八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 （新版）新人教版

第十三章第十三章 轴对称轴对称13.4 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题【学习目标】【学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。最短的问题。【学习重、难点】【学习重、难点】 重难点：能利用轴对称和平移的知识重难点：能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。解决路径最短的问题。【预习导学】【预习导学】lPABlPABBP1 1、自学、自学1：自学课本自学课本P85P858686页页“问题问题1”1”，掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和，掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和最短的问题，完成下列填空。最短的问题，完成下列填空。1010分钟分钟点点A A、B B分别是直线分别是直线l l异侧的两个点，如何在异侧的两个点，如何在l l上打到一个点，使得这个点到上打到一个点，使得这个点到点点A A、点、点B B的距离的和最短。的距离的和最短。解：连接解：连接ABAB交直线交直线l l于点于点P P，则根据，则根据“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”，可得，可得AP+BPAP+BP最短。则点最短。则点P P即为所求。即为所求。如图，牧马人从如图，牧马人从A A地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l饮马，然后到饮马，然后到B B地，牧马人地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 分析：如果我们能把点：如果我们能把点B B移到移到l l的另一侧的另一侧BB处，同时对直线处，同时对直线l l上的任一点上的任一点C C，都保，都保持持CBCBCBCB，就把问题转化为第题的情况了。如果直线，就把问题转化为第题的情况了。如果直线l l上的任一点到上的任一点到B B、BB的距的距离都相等，则说明直线离都相等，则说明直线l l是线段是线段BBBB的的 垂直平分线垂直平分线 ，则点，则点B B与点与点BB关于直线关于直线l l对称。对称。解：作点解：作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B,B,连接点连接点A A、BB交直线交直线l l于点于点P P， 则根据则根据“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，可得，可得AP+BPAP+BP最短。最短。理由如下：在直线理由如下：在直线l l上取任意一点上取任意一点PP（不与点（不与点P P重合），重合），连接连接APAP、BPBP、BPBP，在，在APBAPB中，根据两边之和大于第三中，根据两边之和大于第三边，可得边，可得ABABAP+PBAP+PB，而因为点，而因为点B与点与点B关于直线关于直线l对对称，则称，则PBPB，所以，所以AP+PBAP+PBAB，则，则AP+PBAP+PBAP+PB。【合作探究】【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟分钟abNABAMNM探究探究1 （造桥选址问题）如图，（造桥选址问题）如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥一座桥MN，桥造在何处可使从，桥造在何处可使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两岸是最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：由于河岸宽度是固定的，因此当分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进最小，这样，问题就进一步转化为：当点一步转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将最小？可以通过将AM沿与河岸垂直的方向沿与河岸垂直的方向平移，点平移，点M移动到点移动到点N，点，点A移动到点移动到点A，则，则AAMN，AM+NBAN+NBN+NB，当，当AB B在一条直在一条直线上时，根据线上时，根据“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”，可得，可得AN+NBN+NB的值最小，则路径的值最小，则路径AMNB最短。最短。解：在直线解：在直线a上取任意一点上取任意一点M，作，作MNbb于点于点N，平移，平移AM，使点使点M移动点移动点N的位置，点的位置，点A移动到点移动到点A的位置，连接的位置，连接AB交直线交直线b于点于点N，过点，过点N作作MNaa于点于点M，则路径，则路径AMNB最短。最短。理由如下：如图，点理由如下：如图，点M为直线为直线a上任意一点（不与点上任意一点（不与点M重合），重合）， 线段线段ANAN是线段是线段AMAM平移得到的平移得到的 AA AAMNMN，ANANAMAM AM+MN+BN AM+MN+BNAN+AA+BNAN+AA+BN MN MN平行平行AAAA且且MNMNAAAA MN MN可以看作是可以看作是AAAA经过平移得到的经过平移得到的 AN ANAMAM AM+NB AM+NBAN+NBN+NB 根据两点之间线段最短，得根据两点之间线段最短，得A AN+NBN+NBABAN+BNAN+BN AM+NB AM+NBAM+BNAM+BN MN MNMNMN AM+MN+NB AM+MN+NBAM+MN+NBAM+MN+NB，即路径，即路径AMNBAMNB最短。最短。【跟踪练习】【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5 5分钟分钟baCEAABD1 1、如图，某牧童在、如图，某牧童在A外放牛，其家在外放牛，其家在B处，处，A、B到河岸的距离分别为到河岸的距离分别为AC、BD，且，且ACBD，若，若A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米。米。牧童从牧童从A A处把牛牵处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这一点；一点；最短路程是多少？最短路程是多少？解：解：作点作点A A关于直线关于直线b b的对称点的对称点AA，连接，连接ABAB交交直线直线b b于点于点E E，则，则AE+BEAE+BEAE+BEAE+BEABAB，根据两点，根据两点之间线段最短，之间线段最短，AE+BEAE+BE的路程最短。的路程最短。点点A A与点与点AA关于直线关于直线b b对称对称 AEAEAEAE，ACACACAC AEC AECAECAEC BED BEDAECAEC AEC AECBEDBED ACE ACEBDEBDE9090，ACACBDBD AECAECBED(AAS)ED(AAS) EC ECEDED，BEBEAEAE 点点A A到河岸到河岸CD的中点的距离为的中点的距离为500米米 BEBEAEAE500500 AE+BE AE+BE10001000（米），即最短路是（米），即最短路是10001000米。米。【点拨精讲】（【点拨精讲】（3分钟）分钟） 1 1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。径的选择。 2 2、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之间线段最短及三角形三边关系来解决问题。，间线段最短及三角形三边关系来解决问题。，【课堂小结】【课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）（学生总结本堂课的收获与困惑）2 2分钟分钟【当堂训练】【当堂训练】1010分钟分钟