通过电流元一个横截面的电荷量，即电流强度I，故有I = nqvS代入(824)式得因为电荷q的定向运动速度为v与dl同向，故可写vdl = vdl，因此上式可写为其中dN = nSdl 为电流元中的运动电荷的总数所以一个以速度v运动的电荷q在空间一点P产生的磁感强度为 （825）其中r为从电荷q到P点的径矢 (825)式对正、负电荷都适用，对于正电荷q取正值，对于负电荷q取负值由该式看出，以速度v运动的电荷q所产生的磁感强度B的大小为 （826）B的方向垂直于v及r所决定的平面，如果q为正，B的指向与v r的指向相同图819(a)，如果q为负B的指向与v r的指向相反图819 (b)(a) (b)图819 例题83 在玻尔氢原子模型中电子在半径为5.3010-11m的圆轨道上以速度2.19106m/s绕核运动，求轨道中心处的B值解 已知电子电荷的绝对值e = 1.610-19C，在圆心处sin(v,r) = 1，由(826)式得圆心处的B值为86 安培环路定理 我们曾经讲过，磁感线都是环绕着电流的闭合曲线(磁感线性质之一)如果我们沿一条磁感线取B矢量的线积分，则因在磁感线上各点B的方向都和dl的方向相同，Bdl 0，所以，这是磁场与静电场的重要区别在静电场情形，E矢量沿电场中任意闭合曲线的线积分安培环路定理是关于线积分的值的定理，可叙述如下： 在磁场中B矢量沿任何闭合曲线l的线积分(亦称B矢量的环流)等于穿过此闭合曲线所围面积的电流的代数和的0倍，用公式表示则为图820 （827）其中电流的正、负与dl绕行闭合曲线的方向有关，如果电流I的流向与dl绕行闭合曲线的方向合成右手螺旋系，则I为正，反之则I为负 例如在图820情形，I = I1 2I2 安培环路定理可以从毕奥萨伐尔定律出发来证明，下面取一个特殊情形来证明这条定理电流是长直电流，闭合曲线在垂直于直导线的平面上分为以下几个情形讨论： (1) 闭合曲线包围长直电流在图821中长直电流垂直于图平面指向读者，O为长直导线与闭合曲线l所在的平面的交点在曲线l上取一线元dl来考虑，a、b为线元dl的始点和末点，令Oa = r，由(819)式，长直电流I在a点产生的磁感强度B 的大小为B的方向在图821平面上与Oa垂直因为线元dl很短，d很小，B近似地与Ob垂直，故aab近似地为一直角三角形，因此dlcos = aa = rd （828）图821 图822如果线元绕行的方向不变，而电流反向，如图822在此图中，长直电流垂直于图平面向里，这时B与dl之间的夹角为钝角，则dlcos = - rd （829）在此情形可认为电流是负的以上结果表示，如果绕行闭合曲线的方向与电流流向合成右手螺旋系，则电流为正，如果绕行方向与电流流向合成左手螺旋系，则电流为负图823 (2) 闭合曲线不包围长直电流在图823中长直电流垂直于图平面指向读者，O为长直导线与闭合曲线l所在的平面的交点从O点作闭合曲线l的切线，切点a、b将闭合曲线分割为l1与l2两段，B矢量沿闭合曲线l的线积分等于沿l1与l2的线积分对于l1段上每一线元dl，在l2段上必有一线元dl和它对应，这两个线元在O点所张的圆心角相等，都是d，但在dl处B与dl成锐角，在dl处B与dl成钝角，故由(828)及(829)式得，又设aOb = 1，则这结果表示，如果闭合曲线不包围电流，则B矢量沿闭合曲线的线积分为零(3) 如果磁场中同时有几个相互平行的长直电流I1，I2，I3，各电流所产生的磁感强度分别为B1，B2，B3，则由(1)、(2)的结果得总磁感强度B沿任意闭合曲线l的线积分：其中I为穿过闭合曲线l的一切电流的代数和，未穿过l的电流不包括在内这就是安培环路定理(827)式 从以上讨论看出，如果某一电流未穿过闭合曲线，这个电流对(827)式右端没有贡献，但对左端的B有贡献 下面运用安培环路定理计算几种载流导线所产生的磁场图824 载流长直螺线管内的磁场 图824表示螺线管的剖面和螺线管电流所产生的磁场中的磁感线，小圈表示导线的截面，表示电流从图平面流出，表示电流流入图平面如果螺线管长度远大于其直径，并且导线绕得很密，则管内中部的磁场是均匀的，磁场的方向与螺线管的轴平行在螺线管外中部贴近管壁处磁场则很弱，可认为此处B = 0，下面应用安培环路定律求管内中部的磁感强度 在螺线管中部作一长方形闭合路径abcd，根据安培环路定理 （830）其中I为穿过长方形面积的电流的代数和分别计算等式两边的值，代入上式便可得出待求的磁感强度：cd段在管外靠近管壁处，在此段上B = 0，所以；在bc及da段上，或是B = 0或是Bdl所以Bdl = 0，因而；在ab段上B与dl同向平行， = 0，所以Bdl = Bdl，各点的B值相同，所以这样上式化为 （831） 其次计算I设螺线管每单位长度有n匝导线，通过每匝导线的电流为I，其流向与回路abcd合成右手螺旋系，所以穿过abcd面积的总电流为 （832） 将(831)及(832)两式代入(830)式，即Bab = 0abnI由此得 B = 0nI （833） 如果管长为l，总匝数为N，则n = N/l，而(833)式可写为 （834）此式只适用于螺线管内中部 载流空心环形螺线管内的磁场 图825表示空心环形螺线管的剖面和螺线管电流所产生的磁感线如果螺线管上导线绕得很密，则全部磁场都集中在管内，磁感线是一系列圆，圆心都在螺线管的对称轴上由于对称之故，在同一磁感线上各点的磁感强度B的大小相等，B的方向为沿磁感线的切线方向，应用安培环路定理于其中一条闭合磁感线得图825 （835）根据上面分析，在这条磁感线上Bdl = Bdl，而B的数值相同，则其中l为所取的闭合曲线的全长设环形螺线管共有N匝导线，每一匝导线中电流为I，则I = NI，代入(835)式得由此得 （836） 因为螺线管内各条磁感线全长l不相等，所以由上式得知螺线管内同一横截面上各点的磁感强度不相等如果L表示环形螺线管中心线的全长，R为其半径，则圆环中心线上一点B的大小为 （837）当环形螺线管中心线的直径比螺线管截面的直径大得多时，管内各点的磁感强度可以近似地认为是相等的，并由(837)式表示 小结：由于本课程的性质，我们只取一个特殊情形从毕奥萨伐尔定律推出了安培环路定理事实上，对任何恒定电流分布产生的磁场以及任何闭合曲线都可以从毕奥萨伐尔定律推出安培环路定理在82中我们利用磁感线的性质得出磁场中的高斯定理，我们也可以从毕奥萨伐尔定律推出磁场中的高斯定理反之，从安培环路定理及磁场中的高斯定理出发也可以推出毕奥萨伐尔定律所以在静磁学范围内毕奥萨伐尔定律与安培环路定理及磁场中高斯定理两者合起来是等效的但应当指出，以后在第九章中将看到，磁场中的高斯定理可推广于一般电磁场，引入位移电流概念后安培环路定理也可推广于一般电磁场，而毕奥萨伐尔定律只适用于静磁场，即恒定电流的磁场87 带电粒子在外磁场中受到的力及其运动 一、洛伦兹力81中讲过，一个正电荷q在磁场中运动，当它的速度v的方向与磁感强度B的方向垂直时，它受到的磁力Fmax为最大，根据磁感强度定义，B的大小为由此得 Fmax = Bqv图826v、B、Fmax三者的方向互相垂直对于正电荷来说，Fmax的方向为v B的方向，如图87所示在一般情况下，运动电荷的速度v与磁感强度B之间的夹角是任意的将v分解为平行于B的方向的分量vcos和垂直于B的方向的分量vsin(图826)由于电荷沿着平行于B的方向运动时不受磁力作用，所以电荷q受到的磁力F等于以分速度vsin沿垂直于B的方向运动时受到的力，即F = BqvsinF的方向为v B的方向，故可以把上式写为矢量式：F = qv B （838） 磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力上式就是在磁场中运动的电荷受到的洛伦兹力的表示式当q为正时F的方向为v B的方向，当q为负时，F的方向为 -v B的方向 二、带电粒子在均匀磁场中的运动 电荷量为q、质量为m的带电粒子，以初速度v0进入磁感强度为B的均匀磁场中，求粒子的运动分两种情形讨论1v0垂直于B的情形 因设粒子的初速度v0与B垂直，故v0在与B垂直的一个平面上，即图827的平面，由洛伦兹力公式F = qv B，作用于粒子的洛伦兹力F亦与B垂直，所以F亦在图平面上既然粒子的初速度和作用力都在图平面上，所以粒子的运动是在图平面上的平面运动，其运动方程为图827ma = F = qv B其中v为粒子在任一时刻的速度，a 为粒子在该时刻的加速度将上式投影于粒子的轨道的切线方向和法线方向(即速度v的方向和与v垂直的方向)，便得到粒子的切向和法向运动方程： （839） （840）积分(839)式得v = v0 （841）其中v0为粒子的初速度，代入(840)式得 （842）(841)式表示，粒子在运动中它的速度大小保持不变，等于其初速度的大小(842)式表示，粒子轨道的曲率半径r为一常量，所以粒子的运动是匀速圆周运动，圆轨道的半径r由(842)式给出根据粒子受力方向可断定，如果粒子带正电，它在圆周上沿反时针方向运动，如果粒子带负电，则沿顺时针方向运动 粒子运动一周所需时间称为周期，用T表示：单位时间内粒子运动的周数称为频率，用表示：2v0与B斜交成角的情形当粒子的初速度v0与B斜交成角时，将v0分解为平行于B的分速度v = v0 cos及垂直于B的分速度v = v0 sin如果只有v分速度，则粒子的运动化为上述第1种情形，即粒子将在垂直于B的平面上作匀速圆周运动； 如果只有v分速度，磁场对粒子没有作用力，粒子将沿平行于B的方向作匀速直线运动当两个分速度同时存在时，粒子的轨道将成为螺旋线，如图828所示，螺距为 三、带电粒子在均匀电场和磁场中的运动 质量为m、带有电荷q的带电粒子在均匀电场和磁场中运动时，它受到的电场力为qE，当运动速度为v时受到的磁场力为qv B，所以带电粒子受到的合力为F = q( E + v B)由牛顿第二定律F = ma，得带电粒子的运动方程：ma = q( E + v B)或其中为带电粒子的加速度下面以一些常用的仪器设备原理为例讨论带电粒子在均匀电场和磁场中的运动图828 图829 1滤速器 图829是滤速器的原理图，它是在平行金属板P、P上施加电压，产生由P向P的均匀电场E，在与E垂直的方向上有一均匀磁场B，其方向垂直于图平面向里S、S为两个正对着的小孔，一束带有电荷q的粒子流通过小孔S在垂直于E和B的方向射入滤速器射入粒子的速率v是不完全相同的，但当E和B给定时，只有某一确定速率的粒子才能沿直线前进通过正对着的小孔S射出，试求此速率v要使速率为v的粒子可以沿一直线通过滤速器，这种粒子在滤速器中必须不受力作用，即 F = q( E + v B) = 0已知E和B的方向如图所示，若q 0，作用于粒子的电场力Fe = qE竖直向下，磁场力Fm = q v B竖直向上，由F = 0得q v B = -qE上式两边大小应相等，故得q vB = qE由此得 上式表示粒子流中只有速率的粒子才可以通过滤速器射出所以只须调节平行板间的电压(改变电场E的大小)或磁场B的大小，利用滤速器就可以从带电粒子流中选择具有所需速率的粒子，不需要改变电场和磁场的方向 若q 0，则载流子定向运动的方向与电流方向相同，由公式FL = qu B得知洛伦兹力的方向向上，如图832(a)所示洛伦兹力的大小为FL = quB，这个力使载流子向上偏转，结果导电板的上边积聚正电荷，下边积聚负电荷上下两边的正负电荷在导电板内产生向下的电场E，使载流子受到向下的电场力FE = qE作用，这力是阻碍载流子向上偏转的随着上下两边积聚电荷的增多，电场力FE增大当电场力增大到与洛伦兹力相平衡时，上下两边的电荷不再继续积聚，上下两边相对两点A、A之间的电势差就到达一定值U AA，这就是霍耳电势差(a) (b)图832如果载流子是负电荷，则因载流子的运动方向与电流方向相反，洛伦兹力FL仍然是向上，如图832(b)所示这时导电板上边积聚负电荷，下边积聚正电荷，因而在导电板内产生向上的电场E，使载流子受到向下的电场力FE =- qE作用，到达平衡时，上下两边相对的两点A、A之间的电势差也到达一定值U AA在载流子为正电荷情形VA VA，所以U AA = VA - VA 0；在载流子为负电荷情形，VA VA，所以U AA = VA - VA 0时，上式右边取“+”号，q 0时，取“-”号上式中u可以用电流强度I表示设n为导电板单位体积的载流子数(载流子数密度)，S = bd为导电板的横截面积，则u与I有如下关系：I = n |q| uS代入(844)式得因为|q| = q，所以上式可写为 （845）将(845)式与(843)式比较，便得到霍耳系数的表示式： （846） (846)式表示，K与载流子数密度n有关，所以通过对霍耳系数的测定可以得出载流子的数密度 一般金属中的载流子即自由电子的数密度很大(约为1028cm-3的数量级)，所以金属材料的霍耳系数很小，霍耳效应不明显半导体材料中的载流子数密度要小得多，所以半导体材料的霍耳系数要比金属大得多，能产生较大的霍耳电势差89 磁场对载流导线的作用载流导线在外磁场 外磁场是指所研究的载流导线以外其它原因产生的磁场中要受到磁力作用磁场对载流导线的作用力称为安培力下面讨论安培力的来源及其表示式假设载流导线在图833的平面上，对观察者是静止的，电流I的方向由左至右，外磁场B垂直于图平面向里当未加入外磁场时，载流导线不受磁力作用，导线中自由电子以速度u由右向左运动加入外磁场B后导线中自由电子受洛伦兹力FL= -e(uB)作用，此力向上结果在导线上表面积聚电子，形成负电层，下表面因缺乏电子形成正电荷层该正负电荷层产生向上的电场EH， 称为霍耳电场此电场使自由电子受到向下的电场力FH= -eEH作用，导线中由正离子构成的晶格骨架中的正电荷受到向上的电场力-FH= eEH作用当霍耳电场力FH与洛伦兹力FL达到平衡时，电子的横向运动便停止了从不平衡到平衡的过程是瞬时完成的，以后便是稳定过程在稳定过程中自由电子（不包括负电荷层中的电子，以下同）仍以定向速度u沿导线运动形成稳定电流I达到平衡时作用于自由电子的霍耳电场力与洛伦兹力大小相等方向相反，即图833FL = -FH（847）将FL及FH的表示式代入上式得EH = -u B取长为dl的一端导线元来考虑（图833）设导线元的横截面积为S，则导线元的体积为Sdl又设每单位体积的自由电子数为n，则导线元所含自由电子数为dN = nSdl这dN个自由电子所受的洛伦兹力的总和为dFL = FLdN （848）dFL就是外磁场对导线元中自由电子作用的洛伦兹力的总和导线元中由正离子构成的晶格骨架所含的正电荷数(不包括产生霍耳电场的正电荷层上的正电荷数)等于导线元所含的自由电子数dN这dN个正电荷所受的霍耳电场力的总和为dFH = -FHdN （849）dFH就是霍耳电场对导线元中晶格骨架的作用力考虑到(847)式，由(848)和(849)式得dFH = dFL （850）上式表示霍耳电场对导线元中晶格骨架的作用力dFH与外磁场对导线元中自由电子作用的洛伦兹力的总和dFL大小相等方向相同我们知道晶格骨架中的正电荷是静止不动的，它们不会直接受到外磁场的作用力但外磁场作用在导线元中自由电子上的洛伦兹力产生霍耳电场，而霍耳电场对晶格骨架中正电荷有作用力也就是对晶格骨架有作用力dFH，并且这个力刚好等于外磁场对导线元中自由电子作用的洛伦兹力的总和