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高考数学精品复习资料 2019.5第5节 直线、平面垂直的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的垂直关系1. (20xx全国新课标卷理4） 已知为异面直线，平面，平面.直线满足，则（ ）.A. 且 B. 且 C. 与相交,且交线垂直于 D. 与相交,且交线平行于2.（20xx广东理18）.COBDEACDOBE图1图2 如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.(1) 证明:平面；(2) 求二面角的平面角的余弦值.3.（20xx江西理19） 如图，四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，连接并延长交于(1) 求证：平面； (2) 求平面与平面的夹角的余弦值4.（20xx江苏16）如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点.求证：（1）平面平面； （2）.5. (20xx福建理19）如图，在四棱柱中，侧棱底面， （1）求证：平面（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值（3）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式（直接写出答案，不必说明理由）.6.(20xx天津理17） 如图，四棱柱中侧棱底面，为棱的中点 (1) 证明：； (2) 求二面角的正弦值；(3) 设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长7(20xx湖南理19）如图5，在直棱柱（1）证明：；（2）求直线所成角的正弦值.8.（20xx辽宁理18）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点.（1）求证：平面平面；（2）若，求证：二面角的余弦值.9. (20xx陕西理18）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.10.（20xx 辽宁理 4）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）. A若则 B若，则C若，则 D若，则10. 解析 A选项、也可以相交或异面，C选项也可以，D选项也可以或与斜交.根据线面垂直的性质可知选B. 11.（20xx 广东理 7）若空间中四条两两不同的直线，满足，则下列结论一定正确的是（ ）.A B C既不垂直也不平行 D的位置关系不确定11. 解析 由，可知与的位置不确定，若，则结合，得，所以排除选项B，C，若，则结合，知与可能不垂直，所以排除选项A.故选D.评注 本题考查了空间直线之间的位置关系，考查学生的空间想象能力、思维的严密性.12.（20xx 江苏理 16）如图，在三棱锥中，分别为棱，的中点已知，求证：（1）直线平面； （2）平面平面13.（20xx广东理18）如图所示，所在的平面与长方形所在的平面垂直，点是的中点，点分别在线段，上，且.(1) 求证：；(2) 求二面角的正切值；(3) 求直线与直线所成角的余弦值.13.解析 （1）证明：因为且点为的中点，所以又平面平面，且平面平面，平面，所以平面又平面，所以（2）因为是矩形，所以由（1）可得平面，所以，所以平面又平面，所以又因为，所以即为二面角的平面角在中，所以，即二面角的正切值为（3）如图所示，连接，因为，即，所以，所以为直线与直线所成角或其补角在中，因为，所以由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为14.（20xx全国甲理14），是两个平面，是两条线，有下列四个命题：如果，那么如果，那么如果，那么如果， ，那么与所成的角和与所成的角相等以上命题正确的命题有 .14. 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知正确.15.（20xx浙江理2）已知互相垂直的平面交于直线.若直线满足，则（ ）.A. B. C. D.15.C 解析 对于选项A，因为，所以.又因为，所以与平行或异面.故选项A不正确；对于选项B和D，因为，所以或.又因为，所以与的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B和D不正确；对于选项C，因为所以因为所以，故选项C正确，故选C.16.(20xx全国甲理19)如图所示，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，交于点，将沿折到的位置，.（1）证明：平面；16.解析 （1）证明：因为，所以，所以因为四边形为菱形，所以，所以，所以，所以因为，所以.又，所以，所以，所以，所以，所以又因为，所以面17.（20xx全国乙理18）如图所示，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是（1）求证：平面平面；17.解析 （1）由已知可得，所以平面.又平面，故平面平面.18.（20xx北京理17）如图所示，在四棱锥中，平面平面， ，.（1）求证：平面； 18.解析 （1）如题中的图所示，平面平面，平面平面，平面，得平面，所以.又因为平面，平面，所以平面.19.（20xx浙江理17）如图所示在三棱台中平面平面(1)求证：平面；19.解析 （1）因为此几何体三棱台，延长可相交于一点如图所示.因为平面，平面为，且，所以，因此又因为，可以求得，所以为等边三角形，且为的中点，则.因为，所以平面20（20xx江苏16）如图所示，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，求证：（1）直线平面；（2）平面平面20.解析 （1）因为分别为的中点，所以为的中位线，所以，又因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又因为平面，且，故平面（2）三棱柱为直棱柱，所以平面.又平面，故.又，且，平面，所以平面又因为平面，所以又因为，且平面，所以平面又因为平面，所以平面平面21.（20xx江苏15）如图所示，在三棱锥中， 平面平面， 点（与不重合）分别在棱上，且求证：（1）平面； （2）21.解析 （1）在平面内，因为，且点与点不重合，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面.因为平面，所以.又，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.22.（20xx全国1卷理科18（1）如图所示，在四棱锥中，且.(1)求证：平面平面；22. 解析 （1）证明：因为，所以，.又因为，所以.又因为，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.23.（20xx全国3卷理科19（1）如图所示，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）求证：平面平面；23解析 如图所示，取的中点为，联结，.因为为等边三角形，所以，.由，得，所以，即为等腰直角三角形，从而为直角.又为底边中点，所以.令，则，易得，所以，从而由勾股定理的逆定理可得，即.由，所以平面.又因为平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面.题型96 与垂直有关的开放性、探索性问题暂无1（20xx四川理19） 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（2）设（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值2. (20xx陕西理18) 如图所示，在直角梯形中，是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图所示 （） （）（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值2. 解析 （1）因为,所以为等腰三角形，所以.同理可证.因为，所以平面.因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 所以平面.(2)当平面平面时，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则，则 设平面的法向量为，则.同理，设平面的法向量，所以 ，得，从而平面与平面夹角的余弦值为.欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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